上海交通大学学报

上海交通大学学报, 2025, 59(8): 1133-1144 doi: 10.16183/j.cnki.jsjtu.2023.558

船舶海洋与建筑工程

基于广义极值分布的实测地震动概率统计模型

冯鹏飞, 周敉,, 李志烜, 朱国强

长安大学 旧桥检测与加固技术交通行业重点实验室, 西安 710064

Probability Statistical Model for Measured Ground Motion Based on Generalized Extreme Value Distribution

FENG Pengfei, ZHOU Mi,, LI Zhixuan, ZHU Guoqiang

Key Laboratory for Old Bridge Detection and Reinforcement Technology of the Ministry of Transportation, Chang’an University, Xi’an 710064, China

通讯作者: 周 敉,教授,博士生导师;E-mail:zhoumi@chd.edu.cn.

责任编辑: 王历历

收稿日期: 2023-11-6   修回日期: 2024-04-8   接受日期: 2024-04-12  

基金资助: 国家重点研发计划(2021YFB1600300)
国家自然科学基金(51978062)
长安大学中央高校基本科研业务费专项资金(300102212209)

Received: 2023-11-6   Revised: 2024-04-8   Accepted: 2024-04-12  

作者简介 About authors

冯鹏飞(1990—),博士生,从事桥梁工程抗震性能研究.

摘要

为建立地震动峰值加速度的概率分布模型,收集了500个台站的 255365 条地震动记录,构成初步的峰值加速度统计样本.首先,选用广义极值分布作为地震动峰值加速度的概率模型.基于此模型,分析了常用于估算极值分布模型参数的最大似然估计法和线性矩估计法的有效性.其次,依据最大似然估计的渐近正态性,提出了确定建立广义极值分布模型时所需最小样本长度的方法;分析表明,建立地震动峰值加速度的广义极值分布模型时,数据样本长度不宜小于120.对符合样本长度要求的地震动峰值加速度数据样本进行统计分析,发现其模型参数会随着样本长度的增加而收敛于一个较小的范围.最后,建立了不同类型场地的实测地震动峰值加速度的概率统计模型和地震危险性计算公式.

关键词： 广义极值分布; 极大似然估计; 最小样本长度; 地震动概率分布; 地震危险性

Abstract

To develop a probability distribution model of peak ground acceleration, 255365 ground motion recordings are collected from 500 stations to create initial statistical samples of peak ground acceleration. First, the generalized extreme value distribution is employed as the probability model for peak ground acceleration. The effectiveness of the maximum likelihood estimation method and the linear moment estimation method, commonly used for estimating parameters of the extreme value distribution model, is assessed using the proposed generalized extreme value distribution model. Then, a method is proposed to determine the minimum required sample length when establishing a generalized extreme value distribution model based on the asymptotic normality of the maximum likelihood estimation. The analysis indicates that the data sample size should not be less than 120 when constructing the generalized extreme value distribution model for peak ground acceleration in seismic events. Statistical analysis is conducted on seismic peak ground acceleration data samples which meet the sample size requirement. It is observed that the model parameters converge to a relatively narrow range as the sample size increases. Ultimately, probability statistical models for measured peak ground acceleration and seismic hazard calculation formulas for different types of sites are established.

Keywords： generalized extreme value distribution; maximum likelihood estimation; minimum sample length; earthquake action probability distribution; seismic hazard

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本文引用格式

冯鹏飞, 周敉, 李志烜, 朱国强. 基于广义极值分布的实测地震动概率统计模型[J]. 上海交通大学学报, 2025, 59(8): 1133-1144 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2023.558

FENG Pengfei, ZHOU Mi, LI Zhixuan, ZHU Guoqiang. Probability Statistical Model for Measured Ground Motion Based on Generalized Extreme Value Distribution[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2025, 59(8): 1133-1144 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2023.558

工程结构在全寿命周期内除了要承受恒载、活载等常规荷载作用外,还需具备抵抗地震、飓风、洪水等众多灾害侵袭的能力[1].地震发生时,大跨度桥梁除了需要抵抗地震作用外,可能同时还需承受移动荷载[2-3];高烈度地震区的高层建筑和海边风电机在服务寿命期内有可能遭遇“低概率-高风险”的地震与强风的耦合作用[4-6].基于二代结构设计理论建立的工程抗震设计规范,除了AASHTO规范中给出地震作用下需要考虑0.5倍的卡车荷载的建议外[7],其他常见规范都未考虑地震与随机荷载组合的情况.要解决随机荷载与地震作用的组合问题,需要摒弃传统定数法的思路,开展结构寿命周期内基于可靠度理论的多灾害、全概率抗震设计方法研究[5,8];而地震动概率分布模型是开展全概率抗震设计方法研究的重要基础之一[9].

