基于分布式扩张状态观测器的多飞行器编队控制

doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2024.205

基于分布式扩张状态观测器的多飞行器编队控制

王先至, 李国飞^,, 常亚南

西北工业大学航天学院,西安 710072

Distributed Extended State Observer-Based Formation Control of Multiple Flight Vehicles

WANG Xianzhi, LI Guofei^,, CHANG Ya’nan

School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China

通讯作者: 李国飞,副教授;E-mail:liguofei1@126.com.

责任编辑: 孙伟

收稿日期: 2024-06-5 修回日期: 2024-07-23 接受日期: 2024-07-25

基金资助:

国家自然科学基金(62373304)
中国科协青年人才托举工程项目(YESS20230443)
陕西秦创原引用高层次创新创业人才项目(QCYRCXM-2022-136)
陕西省科协青年人才托举计划(XXJS202218)

Received: 2024-06-5 Revised: 2024-07-23 Accepted: 2024-07-25

作者简介 About authors

王先至(2001—),硕士生,从事协同制导与编队控制研究.

摘要

为使飞行器群按照期望队形飞行,提出“领导-跟随”架构下的编队控制方法.首先设计分布式扩张状态观测器,从而跟随者能估计虚拟领导者的位置与速度;然后根据观测器输出以及期望队形中的相对位置关系,计算跟随者的期望位置,给出基于动态面控制的位置跟踪控制律,跟随者可跟踪期望位置.借助Lyapunov稳定性理论证明了所设计方法的稳定性,并通过数值仿真验证了其有效性.分布式扩张状态观测器仅需获取虚拟领导者位置的观测值即可同时估计虚拟领导者的位置与速度;该编队控制方法可使队形在空间中的指向与虚拟领导者速度保持一致.

关键词： 编队控制; 坐标变换; 分布式扩张状态观测器; 动态面控制

Abstract

In order that the flight vehicle group could form the expected formation, the “leader-follower” formation control law is investigated. First, the distributed extended state observer (DESO) is designed such that the followers could estimate the virtual leader’s position and velocity. Then, the expected positions of the followers are calculated based on the observer outputs and the nominal formation configuration. A dynamic surface control-based position tracking control law is designed for the followers to track the expected positions. Based on the Lyapunov theory, the stability of the proposed method is proved, while numerical simulations validate the effectiveness. The DESO could estimate both the virtual leader’s position and velocity via only the position observations. The method proposed guarantees that the orientation of the formation is consistent with the direction of the virtual leader’s velocity.

Keywords： formation control; coordinate transformation; distributed extended state observer (DESO); dynamic surface control

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本文引用格式

王先至, 李国飞, 常亚南. 基于分布式扩张状态观测器的多飞行器编队控制[J]. 上海交通大学学报, 2024, 58(11): 1798-1804 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2024.205

WANG Xianzhi, LI Guofei, CHANG Ya’nan. Distributed Extended State Observer-Based Formation Control of Multiple Flight Vehicles[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2024, 58(11): 1798-1804 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2024.205

多飞行器协同编队在军用与民用领域均具有广泛应用,近年来受到较多关注^[1-2].飞行器编队控制的主要目标是令多架飞行器在飞行过程中满足一定的相对位置约束.针对多飞行器编队控制,国内外诸多学者已开展了较为深入的研究.

一致性是指多智能体系统(multi-agent system, MAS)就某一行为达成一致的现象,一致性理论是编队控制重要的理论基础.基于一致性理论的编队控制律中,“领导-跟随”架构通过“领导者”决定编队整体的运动轨迹,而控制“跟随者”按照期望队形跟随“领导者”运动,是一种较为典型的编队控制架构.一些文献通过构造关于空间位置的一致性误差,并在误差中引入期望队形中“跟随者”与“领导者”之间的相对位置信息,达到基于一致性控制的编队控制^[3].文献[4]中针对多无人机系统构造了引入期望相对位置的一致性误差,给出一种滑模控制律,通过使一致性误差收敛实现了编队控制.文献[5]中综合考虑多无人机编队控制与避碰问题,在位置一致性控制律中通过引入辅助变量保证各无人机间能够保持安全距离.

基于一致性理论的分布式状态观测器(distributed state observer, DSO)是使“跟随者”估计“领导者”状态的重要工具.文献[6-7]中分别设计了有限时间收敛与固定时间收敛的DSO,使“跟随者”能够估计出“领导者”的状态.然而大多数分布式状态观测器在观测“领导者”多个阶次的状态时,需要“跟随者”获取其邻居关于“领导者”每个阶次状态的观测值.当MAS规模较大或“领导者”状态阶次较多时,观测器需要传输大量的数据才能实现观测.而当“领导者”的高阶信息不可测量时,DSO则无法对“领导者”所有阶次的状态进行估计.因此,本文使用分布式扩张状态观测器(distributed extended state observer, DESO),使“跟随者”只需获取邻居节点关于“领导者”位置的观测值即可同时完成对“领导者”位置和速度的估计.

另外,大部分基于位置一致性的编队控制律仅在惯性空间中定义位置一致性误差与期望相对位置,此时生成的队形在惯性空间中往往是定常的,编队只能在空间中平移运动^[8-9].鉴于此,本文在“领导者”速度坐标系中定义相对位置向量,以此描述期望队形,并借助DESO使“跟随者”获取或估计出“领导者”的位置与速度,从而使期望队形在惯性空间中的方向始终与虚拟领导者速度方向保持一致.