Cornell[10]首次从理论角度近似地论述了地面峰值加速度(peak ground acceleration,PGA)符合极值 II 型分布.高小旺等[11]统计分析45个城镇的地震危险性数据,建立地震烈度的极值 III 型分布模型和PGA的极值 II 型分布模型,但由于统计样本较少,所以该概率模型存在较大误差.Lillo等[12]、Thompson等[13]的研究表明年最大震级数据特征可用极值分布模拟.地震动的极值分布模型在多灾害危险性分析、多灾害荷载组合方法研究中得到广泛应用.周敉等[14-15]利用高小旺等建立的PGA极值 II 分布模型研究了地震和其它荷载作用共同作用于桥梁结构时地震设计状况的荷载组合分项系数.Ren等[16]通过拟合美国工程局给出的地震危险性曲线确立PGA极值模型,分析了长期受水流冲刷作用桥梁的易损性.Li等[17]利用683个PGA数据样本建立了云南大理地区的PGA分布模型,研究了高层建筑结构在地震和强风耦合作用下的易损性;由于收集的PGA样本数较少,所以忽略了场地对PGA模型的影响.地震工程领域中的概率模型还有分段Possion模型、复合概率模型、地震族模型等[18],这几种模型主要用于支撑场地危险性分析;部分学者[19-21]在多灾害结构风险研究中,采用幂函数型或双曲型的数学模型来模拟PGA超越概率,模型中的参数都是通过拟合场地危险性曲线所得.

地震危险性分析采用了较多假设条件,因此基于地震危险性分析数据建立的PGA分布模型与实际PGA分布规律的吻合程度不得而知;依据少量地震动样本建立的概率模型误差较大,不能从统计学角度反应PGA的分布规律.实测荷载作用的统计模型一直是结构安全设计与可靠度分析中最为薄弱的一个支点[9].随着全球地震监测台站的增加,地震动实测数据记录日益丰富,收集大量实测地震动记录并进行统计分析,建立具有统计学意义的PGA概率分布模型,来弥补现有地震动模型缺乏实际数据验证的不足具有较高的科学价值.

鉴于此,基于收集的大量地震动监测数据建立PGA统计样本,对比分析常用的两种极值分布模型参数估计方法的有效性,提出一种建立广义极值(generalised extreme value,GEV)分布模型时确立所需最小样本长度的方法,建立了具有统计学意义的实测PGA概率分布模型和不同设计基准期下的地震危险性公式.

1 广义极值分布

对于独立同分布样本,其极大值的渐近分布有3种类型[22]:极值 I 型(Gumbel)分布、极值 II 型(Frechet)分布和极值 III 型(Weibull)分布.极值 I 型分布~极值 III 型分布的计算公式如下:

$H_{1}(x)=\exp \left\{-\mathrm{e}^{-\frac{x-\mu}{\sigma}}\right\}, \quad-\infty<x<+\infty$
$H_{2}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x \leqslant \mu, k>0 \\\exp \left\{-\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{-k}\right\}, & x>\mu, k>0\end{array}\right.$
$H_{3}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\exp \left\{-\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{k}\right\}, & x \leqslant \mu, k>0 \\1, & x>\mu, k>0\end{array}\right.$

式中:H1(x)、H2(x)、H3(x)分别为极值 I~III 型分布函数;k为形状参数;σ为尺度参数;μ为位置参数.

在极值渐近分布存在且不会趋于退化的情况下,可以用GEV分布统一表示以上3种极值分布[22].GEV分布函数的计算公式如下:

H(x)=exp$\left\{-{\left(1+k\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^{-1/k}\right\}$, 1+$\frac{k(x-\mu )}{\sigma }$>0

式中:当形状参数k>0时,H(x)代表极值 II 型分布,此时位置参数和尺度参数分别为μ-σ/k、σ/k;当形状参数k=0时,H(x)代表极值 I 型分布;当k<0时,H(x)代表极值 III 型分布.

GEV分布函数的α(0<α<1)分位数的计算公式如下:

xα=μ-σ[1-(-ln α)-k]/k, k≠0

极值分布模型已被证明可以较准确地模拟各种极端事件的分布特征,广泛应用于最大风速、最高洪水位、最高海平面等事件的研究[23-26].本文采用GEV分布模型分析PGA数据样本,建立其概率分布模型.

2 参数估计方法

统计分析结果的准确性主要取决于概率模型、数据样本和参数估计方法3个因素,参数估计方法选取是否恰当对最终估算结果影响很大.极大似然估计(maximum likelihood estimation,MLE)法和线性矩估计(L-moment estimation,LME)法由于概念简单、计算效率高,是极值统计分析中最常用的两种参数估计方法.但对这两种方法的有效性评价褒贬不一[27-28].为了确定更加适合PGA数据类型的GEV参数估算方法,统计既定参数的GEV分布模型随机生成的数据样本,分析MLE和LME两种参数估计方法的有效性.

2.1 MLE法与LME法

2.1.1 MLE法

设X1,X2,…,Xn是服从GEV分布的独立随机变量,当k≠0时,n个随机变量的对数似然函数如下:

$\begin{aligned}l(\mu, \sigma, k)= & -n \lg \sigma-(1+1 / k) \\& \sum_{i=1}^{n} \lg \left[1+k\left(\frac{x_{i}-\mu}{\sigma}\right)\right]- \\& \sum_{i=1}^{n}\left[1+k\left(\frac{x_{i}-\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1 / k}\end{aligned}$

式中:xi为第i个样本的观测值;1+k$\left(\frac{{x}_{i}-\mu }{\sigma }\right)$>0.

对式(6)分别求关于参数μ、σ、k的一阶导数,建立非线性似然方程组,采用数值计算方法可得GEV分布参数的极大似然估计值.

2.1.2 LME法

LME法是对概率权矩估计方法的改进,其基本原理同传统的矩估计法相同,通过设样本矩与总体矩相等来获得总体参数的估计值.设X1:n≤X2:n…≤Xn:n是随机变量X的样本次序统计量,则样本的r阶线性矩如下:

$\lambda_{r}=r^{-1} \sum_{s=1}^{r-1}(-1)^{s}\binom{r-1}{s} E X_{s+1: r}, \quad r \in \mathbf{N}^{+}$

式中:E为数学期望.

用${\hat{\lambda }}_{1}$、${\hat{\lambda }}_{2}$、${\hat{\lambda }}_{3}$分别表示1至3阶样本线性矩的无偏估计,线性矩的偏态系数${\hat{\tau }}_{3}$=${\hat{\lambda }}_{3}$/${\hat{\lambda }}_{2}$,则GEV分布的3个参数的线性矩估计近似计算公式如下:

k=7.8590z+2.9554z2
σ=λ2k[(1-2-k)Γ(1+k)]
μ=λ1-σ[1-Γ(1+k)]/k

式中:z=$\frac{2}{3(3+{\hat{\tau }}_{3})}$-$\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}2}{\mathrm{l}\mathrm{n}3}$;Γ为伽玛函数.

2.2 GEV分布模型参数特征

既定的GEV分布参数与实际PGA的GEV模型的分布参数相近,能有效地避免数据类型特征对估计方法的有效性产生影响.为了明确实际PGA的GEV模型参数值的分布规律,采用MLE法和LME法对从日本强震动数据库中收集的长度在200~500之间的190个台站的PGA数据样本进行GEV统计分析,结果如图1所示.这里所选取的数据只是PGA模型分析所用数据的一部分.将所得分布参数值划分为不同步长的子区间,k值子区间步长为0.1,σ和μ的子区间步长均为0.5.图1给出了GEV模型参数的取值分布范围,坐落在每一个子区间内的样本数,以及子区间的样本数占全部样本数的比值.文中只关注样本数大于5%的子区间.