1 数学模型

1.1 飞行器群通信模型

通过代数图论描述飞行器群中各飞行器之间的通信关系.对于含有N个节点的有向图G,令V_G={1, …, N}与E_G⊆V_G×V_G分别代表图G的节点集合与边集合.借助图G的邻接矩阵W=[w_ij $]_{i, j = 1}^{N}$ 描述图中各节点的通信关系^[10].当节点i能够收到节点j发送的信息时,两节点之间存在一条由节点j指向节点i的边,即(i, j)∈E_G,且w_ij=1;否则w_ij=0.图G的度矩阵记为D=diag{d_i $}_{i = 1}^{N}$ ,其中d_i= $\overset{N}{\sum_{j = 1}}$ w_ij;图G的拉普拉斯矩阵为L=D-W.

将由N架飞行器组成的网络等效为包括N个节点的图G,第i架飞行器对应节点i,并使用邻接矩阵W描述各飞行器间的通信关系.此外,考虑一个虚拟领导者,记为节点0,飞行器网络中仅有部分节点可以获取虚拟领导者的信息.定义矩阵W₀=diag{w_i₀ $}_{i = 1}^{N}$ ,当节点i可以获取节点0的信息时,w_i₀=1,否则w_i₀=0.从节点0到任意节点i之间总存在一条路径,则可以给出如下引理.

引理1^[11] 对于有向图G的拉普拉斯矩阵$\boldsymbol{L} \in \boldsymbol{R}^{N \times N}$与矩阵$\boldsymbol{W}_{i 0} $,当图G是连通图并且$\boldsymbol{W}_{i 0} \neq \mathbf{0}_{N \times N}$时,$\boldsymbol{H}=\boldsymbol{L}+\boldsymbol{W}_{0}$为正定矩阵.

引理2^[12] 当矩阵$\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{N \times N} $为Hurwitz矩阵时,存在对称正定矩阵M,使得Lyapunov方程$\boldsymbol{M A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}=-k_{0} \boldsymbol{I}_{N}$成立,其中$k_{0} \in \boldsymbol{R}_{+}$.

1.2 飞行器运动学建模

通过控制飞行器的质心运动以实现编队控制.首先定义坐标系OXYZ为惯性坐标系,用以描述节点i,i=0, …, N的质心位置p_i=[x_i y_i z_i]^T.对于节点i,定义坐标系O₁_iX₁_iY₁_iZ₁_i为其质心坐标系,原点O₁_i与节点i质心固联,并与坐标系OXYZ平行.进而定义坐标系O₂_iX₂_iY₂_iZ₂_i为节点i的速度坐标系,O₂_iX₂_iY₂_iZ₂_i由O₁_iX₁_iY₁_iZ₁_i先后绕竖轴与纵轴转过角度ψ_i与θ_i所得,其中θ_i与ψ_i分别为节点i的弹道倾角与弹道偏角;O₂_iX₂_i轴与节点i速度方向相同,O₂_iY₂_i轴位于铅锤平面中,O₂_iZ₂_i轴与O₂_iX₂_i和O₂_iY₂_i轴满足右手定则.

节点i的运动学方程表示为

(1)$\left.\begin{array}{l}\begin{array}{l}\dot{\boldsymbol{p}}_{i}=\boldsymbol{v}_{i}= \\\quad\left[V_{i} \cos \theta_{i} \cos \psi_{i} \quad V_{i} \sin \theta_{i}-V_{i} \cos \theta_{i} \sin \psi_{i}\right]^{\mathrm{T}} \\\dot{V}_{i}=a_{V, i}-g \sin \theta_{i} \\\dot{\theta}_{i}=V_{i}^{-1}\left(a_{\theta, i}-g \cos \theta_{i}\right) \\\dot{\psi}_{i}=-\left(V_{i} \cos \theta_{i}\right)^{-1} a_{\psi, i}\end{array}\end{array}\right\}$

式中:V_i为节点i的速度.记$ \boldsymbol{u}_{i}=\left[\begin{array}{lll}a_{V, i} & a_{\theta, i} & a_{\psi, i}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}$,$\boldsymbol{u}_{i}$为节点i定义在坐标系O₂_iX₂_iY₂_iZ₂_i中的控制加速度矢量.

假设1^[13] 节点0的加速度有限,即存在$\delta_{0} \in \boldsymbol{\mathbb{R}}_{+}$,满足$\delta_{0}=\sup _{t>=0}\left\|\dot{v}_{0}\right\|_{2}^{2}$.

1.3 控制目标

编队控制的目标是通过设计飞行器群中节点i的控制加速度矢量u_i,使各节点组成期望的队形,并按照期望队形跟随虚拟领导者飞行.通过相对位置矢量集合$\left\{\boldsymbol{r}_{i} \in \boldsymbol{\mathbb{R} }^{3}\right\}$描述期望队形,r_i为期望队形中节点i与节点0的相对位置在坐标系O₂₀X₂₀Y₂₀Z₂₀中的投影.期望队形中节点i在坐标系OXYZ中的位置p_c,_i表示为

(2)$\left.\begin{array}{l}\boldsymbol{p}_{\mathrm{c}, i}=\boldsymbol{p}_{0}+\boldsymbol{R}\left(\theta_{0}, \psi_{0}\right) \boldsymbol{r}_{i} \\\boldsymbol{R}\left(\theta_{0}, \psi_{0}\right)= \\\quad\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi_{0} \cos \theta_{0} & -\cos \psi_{0} \sin \theta_{0} & \sin \psi_{0} \\\sin \theta_{0} & \cos \theta_{0} & 0 \\-\sin \psi_{0} \cos \theta_{0} & \sin \psi_{0} \sin \theta_{0} & \cos \psi_{0}\end{array}\right]\end{array}\right\}$

式中:R(θ_i,ψ_i)为从坐标系O₂_iX₂_iY₂_iZ₂_i,i=0,…,N到OXYZ坐标系的旋转矩阵.至此,本文的控制目标可以表示为 $\underset{t \to \infty}{l i m} ‖p_{i} - p_{c, i}‖$ ≤δ,其中δ是与控制律相关的正常数.

2 控制律设计与稳定性分析

2.1 分布式扩张状态观测器

定义 ${\hat{p}}_{i}$ 与 ${\hat{v}}_{i}$ 分别为节点i对节点0位置p₀和速度v₀的观测值,观测器的结构为

(3)$\left.\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \hat{\boldsymbol{p}}_{i}=-k_{0,1} \varepsilon_{p, i}+\hat{\boldsymbol{v}}_{i}, \quad \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \hat{\boldsymbol{v}}_{i}=-k_{0,2} \varepsilon_{p, i} \\\varepsilon_{p, i}=\sum_{j=1}^{N} w_{i j}\left(\hat{\boldsymbol{p}}_{i}-\hat{\boldsymbol{p}}_{j}\right)+w_{i 0}\left(\hat{\boldsymbol{p}}_{i}-\boldsymbol{p}_{0}\right)\end{array}\right\}$

式中:正常数k_0,1与k_0,2为反馈增益;ε_p_,_i为关于 ${\hat{p}}_{i}$ 的一致性误差.定义 ${\tilde{ε}}_{p}$ =[ ${\tilde{ε}}^{T}_{p, 1}$ … ${\tilde{ε}}^{T}_{p, N}$ ]^T, ${\tilde{ε}}_{v}$ =[ ${\tilde{ε}}^{T}_{v, 1}$ … ${\tilde{ε}}^{T}_{v, N}$ ]^T, ${\tilde{ε}}_{p, i}$ = ${\hat{p}}_{i}$ -p₀, ${\tilde{ε}}_{v, i}$ = ${\hat{v}}_{i}$ -v₀,其中 ${\tilde{ε}}_{p, i}$ 与 ${\tilde{ε}}_{v, i}$ 分别为节点i的位置观测误差与速度观测误差,定义 $\tilde{ε}$ =[ ${\tilde{ε}}^{T}_{p}$ ${\tilde{ε}}^{T}_{v}$ ]^T.根据图论知识可知ε_p=[ ${ε^{T}}_{p, 1}$ … ${ε^{T}}_{p, N}$ ]^T=(H⊗I₃) ${\tilde{ε}}_{p}$ .根据式(3)可知各观测误差是全局最终一致有界的,证明如下.

$\tilde{ε}$ 对时间求导可得:d $\tilde{ε}$ /dt=A $\tilde{ε}$ -B(1_N⊗ ${\overset{\cdot}{v}}_{0}$ ),其中A与B可表示为

(4)$\left.\begin{array}{rl}\boldsymbol{A} & =\left[\begin{array}{cc}-k_{0,1}\left(\boldsymbol{H} \otimes \boldsymbol{I}_{3}\right) & \boldsymbol{I}_{3 N} \\-k_{0,2}\left(\boldsymbol{H} \otimes \boldsymbol{I}_{3}\right) & \mathbf{0}_{3 N \times 3 N}\end{array}\right] \\\boldsymbol{B} & =\left[\begin{array}{c}\mathbf{0}_{3 N \times 3 N} \\\boldsymbol{I}_{3 N}\end{array}\right]\end{array}\right\}$

根据引理1,可知H为正定矩阵,并记Λ_H=diag{λ_H_,1,…,λ_H_,_N}为H的特征值对角矩阵.当4k_0,2/ $k_{0,1}^{2}$ ≤min(Re(λ_H_,_i)),λ_H_,_j∈C时,A为Hurwitz矩阵,证明如下.

H可相似对角化为H= $P_{H}^{- 1}$ Λ_HP_H,因此对于任意λ∈C,存在:

(5)$\begin{array}{l}\lambda \boldsymbol{I}_{6 N}-\boldsymbol{A}= \\{\left[\begin{array}{cc}\lambda \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}}^{-1} \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}}+k_{0,1} \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}}^{-1} \boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{H}} \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}} & -\boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}}^{-1} \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}} \\k_{0,2} \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}}^{-1} \boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{H}} \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}} & \lambda \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}}^{-1} \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}}\end{array}\right] \otimes \boldsymbol{I}_{3}=} \\{\left[\left(\boldsymbol{I}_{2} \otimes \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}}^{-1}\right) \overline{\boldsymbol{A}}\left(\boldsymbol{I}_{2} \otimes \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}}\right)\right] \otimes \boldsymbol{I}_{3}} \\\overline{\boldsymbol{A}}=\left[\begin{array}{cc}\lambda \boldsymbol{I}_{N}+k_{0,1} \boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{H}} & -\boldsymbol{I}_{N} \\k_{0,2} \boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{H}} & \lambda \boldsymbol{I}_{N}\end{array}\right]\end{array}$