图1

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图1   MLE法和LME法所得GEV分布模型的参数取值区间

Fig.1   Parameter value intervals of GEV distribution models obtained using MLE and LME methods


图1(a)表明,由MLE法所得k值主要在区间[0.55,1.15)内,LME法估算得k值集中在区间[0.45,0.75)内,分别由6个和3个步长均为0.1的子区间组成.为了方便分析参数估计方法的有效性,需要得到具体参数值.取每一个子区间的中值,可得由MLE法和LME法所得的k值数组k1和k2,k1=(0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1),k2=(0.5,0.6,0.7).将k1、k2合并,可得总的k值数组ka,ka=(0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1).由MLE法和LME法估算所得的样本数最多的子区间分别是[0.85,0.95)和[0.55,0.65),近似地认为k值数组中发生频率最高的两个元素是0.6和0.9.图1(b)表明由MLE法和LME法所得σ值分别集中在 [0.75,3.75)和[0.75,4.75)内,均由8个步长为0.5的子区间组成.取子区间的中值,可得由MLE法和LME法所得的σ值数组σ1和σ2,σ1=(1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5),σ2= (1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5,4.0,4.5).将σ1、σ2合并,可得总的σ值数组σa,σa= (1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5,4.0,4.5).两种估算方法所得样本数最大的σ值子区间相同,都是 [1.25,1.75),故σ值数组中出现频率最高的元素是1.5.从图1(c)可以发现由MLE法和LME法估算的μ值都主要分布在区间[1.25,4.75)内,且样本数最多的μ值子区间都是[2.25,2.75).与处理σ值的方法一样,可得总的μ值数组μa,μa= (1.5,2.0,2.5,3.0,3.5,4.0,4.5),和μ值数组中出现频率最高的元素2.5.

分析GEV分布模型的参数比值,发现MLE法估算的绝大部分μ值大于σ值,但μ/σ值小于2.5;σ与k的比值较为分散,分布在(0.5,6)内,存在k值小于σ值的情况,具体如图2(a)所示.图2(b)表明由LME法估算的σ值皆大于k值,σ/k值分布在区间(1,12)内;μ/σ值分布较为集中,主要在(1,2)内.基于以上的分析,在确定GEV分布模型参数时,需遵循σ/k>0.5,1≤μ/σ<2.5的原则,避免采用与实际PGA数据的GEV分布模型特征不相符的参数值.

图2

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图2   GEV分布模型的参数比值

Fig.2   Parameter ratios of GEV distribution model


2.3 有效性比较

根据既定分布参数的取值数组和各个参数之间的组合原则,可以给出既定GEV模型.为了减小计算量,既定GEV模型的分布参数并没有采用所有符合组合原则的取值数组中的元素,而是选择其中一个参数取不同元素时,另外两个参数值分别取相应参数取值数组中出现频率最高的元素.具体有效性比较方法如下:

第1步 当k取0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0、1.1时,取σ=1.5,μ=2.5;当σ取1.0、2.0、2.5时,k分别取0.6和0.9,μ=2.5;当μ值为1.5、2.0、3.0、3.5时,k分别取0.6和0.9,σ=1.5.

第2步 每一个既定GEV模型在不同样本长度下均生成100组随机数.用MLE法和LME法分别对生成的随机样本进行GEV分布参数估算.

第3步 用估计所得模型参数相对误差的绝对值差D来衡量两种参数估算方法的有效性.当差值D大于0时表示MLE法优于LME法,D的计算公式如下:

D=$\left|{\delta }_{\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{E}}\right|$-$\left|{\delta }_{\mathrm{L}\mathrm{M}\mathrm{E}}\right|$

式中:$\left|{\delta }_{\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{E}}\right|$、$\left|{\delta }_{\mathrm{L}\mathrm{M}\mathrm{E}}\right|$分别为由MLE法和LME法所得模型参数与既定模型参数之间的相对误差的绝对值.