注意到λ=0时,A的特征多项式

$\begin{aligned}\operatorname{det}( & \left.\left(\boldsymbol{I}_{2} \otimes \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}}^{-1}\right) \overline{\boldsymbol{A}}\left(\boldsymbol{I}_{2} \otimes \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{H}}\right)\right)=\operatorname{det} \overline{\boldsymbol{A}}= \\& -\operatorname{det}\left(k_{0,2} \boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{H}}\right) \neq 0\end{aligned}$

则对于

det

\bar{A}

=det(λ²I_N+λk_0,1Λ_H+k_0,2Λ_H)=

\overset{N}{\prod_{i = 1}}

(λ²+k_0,1λλ_H_,_i+k_0,2λ_H_,_i)=0

其解为二次方程 λ²+k_0,1λλ_H_,_i+k_0,2λ_H_,_i=0,i=1,…,N的解.对于任意λ_H_,_i∈R,方程解实部显然小于0.对于λ_H_,_i∈C,根据复数的几何意义,方程的解表示为

λ₀=(k_0,2/2)(-λ_H_,_i±

\sqrt{r_{Δ}}

exp(iθ_Δ/2))

其中r_Δexp(iθ_Δ)=λ_H_,_i(λ_H_,_i-4k_0,2/ $k_{0,1}^{2}$ ).因4k_0,2/ $k_{0,1}^{2}$ ≤min(Re(λ_H_,_i)),Re(λ₀)<0,故A的特征值实部均小于0,A为 Hurwitz 矩阵.

根据引理2,对于任意正常数k₀,存在正定对称矩阵M满足MA+A^TM=-k₀I₆_N.故可设计Lyaounov函数为Q₀= $\frac{1}{2} {\tilde{ε}}^{T}$ M $\tilde{ε}$ ,其对时间求导,根据假设1并运用Young’s不等式则有:

(6)$\begin{aligned}\dot{Q}_{0} & =-\frac{k_{0}}{2} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}-\widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M B}\left(\mathbf{1}_{N} \otimes \dot{\boldsymbol{v}}_{0}\right) \leqslant \\& -\frac{k_{0}}{2 \bar{\lambda}_{M}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}+\frac{k_{0}}{2 \bar{\lambda}_{\boldsymbol{M}}} \frac{1}{2} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}+ \\& \frac{2 \bar{\lambda}_{\boldsymbol{M}}}{k_{0}} \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{B}\left(\mathbf{1}_{N} \otimes \dot{\boldsymbol{v}}_{0}\right)\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{B}\left(\mathbf{1}_{N} \otimes \dot{\boldsymbol{v}}_{0}\right)\right) \leqslant \\& -\frac{k_{0}}{2 \bar{\lambda}_{M}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}+\frac{k_{0}}{4 \bar{\lambda}_{\boldsymbol{M}}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}+\frac{N}{k_{0}} \bar{\lambda}_{M} \bar{\lambda}_{\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M \boldsymbol { B }}}\left\|\dot{\boldsymbol{v}}_{0}\right\|_{2}^{2} \leqslant \\& -\frac{k_{0}}{2 \bar{\lambda}_{\boldsymbol{M}}} Q_{0}+\frac{N}{k_{0}} \bar{\lambda}_{M} \bar{\lambda}_{\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{M B}^{\boldsymbol{\delta}} \delta_{0}\end{aligned}$

可知Q₀是最终一致有界的,即观测误差 ${\tilde{ε}}_{p}$ 与 ${\tilde{ε}}_{v}$ 是最终一致有界的.

2.2 位置跟踪控制律设计

首先基于2.1节中得到的观测值 ${\hat{p}}_{i}$ 以及相对位置矢量r_i,将节点i的期望位置p_c,_i定义为 p_c,_i= ${\hat{p}}_{i}$ + ${\tilde{r}}_{i}$ ,其中 ${\tilde{r}}_{i}$ 为R( ${\hat{θ}}_{i}$ , ${\hat{ψ}}_{i}$ )r_i的滤波值,即 ${\tilde{d r}}_{i}$ /dt=-k_1,2ε_r_,_i,其中ε_r_,_i为与期望相对位置相关的滤波误差,定义为ε_r_,_i= ${\tilde{r}}_{i}$ -R( ${\hat{θ}}_{i}$ , ${\hat{ψ}}_{i}$ )r_i, ${\hat{θ}}_{i}$ 与 ${\hat{ψ}}_{i i}$ 分别为与 ${\hat{v}}_{i}$ 相关的弹道倾角与弹道偏角.记 ${\hat{v}}_{i}$ =[ ${\hat{v}}_{x, i}$ ${\hat{v}}_{y, i}$ ${\hat{v}}_{z, i}$ ]^T,则 ${\hat{θ}}_{i}$ 与 ${\hat{ψ}}_{i i}$ 的计算方法为

$\hat{\theta}_{i}=\arcsin \left(\hat{v}_{y, i} \hat{V}_{i}^{-1}\right), \hat{\psi}_{i}=-\arctan \left(\hat{v}_{z, i} \hat{v}_{x, i}^{-1}\right)$

其中 ${\hat{V}}_{i}$ = $‖{\hat{v}}_{i}‖$ .然后将虚拟速度指令v_c,_i设计为

$\boldsymbol{v}_{\mathrm{c}, i}=-k_{1,1} \boldsymbol{\varepsilon}_{p, i}+\mathrm{d}\left(\hat{\boldsymbol{p}}_{i}+\widetilde{\boldsymbol{r}}_{i}\right) / \mathrm{d} t$

其中ε_p_,_i=p_i-p_c,_i,代表节点i实际位置与其期望位置之间的跟踪误差.

然后求取实际控制加速度u_i.式(1)中的动力学部分可改写为 ${\overset{\cdot}{v}}_{i}$ =R(θ_i,ψ_i)u_i-[0 g 0]^T,同时注意到R(θ_i,ψ_i)R^T(θ_i,ψ_i)=I₃.故将u_i设计为

(7)$\boldsymbol{u}_{i}=\boldsymbol{R}^{\mathrm{T}}\left(\theta_{i}, \psi_{i}\right)\left(-k_{2,1} \boldsymbol{\varepsilon}_{\mu, i}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \widetilde{\boldsymbol{v}}_{i}+\left[\begin{array}{lll}0 & g & 0\end{array}\right]^{\mathrm{T}}\right)$

式中:ε_μ_,_i=v_i- ${\tilde{v}}_{c, i}$ ,代表节点i实际速度与滤波后期望速度之间的跟踪误差; ${\tilde{v}}_{i}$ 是v_c,_i的滤波值,即 $\frac{d}{d t} {\tilde{v}}_{i}$ =-k_2,2ε_v_,_i,其中ε_v_,_i= ${\tilde{v}}_{i}$ -v_c,_i,代表与期望速度相关的滤波误差;k_1,1、k_2,1与k_2,2均为正常数.

在该位置跟踪控制律下,对于节点i而言,跟踪误差ε_p_,_i与ε_μ_,_i以及滤波误差ε_r_,_i和ε_v_,_i均为最终一致有界的,证明如下.

首先构造李雅普诺夫函数:

$\begin{array}{ll}Q_{1,1}=\frac{1}{2}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{p, i}\right\|_{2}^{2}, & Q_{1,2}=\frac{1}{2}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{r, i}\right\|_{2}^{2} \\Q_{2,1}=\frac{1}{2}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{\mu, i}\right\|_{2}^{2}, & Q_{2,2}=\frac{1}{2}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{v, i}\right\|_{2}^{2}\end{array}$

并有

$\begin{array}{l}\dot{Q}_{2,1}=-k_{2,1}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{\mu, i}\right\|_{2}^{2} \\\dot{Q}_{2,2}=-\frac{1}{2} k_{2,2}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{v, i}\right\|_{2}^{2}+\frac{1}{2 k_{2,2}}\left\|\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \boldsymbol{v}_{\mathrm{c}, i}\right\|_{2}^{2} \\\dot{Q}_{1,1}=-\frac{1}{2} k_{1,1}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{p, i}\right\|_{2}^{2}+\frac{1}{2 k_{1,1}}\left(\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{\mu, i}\right\|_{2}^{2}+\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{\nu, i}\right\|_{2}^{2}\right) \\\dot{Q}_{1,2}=-\frac{1}{2} k_{1,2}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{r, i}\right\|_{2}^{2}+\frac{1}{2 k_{1,2}}\left\|\dot{\boldsymbol{R}}\left(\hat{\theta}_{i}, \hat{\psi}_{i}\right) \boldsymbol{r}_{i}\right\|_{2}^{2}\end{array}$

设Q₃=Q_1,1+Q_1,2+(k_1,1k_2,1)^-1Q_2,1+2(k_1,1k_2,2)^-1Q_2,2.Q₃对时间求导:

$\begin{aligned}\dot{Q}_{3}= & -\frac{1}{2} k_{1,1}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{p, i}\right\|_{2}^{2}-\frac{1}{2} k_{1,2}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{r, i}\right\|_{2}^{2}+\delta_{p}- \\& \frac{1}{2 k_{1,1}}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{\mu, i}\right\|_{2}^{2}-\frac{1}{2 k_{1,1}}\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{v, i}\right\|_{2}^{2} \leqslant-c_{3} Q_{3}+\delta_{p}\\\delta_{p} & =\left(2 k_{1,2}\right)^{-1}\left\|\dot{\boldsymbol{R}}\left(\hat{\theta}_{i}, \hat{\psi}_{i}\right) \boldsymbol{r}_{i}\right\|_{2}^{2}+\left(k_{1,1} k_{2,2}^{2}\right)^{-1} \bar{\nu}_{\mathrm{c}} \\\bar{\nu}_{\mathrm{c}} & =\sup _{t>0}\left\|\tilde{\boldsymbol{v}}_{\mathrm{c}, i}\right\|_{2}^{2} \\c_{3} & =\min \left\{k_{1,1}, k_{1,2}, k_{2,1}, \frac{1}{2} k_{2,2}\right\}\end{aligned}$

可见Q₃是最终一致有界的.进一步考虑本文的控制目标,可以推知:

(9)$\begin{aligned}\left\|\boldsymbol{p}_{i}-\boldsymbol{p}_{\mathrm{c}, i}\right\|= & \| \boldsymbol{\varepsilon}_{p, i}+\widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{p, i}+\boldsymbol{\varepsilon}_{r, i}+ \\& \left(\boldsymbol{R}\left(\hat{\theta}_{i}, \hat{\psi}_{i}\right)-\boldsymbol{R}\left(\theta_{0}, \psi_{0}\right)\right) \boldsymbol{r}_{i} \| \leqslant \\& \left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{p, i}\right\|+\left\|\widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{p, i}\right\|+\left\|\boldsymbol{\varepsilon}_{r, i}\right\|+ \\& \left\|\left(\boldsymbol{R}\left(\hat{\theta}_{i}, \hat{\psi}_{i}\right)-\boldsymbol{R}\left(\theta_{0}, \psi_{0}\right)\right) \boldsymbol{r}_{i}\right\|\end{aligned}$