设每一个样本长度下100组D值的平均值为Dm,图3~5给出不同分布参数值下的Dm值.从图3中可知,在k取不同值,σ=1.5,μ=2.5的组合中,仅当k=0.6,样本长度为500时,MLE法对μ的估计误差比LME法大;其他样本长度和k值处,都是MLE的误差小于LME,总体MLE法明显优于LME法.当k值较小时,MLE法和LME法的估计误差相近,但是当k值大于0.7时,k和σ的Dm值明显随着k的增大而增加,说明样本数据本身特性对于参数估计方法的有效性有影响,针对不同类型的数据需要选择恰当的参数估计方法.图4表明,当σ取不同值,k取值0.6、0.9,μ=2.5时,分布参数k、σ、μ的Dm值都大于0,MLE法所得分布参数的相对误差绝对值都小于LME法.对于形状参数和尺度参数而言,k=0.9时所对应的Dm值明显大于k=0.6时的Dm值,同样体现出参数估计方法的有效性很容易受到样本数据本身特性的影响.但是在同一k值所对应的Dm值中,并没有表现出随着σ增大而Dm增大的现象,说明对于参数估计误差的影响,k的敏感性要高于σ.图5同图3和图4呈现的规律类似,当μ取不同值,k取值0.6、0.9,σ=1.5时,3个分布参数的Dm值仅在个别样本长度处小于0,整体来看MLE法要明显优于LME法.对于参数估计误差的影响,k的敏感性要高于μ.通过对不同样本长度的多组随机数据进行GEV统计分析,可知建立PGA数据样本的GEV分布模型时,采用MLE法要比LME法更能客观地模拟数据样本.

图3

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图3   不同k值下分布参数的Dm值

Fig.3   Dm values of distribution parameters at different k values


图4

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图4   不同σ值下分布参数的Dm值

Fig.4   Dm values of distribution parameters at different σ values


图5

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图5   不同μ值下分布参数的Dm值

Fig.5   Dm values of distribution parameters at different μ values


3 最小样本长度

数据样本长度对于统计模型的准确性至关重要,满足最小样本长度要求是准确估计模型参数的必要条件.最小样本长度随着概率分布模型、参数统计方法的变化而变化[28-29].已有较多文献对各种类型数据在不同统计分析方法下所需最小样本长度进行了研究[29-32],但是与地震动有关的数据所需最小样本长度的分析却少见.为了比较客观地描述PGA数据样本,需先确定样本最小长度.

3.1 确定最小样本长度的方法

MLE的渐进正态性表明,当样本长度足够大时,分布参数的最大似然估计量具有渐近正态性[33].数据样本满足最小长度的要求时,与分布参数相关的最大似然估计量服从正态分布,能通过正态性分布检验.基于最大似然渐近理论,提出适用于GEV分布的最小样本长度确定方法,具体流程如图6所示.图中:P为P值.该方法以样本长度为j,符合GEV分布的随机样本的分位值xα为统计量.xα是分布参数k、σ、μ的非线性组合函数,严格来说xα并不服从正态分布,因此,文中xα的计算采用近似方法.

图6

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图6   确立最小样本长度的方法

Fig.6   Method for establishing the minimum sample length


设xα=g(k,σ,μ),将xα在参数k、σ、μ的平均值处进行多元泰勒展开,省略高阶微分项,仅保留线性项可得:

$ \begin{aligned}x_{\alpha} \approx & g\left(k_{\mathrm{m}}, \sigma_{\mathrm{m}}, \mu_{\mathrm{m}}\right)+\left.\frac{\partial g}{\partial k}\right|_{\substack{k=k_{\mathrm{m}} \\\sigma=\sigma_{\mathrm{m}} \\\mu=\mu_{\mathrm{m}}}} \cdot \\& \left(k-k_{\mathrm{m}}\right)+\left.\frac{\partial g}{\partial \sigma}\right|_{\substack{k=k_{\mathrm{m}} \\\sigma=\sigma_{\mathrm{m}} \\\mu=\mu_{\mathrm{m}}}} \cdot \\& \left(\sigma-\sigma_{\mathrm{m}}\right)+\left.\frac{\partial g}{\partial \mu}\right|_{\substack{k=k_{\mathrm{m}} \\\sigma=\sigma_{\mathrm{m}} \\\mu=\mu_{\mathrm{m}}}} \cdot\left(\mu-\mu_{\mathrm{m}}\right)\end{aligned}$

式中:km、σm、μm分别为参数k、σ、μ的平均值.

将式(5)代入式(12),得xα的近似线性组合计算公式如下:

$\begin{aligned}x_{\alpha} & \mu+\sigma_{\mathrm{m}}\left\{\left[1-(-\ln \alpha)^{-k_{\mathrm{m}}}\right] / k_{\mathrm{m}}^{2}-\right. \\& {\left.[\ln (-\ln \alpha)](-\ln \alpha)^{-k_{\mathrm{m}}} / k_{\mathrm{m}}\right\}\left(k-k_{\mathrm{m}}\right)-} \\& \sigma\left[1-(-\ln \alpha)^{-k_{\mathrm{m}}}\right] / k_{\mathrm{m}}\end{aligned}$

采用式(13)可得符合正态分布的xα近似值.