据前文分析可知,位置跟踪误差ε_p_,_i、位置观测误差 ${\tilde{ε}}_{p, i}$ 和滤波误差ε_r_,_i均为最终一致有界的;速度观测误差 ${\tilde{ε}}_{v, i}$ 也是最终一致有界的,故$ \|\left(\boldsymbol{R}\left(\hat{\theta}_{i}, \hat{\psi}_{i}\right)-\right. \left.\boldsymbol{R}\left(\theta_{0}, \psi_{0}\right)\right) r_{i} \|$同为有界变量.则推知$ \left\|\boldsymbol{p}_{i}-\boldsymbol{p}_{\mathrm{c}, i}\right\| $也是最终一致有界的,即所提出的控制方法能够完成控制目标.

3 仿真验证

考虑由4架飞行器与1个虚拟领导者组成的网络,其通信关系如图1所示,图中由节点j指向节点i的实线代表节点j可向i发送信息.虚拟领导者的运动轨迹设置为V₀=100 m/s,θ₀=0.05× sin[0.05(t-0.5)] rad,ψ₀=0.4sin[0.1(t-2.5)]-0.79 rad.虚拟领导者初始位置为p₀(0)=[50 150 50]^Tm.期望队形中的相对位置向量设为r₁=[70 0 0]^Tm,r₂=[0 0 -70]^Tm,r₃=[-70 0 0]^Tm以及r₄=[0 0 70]^Tm.分布式观测器与位置跟踪控制律中的参数设置为k_0,1=400,k_0,2=80,k_1,1=k_2,1=0.5以及k_2,2=80.各飞行器初始运动状态如表1所示. 将本文中飞行器期望位置 p_c,_i 的定义方法与文献[8-9]中期望位置定义方法进行对比仿真.根据文献[8],p_c,_i表示为p_c,_i=p₀+r_i.

图1

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图1 飞行器群通信拓扑

Fig.1 Communication topology of flight vehicles

表1 各飞行器初始状态

Tab.1 Initial states of flight vehicles

节点i	p_i(0)/m	V_i(0)/(m·s^-1)	θ_i(0)/rad	ψ_i(0)/rad
1	[70 140 75]^T	100	-0.1	-0.60
2	[75 160 -20]^T	110	0	-0.79
3	[-25 130 -35]^T	100	0.1	-0.90
4	[-25 150 75]^T	100	0	-0.79

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在本文控制方法作用下,各飞行器与虚拟领导者的运动轨迹如图2所示;按照文献[8-9]方法计算飞行器期望位置并使用本文的位置跟踪控制律时,各飞行器与虚拟领导者的运动轨迹如图3所示.在第20 s与第30 s时飞行器的相对位置如图4所示.图中,文献[8-9]中的方法虽使各飞行器跟随领导者飞行,但队形只能在空间中平移运动;而本文方法使队形方向始终与领导者速度方向保持一致.

图2

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图2 飞行器轨迹(本文方法)

Fig.2 Trajectories of flight vehicles (method proposed)

图3

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图3 飞行器轨迹(文献[8-9]方法)

Fig.3 Trajectories of flight vehicles (method in references [8-9])

图4

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图4 t=20 s与t=30 s的编队构型

Fig.4 Formation at t=20 s and t=30 s

将位置观测误差与速度观测误差分别表示为 ${\tilde{ε}}_{p, i}$ =[ ${\tilde{ε}}_{x, i}$ ${\tilde{ε}}_{y, i}$ ${\tilde{ε}}_{z, i}$ ]^T与 ${\tilde{ε}}_{v, i}$ =[ ${\tilde{ε}}_{v x, i}$ ${\tilde{ε}}_{v y, i}$ ${\tilde{ε}}_{v z, i}$ ]^T, ${\tilde{ε}}_{p, i}$ 变化曲线如图5所示, ${\tilde{ε}}_{v, i}$ 变化曲线如图6所示.可见位置观测误差 ${\tilde{ε}}_{p, i}$ 在反馈观测一致性误差ε_p_,_i的作用下实现收敛,而速度观测误差 ${\tilde{ε}}_{v, i}$ 随着 ${\tilde{ε}}_{p, i}$ 的收敛而收敛,验证了DESO的有效性.

图5

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图5 位置观测误差

Fig.5 Position observation errors

图6

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图6 速度观测误差

Fig.6 Velocity observation errors

将位置跟踪误差表示为ε_p_,_i=[ε_x_,_i ε_y_,_i ε_z_,_i]^T,各飞行器位置跟踪误差如图7所示,可见位置误差是最终一致有界的,各飞行器可以通过跟踪期望位置完成编队控制任务.

图7

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图7 位置跟踪误差

Fig.7 Position tracking errors

4 结语

本文研究一种基于分布式观测器的飞行器编队控制方法,首先给出分布式状态观测器,使各飞行器观测出虚拟领导者的位置;然后基于观测结果与期望队形计算出各飞行器的期望位置,并通过给出的位置跟踪控制律使飞行器跟踪期望位置,从而实现编队控制.数值仿真验证了所提编队控制方法的有效性.

参考文献

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文献年度倒序

文中引用次数倒序

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为解决四旋翼无人机编队控制问题,提出基于事件触发的多四旋翼无人机系统固定时间编队控制算法。针对无人机的姿态环控制,选取切换的固定时间滑模面,使得当系统状态在滑模面上时,系统能够在固定时间到达平衡点。当系统状态不在滑模面上时,设计固定时间滑模控制器,使得不在滑模面上的系统状态,能够在固定时间内到达滑模面。针对无人机的位置环控制,研究了事件驱动下的固定时间编队控制策略。分析表明：位置控制器最短触发时间间隔是一个有限的值,证明系统不存在Zeno现象。通过数值仿真验证了所提控制算法的有效性。

Shuai

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Fixed-time event-triggered formation control for multiple UAVs

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DOI:10.16182/j.issn1004731x.joss.20-0613 [本文引用: 1]

To solve the quadrotor UAV formation control problem, an event-triggered fixed time formation control algorithm of multi quadrotor UAV system is studied. For the attitude loop control problem of UAV, the switching fixed time sliding surface is selected to make the system reach the equilibrium point in a fixed time when the system state is on the sliding surface. A fixed-time sliding mode controller is designed so that the system state which is not on the sliding surface can reach the sliding surface within a fixed time. In view of the position loop control problem of UAV, the event-driven fixed time formation control strategy is studied. It is analyzed that the shortest trigger time interval of position controller is a finite value and there is no Zeno phenomenon. The effectiveness of the proposed control algorithm is verified by numerical simulations.

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多无人机编队递归非奇异终端滑模容错控制

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This paper addresses the problem of cooperative guidance for multiple flight vehicles, comprising a leader and seeker-less followers. All the flight vehicles are required to hit the target simultaneously at a desired impact time, even though the target information is unavailable to the followers. To achieve this, a fixed-time convergent guidance law is proposed for the leader, incorporating impact time control. We introduce an adaptive cooperative guidance strategy for the seeker-less followers through coordinated position location relative to the leader. The simulation results validate the effectiveness satisfactorily coinciding with the theoretical analysis.Copyright © 2023 ISA. Published by Elsevier Ltd. All rights reserved.

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PENG

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A survey of multi-agent formation control

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... 多飞行器协同编队在军用与民用领域均具有广泛应用,近年来受到较多关注^[1-2].飞行器编队控制的主要目标是令多架飞行器在飞行过程中满足一定的相对位置约束.针对多飞行器编队控制,国内外诸多学者已开展了较为深入的研究. ...

Robust leader-follower cooperative guidance under false-data injection attacks

2023

基于事件触发的多无人机固定时间编队控制

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... 一致性是指多智能体系统(multi-agent system, MAS)就某一行为达成一致的现象,一致性理论是编队控制重要的理论基础.基于一致性理论的编队控制律中,“领导-跟随”架构通过“领导者”决定编队整体的运动轨迹,而控制“跟随者”按照期望队形跟随“领导者”运动,是一种较为典型的编队控制架构.一些文献通过构造关于空间位置的一致性误差,并在误差中引入期望队形中“跟随者”与“领导者”之间的相对位置信息,达到基于一致性控制的编队控制^[3].文献[4]中针对多无人机系统构造了引入期望相对位置的一致性误差,给出一种滑模控制律,通过使一致性误差收敛实现了编队控制.文献[5]中综合考虑多无人机编队控制与避碰问题,在位置一致性控制律中通过引入辅助变量保证各无人机间能够保持安全距离. ...

Fixed-time event-triggered formation control for multiple UAVs

2021

多无人机编队递归非奇异终端滑模容错控制

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Recursive non-singular terminal sliding mode fault-tolerant control of multi-UAV formation

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Time-varying formation control with moving obstacle avoidance for input-saturated quadrotors with external disturbances

2024

Finite-time observer-based H_∞ fault-tolerant output formation tracking control for heterogeneous nonlinear multi-agent systems

2023

... 基于一致性理论的分布式状态观测器(distributed state observer, DSO)是使“跟随者”估计“领导者”状态的重要工具.文献[6-7]中分别设计了有限时间收敛与固定时间收敛的DSO,使“跟随者”能够估计出“领导者”的状态.然而大多数分布式状态观测器在观测“领导者”多个阶次的状态时,需要“跟随者”获取其邻居关于“领导者”每个阶次状态的观测值.当MAS规模较大或“领导者”状态阶次较多时,观测器需要传输大量的数据才能实现观测.而当“领导者”的高阶信息不可测量时,DSO则无法对“领导者”所有阶次的状态进行估计.因此,本文使用分布式扩张状态观测器(distributed extended state observer, DESO),使“跟随者”只需获取邻居节点关于“领导者”位置的观测值即可同时完成对“领导者”位置和速度的估计. ...

Fixed-time anti-saturation grouped cooperative guidance law with state estimations of multiple maneuvering targets

2023

Fault-tolerant formation control for leader-follower flight vehicles under malicious attacks

2024

... 另外,大部分基于位置一致性的编队控制律仅在惯性空间中定义位置一致性误差与期望相对位置,此时生成的队形在惯性空间中往往是定常的,编队只能在空间中平移运动^[8-9].鉴于此,本文在“领导者”速度坐标系中定义相对位置向量,以此描述期望队形,并借助DESO使“跟随者”获取或估计出“领导者”的位置与速度,从而使期望队形在惯性空间中的方向始终与虚拟领导者速度方向保持一致. ...