为了得到大量xα值,采用Bootstrap法有放回地抽样生成M组统计样本.通过对100组样本长度为100,服从标准正态分布的随机数组进行正态性检验,分析了常用的4种正态性检验方法Lilliefors、Shapiro-Wilk、K-S、Anderson-Dar的有效性,发现K-S检验法所得平均P值最大,因此选用K-S检验法检验xα的正态性.

3.2 最小样本长度

根据2.1节既定GEV分布模型的参数取值数组和参数组合原则,采用所提最小样本长度确定方法计算建立不同参数组合的GEV分布模型时所需要的最小样本长度.图7(a)~(f)分别给出不同k值对应的参数组合下,对统计量xα进行正态性检验所得P值与样本长度的关系曲线.设j的初始值为20;为了使得计算的最小样本长度结果可靠,M和N取值较大,M=1000,N=100.α取值 0.9979,xα的物理含义是某一荷载重现期为1/(1-α)年的设计值,由于本文旨在研究不同场地PGA的分布规律,所以这里给出重现期为475年的设计值.符合组合原则的分布参数组合较多,为了方便表达,图中仅给出同一k、σ与不同μ值组合下,所需最小样本长度值最大的参数组合的P值曲线.

图7

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图7   不同k值对应的P值曲线

Fig.7   P value curves at different k values


从图7中可以看出,不同k值所对应参数组合下统计量x0.997 9的P值,和大于等于给定显著性水平0.05时的临界样本长度,即所需最小样本长度.图7(a)表明当样本长度大于62时,采用与k=0.6对应的参数组合建立的GEV分布的x0.997 9符合正态性分布假设;图7(f)显示当k=1.1时,要使统计量x0.997 9接受正态性假设,样本所需的最小长度是119.整体来看,样本长度临界值表现出随形状参数k值增大而增加的现象,但是没有表现出随着位置参数σ值的增大而上升的趋势.再次体现出对于GEV分布,k比σ更具敏感性;这一点也可以从GEV分布的定义中直观地发现:k值决定了GEV分布的性质与形状特征,σ反映GEV分布在横坐标轴上的伸缩程度.样本长度分析采用的既定GEV模型根据实测PGA数据样本的GEV分布模型参数规律所确定.采用MLE法对PGA数据样本进行统计分析建立GEV分布模型时,所需最小样本长度是119,近似取值120.对15个长度在40~130之间的PGA样本进行GEV统计分析,发现当样本长度大于110时,GEV拟合分布与经验分布之间的概率点矩相关系数在0.98以上,证明以120为最小样本长度,建立的GEV模型可以比较客观地描述统计样本.

4 PGA概率分布模型

4.1 PGA数据收集

从日本强震数据库中收集具有详细地质资料的500个台站的地震动记录,每个台站地震动记录数量大于等于120条,总计 255365 条.提取每条地震动记录的PGA值,建立每个台站的PGA数据样本.根据PGA与地震烈度之间的换算关系[34],可得地震烈度为 I 度时所对应的PGA为1.73 gal(1 gal=1 cm/s2),文中以2.0 gal作为PGA数据样本元素值的下限.图8给出PGA数据样本长度和相应台站所在场地的30 m埋深剪切波速vs30,PGA的样本长度分布在120~3000 以内.根据吕红山[35]对中国场地与各国场地的平均vs30之间对应关系的研究,对收集到的500个台站按照中国场地分类标准进行分类.得到 I~IV 类场地的PGA数据样本数,分别为103、279、102、16. I~III 类场地的样本数都大于100,可以支撑建立具有统计学意义的PGA概率模型.IV 类场地的PGA样本仅有16个,所得GEV模型分布参数误差较大.