... 考虑由4架飞行器与1个虚拟领导者组成的网络,其通信关系如图1所示,图中由节点j指向节点i的实线代表节点j可向i发送信息.虚拟领导者的运动轨迹设置为V₀=100 m/s,θ₀=0.05× sin[0.05(t-0.5)] rad,ψ₀=0.4sin[0.1(t-2.5)]-0.79 rad.虚拟领导者初始位置为p₀(0)=[50 150 50]^Tm.期望队形中的相对位置向量设为r₁=[70 0 0]^Tm,r₂=[0 0 -70]^Tm,r₃=[-70 0 0]^Tm以及r₄=[0 0 70]^Tm.分布式观测器与位置跟踪控制律中的参数设置为k_0,1=400,k_0,2=80,k_1,1=k_2,1=0.5以及k_2,2=80.各飞行器初始运动状态如表1所示. 将本文中飞行器期望位置 p_c,_i 的定义方法与文献[8-9]中期望位置定义方法进行对比仿真.根据文献[8],p_c,_i表示为p_c,_i=p₀+r_i. ...

... ]中期望位置定义方法进行对比仿真.根据文献[8],p_c,_i表示为p_c,_i=p₀+r_i. ...

... 在本文控制方法作用下,各飞行器与虚拟领导者的运动轨迹如图2所示;按照文献[8-9]方法计算飞行器期望位置并使用本文的位置跟踪控制律时,各飞行器与虚拟领导者的运动轨迹如图3所示.在第20 s与第30 s时飞行器的相对位置如图4所示.图中,文献[8-9]中的方法虽使各飞行器跟随领导者飞行,但队形只能在空间中平移运动;而本文方法使队形方向始终与领导者速度方向保持一致. ...

... 所示.图中,文献[8-9]中的方法虽使各飞行器跟随领导者飞行,但队形只能在空间中平移运动;而本文方法使队形方向始终与领导者速度方向保持一致. ...

... 飞行器轨迹(文献[8-9]方法) Trajectories of flight vehicles (method in references [<xref ref-type="bibr" rid="b8">8</xref>-<xref ref-type="bibr" rid="b9">9</xref>])

Fig.3

10.16183/j.cnki.jsjtu.2024.205.F0004

图4 t=20 s与t=30 s的编队构型 Formation at t=20 s and t=30 s

Fig.4

... Trajectories of flight vehicles (method in references [8-9])Fig.3

10.16183/j.cnki.jsjtu.2024.205.F0004

图4 t=20 s与t=30 s的编队构型 Formation at t=20 s and t=30 s

Fig.4

On novel distributed fixed-time formation tracking of multiple hypersonic flight vehicles with collision avoidance

2023

... -9]中的方法虽使各飞行器跟随领导者飞行,但队形只能在空间中平移运动;而本文方法使队形方向始终与领导者速度方向保持一致. ...

... -9]方法) Trajectories of flight vehicles (method in references [<xref ref-type="bibr" rid="b8">8</xref>-<xref ref-type="bibr" rid="b9">9</xref>])

Fig.3

10.16183/j.cnki.jsjtu.2024.205.F0004

图4 t=20 s与t=30 s的编队构型 Formation at t=20 s and t=30 s

Fig.4

... -9])Fig.3

10.16183/j.cnki.jsjtu.2024.205.F0004

图4 t=20 s与t=30 s的编队构型 Formation at t=20 s and t=30 s

Fig.4

Adaptive cooperative guidance with seeker-less followers: A position coordination-based framework

2023

... 通过代数图论描述飞行器群中各飞行器之间的通信关系.对于含有N个节点的有向图G,令V_G={1, …, N}与E_G⊆V_G×V_G分别代表图G的节点集合与边集合.借助图G的邻接矩阵W=[w_ij

]_{i, j = 1}^{N}

描述图中各节点的通信关系^[10].当节点i能够收到节点j发送的信息时,两节点之间存在一条由节点j指向节点i的边,即(i, j)∈E_G,且w_ij=1;否则w_ij=0.图G的度矩阵记为D=diag{d_i

}_{i = 1}^{N}

,其中d_i=

\overset{N}{\sum_{j = 1}}

w_ij;图G的拉普拉斯矩阵为L=D-W. ...

Event-triggered dynamic surface control of an underactuated autonomous surface vehicle for target enclosing

2021

... 引理1^[11] 对于有向图G的拉普拉斯矩阵$\boldsymbol{L} \in \boldsymbol{R}^{N \times N}$与矩阵$\boldsymbol{W}_{i 0} $,当图G是连通图并且$\boldsymbol{W}_{i 0} \neq \mathbf{0}_{N \times N}$时,$\boldsymbol{H}=\boldsymbol{L}+\boldsymbol{W}_{0}$为正定矩阵. ...

Layered affine formation control of networked uncertain systems: A fully distributed approach over directed graphs

2021

... 引理2^[12] 当矩阵$\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{N \times N} $为Hurwitz矩阵时,存在对称正定矩阵M,使得Lyapunov方程$\boldsymbol{M A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}=-k_{0} \boldsymbol{I}_{N}$成立,其中$k_{0} \in \boldsymbol{R}_{+}$. ...

Distributed observer-based cooperative guidance with appointed impact time and collision avoidance

2021

... 假设1^[13] 节点0的加速度有限,即存在$\delta_{0} \in \boldsymbol{\mathbb{R}}_{+}$,满足$\delta_{0}=\sup _{t>=0}\left\|\dot{v}_{0}\right\|_{2}^{2}$. ...

〈

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