图8

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图8   PGA数据样本长度与场地剪切波速对应关系

Fig.8   PGA data sample length versus shear wave velocity of sites


4.2 建立PGA概率分布模型

采用MLE法对每个PGA数据样本进行GEV分布拟合分析,获得每个样本的GEV分布模型参数,参数随样本长度的分布情况如图9~11所示.从图9中可以看出,所有统计样本的k值均大于0,PGA的GEV分布模型为极值 II 型分布,这一结论与相关学者的研究结论相吻合[10-11].结合图10~11可以发现,当样本长度较小时,分布参数k、σ、μ沿竖坐标轴的分布比较分散,随着样本长度的增加,其分布呈现收敛趋势,对于k值尤为明显.当样本长度在 2400 以上,I~III 类场地的k值收敛于0.7~0.9内,σ值收敛于2.0~4.5内,μ值收敛于2.5~6.0内.从样本长度越大,模型越接近PGA客观分布规律的角度来说,所得收敛范围可以作为PGA概率分布模型参数的取值边界.由于建立的大容量样本较少,仅选择长度较大的样本进行统计分析不能建立具有统计学意义的概率模型,故按照场地类别对拟合所得的分布参数取平均值来建立PGA的GEV概率分布模型.每一类场地的PGA分布模型参数如表1所示.由表可见,I 类场地的k值最大,IV 类场地的k值最小;4类场地的平均k值都在0.8~0.9之间,这与基于地震危险性分析结果所得的k值在全中国场地取值2.35差距较大[11].显然将全国所有工程场地的k取相同值会使得计算误差较大,文中根据实际地震动记录获得的PGA分布模型参数值更具有参考价值.需要说明的是中国地震动参数区划图中将 I 类场地细分为 I0 和 I1 场地,本文在建立GEV分布模型过程中没有对 I 类场地进行细分,这里对 I0 和 I1 场地的概率分布模型参数均按照表1中的 I 类场地进行取值.

图9

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图9   4类场地的k值分布

Fig.9   Distribution of k values at four types of sites


图10

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图10   4类场地的σ值分布

Fig.10   Distribution of σ values at four types of sites


图11

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图11   4类场地的μ值分布

Fig.11   Distribution of μ values at four types of sites


表1   4类场地GEV分布模型参数

Tab.1  Parameters of GEV distribution model for four types of site

场地kσμ
I0.8911.9742.863
II0.8422.0693.124
III0.8482.1793.325
IV0.8252.1203.027

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根据表1中的GEV分布模型参数和式(4),可得不同场地的PGA概率分布函数表达式,以 II 类场地为例,其PGA概率分布模型如下:

$\begin{array}{l}F\left(a_{\mathrm{g}}\right)= \\\quad \exp \left\{-\left(1+0.842 \frac{a_{\mathrm{g}}-3.124}{2.069}\right)^{-1.188}\right\}\end{array}$

式中:F(ag)为ag的概率分布函数,ag为实测PGA值.

4.3 PGA概率分布模型的应用

根据建立的PGA概率分布模型,可以获得任意设计基准期T年内的地震危险性计算公式.GEV分布模型函数表达式式(4)可以写成如下形式:

$F(a)=\exp \left\{-\left(\frac{a}{a_{\mathrm{m}}}\right)^{-K}\right\}, \quad a>0$

式中:K=1/k,k值可根据场地类别从表1查询;a为设计PGA值;am=σ,σ值可从表1查询.

对式(15)两边取对数可得:

$\ln \left[1-P_{\mathrm{r}}\left(a_{\mathrm{PGA}} \geqslant a\right)\right]=-\left(\frac{a}{a_{\mathrm{m}}}\right)^{-K}$

式中:aPGA表示PGA值;Pr(aPGA≥a)为aPGA大于等于a的概率.

将任一超越水平下的PGA值代入式(16),可得:

$\ln \left[1-P_{\mathrm{r}}\left(a_{\mathrm{PGA}} \geqslant a_{0}\right)\right]=-\left(\frac{a_{0}}{a_{\mathrm{m}}}\right)^{-K}$

式中:a0为任一超越水平下的PGA值.

联立式(16)和式(17),可得任一超越水平下的PGA值对应的地震危险性计算公式:

$\begin{array}{l}P_{\mathrm{r}}\left(a_{\mathrm{PGA}} \geqslant a\right)= \\\quad 1-\exp \left\{-\ln \left[1-P_{\mathrm{r}}\left(a_{\mathrm{PGA}} \geqslant a_{0}\right)\right]\left(\frac{a}{a_{0}}\right)^{-K}\right\}\end{array}$

中国地震动参数区划图中给出了50年设计基准期下不同超越概率的PGA值,结合式(18)可得50年设计基准期对应的地震危险性分布.不同重现期的PGA值是由475年重现期下的基本PGA,即50年超越概率10%的PGA值乘以调整系数而得,以基本PGA值为准,建立50年设计基准期下的地震危险性计算公式:

$P_{\mathrm{r}}\left(a_{\mathrm{PGA}} \geqslant a\right)=1-\exp \left\{-0.105\left(\frac{a}{a_{10}}\right)^{-K}\right\}$

式(19)中指数部分表示PGA的累计概率.基于独立同分布函数的性质,对式(19)中累计概率项取2次方,可得100年设计基准期下的危险性计算公式:

$P_{\mathrm{r}}\left(a_{\mathrm{PGA}} \geqslant a\right)=1-\exp \left\{-0.21\left(\frac{a}{a_{10}}\right)^{-K}\right\}$

式中:a10为50年超越概率10%的PGA值.

根据地震动参数区划图给出的a10值,利用式(19)和式(20),可得50年、100年设计基准期下不同工程场地的地震危险性曲线,图12给出了 II 类场地地震危险性曲线.图中:g为重力加速度.由图可见,100年设计基准期下的地震危险性明显大于50年设计基准期下的地震危险性;a10值越大对应的地震危险性越大.除了获得地震危险性计算表达式外,PGA概率分布模型还可以用来建立地震作用与车辆、洪水冲刷、飓风等荷载作用的联合作用概率分布函数,为基于可靠度理论建立多灾害联合作用的结构工程设计方法研究提供支撑.

图12

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图12   II 类场地地震危险性曲线

Fig.12   Seismic hazard curves in Class II sites


5 结论

对收集到的大量实测地震动数据样本进行GEV分布统计分析,建立了PGA分布的概率统计模型,得到以下主要结论:

(1) 对于长度较大的PGA数据样本,进行GEV统计分析时,采用MLE法比LME法更能客观地描述统计样本的分布规律.

(2) 基于最大似然估计的渐近正态性和Bootstrap抽样法,提出建立GEV模型时确定所需最小样本长度的方法.对于PGA的数据样本,采用MLE法建立GEV分布模型时,统计样本的长度不宜小于120.

(3) 通过对大量实测PGA数据样本进行GEV统计分析,发现GEV分布模型参数会随着样本长度的增加而收敛于一个较小范围,I~III 类场地的k值收敛于0.7~0.9之间.建立了 I~IV 类场地的实测PGA概率分布模型,其中 I-III 类场地的PGA概率分布模型具有较强的统计学意义,模型中关键参数建议值可为相关研究提供参考.

(4) 基于建立的PGA概率分布模型和地震动参数区划图给出的基本PGA值,获得了50年和100年设计基准期下的地震危险性计算公式,以 II 类场地为例,给出了不同设计基准期下的地震危险性曲线.

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为了在保障桥梁目标可靠度指标的前提下，确定最优的地震设计状况荷载组合分项系数，使桥梁结构以最为经济的抗力方式抵御外加荷载，从而对现行的桥梁设计规范地震设计状况进行优化，为今后公路桥梁地震设计状况荷载组合计算提供理论依据和指导意见，以2座连续刚构桥为依托工程，建立空间动力有限元模型，采用Monte-Carlo法并基于动态称重（WIM）系统模拟随机车流，进行了数条地震波增量动力分析（IDA）；采用Ferry Borges荷载组合理论求解地震设计状况组合效应分布，依据直接积分法求解桥梁结构的失效概率，从而确定荷载效应分项系数与可靠度指标影响面关系。研究结果表明：荷载效应分项系数的取值与目标可靠度指标的选取息息相关，忽略汽车荷载的地震设计状况风险分析，将严重低估桥梁结构的实际失效概率。为指导高烈度区连续刚构桥的地震设计状况设计，对于E2工况下的地震动输入，地震作用重要性系数λ<sub>1</sub>取1.0，桥梁结构跨径对汽车荷载效应分项系数取值产生较大的影响，故选取β<sub>s</sub>=3.1~3.4作为Ⅷ度区连续刚构桥地震设计状况设计时目标可靠度指标建议值，汽车荷载分项系数Ψ<sub>Q</sub>的建议取值为0.76；地震基本烈度对汽车荷载分项系数存在一定的影响，在同样的目标可靠度指标建议值下，对于Ⅶ度区地震设计状况，汽车荷载分项系数Ψ<sub>Q</sub>的建议取值为0.652。

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