基于Pasternak地基模型的H(t)-T受荷桩受力变形分析

图1 桩土体系简化分析模型

Fig.1 Simplified analysis model of pile-soil system

2 H(t)-T联合受荷桩的综合刚度矩阵

2.1 传统桩身单元刚度矩阵

传统有限杆单元法假定桩身为小变形弹性体,其单元刚度矩阵^[15]为

(1)K_E=

[\begin{array}{l} \frac{12 E_{p} I}{l^{3}} & \frac{6 E_{p} I}{l^{2}} & 0 & \frac{- 12 E_{p} I}{l^{3}} & \frac{6 E_{p} I}{l^{2}} & 0 \\ \frac{6 E_{p} I}{l^{2}} & \frac{4 E_{p} I}{l} & 0 & \frac{- 6 E_{p} I}{l^{2}} & \frac{2 E_{p} I}{l} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{G_{p} J}{l} & 0 & 0 & \frac{- G_{p} J}{l} \\ \frac{- 12 E_{p} I}{l^{3}} & \frac{- 6 E_{p} I}{l^{2}} & 0 & \frac{12 E_{p} I}{l^{3}} & \frac{- 6 E_{p} I}{l^{2}} & 0 \\ \frac{6 E_{p} I}{l^{2}} & \frac{2 E_{p} I}{l} & 0 & \frac{- 6 E_{p} I}{l^{2}} & \frac{4 E_{p} I}{l} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{- G_{p} J}{l} & 0 & 0 & \frac{G_{p} J}{l} \end{array}]

式中:I、J分别为桩身截面惯性矩和极惯性矩;E_p、G_p分别为桩身弹性模量和切变模量;l为离散单元长度.

2.2 考虑桩土相互作用的单元刚度矩阵

水平简谐荷载作用下桩周土反力由弹性力、阻尼力和惯性力组成,其与位移的关系在复数域的表达式为

(2)p(x)=(k_s-ω²m_p+iωc_s)x

式中:p(x)为地基土反力;k_s为弹性系数,桩顶自由时可取k_s≈(1.5~2.5)E_s^[6];m_p和x分别为单位桩长质量和桩身水平位移;c_s为辐射阻尼系数,c_s=6 $a_{0}^{- 1 / 4}$ ρ_sv_sD+2β_s $\frac{k_{s}}{ω}$ ,土体剪切波速v_s={E_s/ [2ρ_s(1+μ_s)]}¹^/²;复刚度k_s-ω²m_p+iωc_s的实部代表动刚度,虚部代表阻尼;E_s、ρ_s、μ_s、β_s分别为桩周土的弹性模量、密度、泊松比及阻尼比;无量纲频率a₀=ωD/v_s.

由虚功原理可推导得到桩周土抗力等效换算为节点荷载的公式为

(3)

F_H=(k_s-ω²m_p+iωc_s) $\int_{0}^{l} N_{v}^{T}$ N_v $[\begin{array}{l} x_{i} \\ θ_{i} \\ x_{j} \\ θ_{j} \end{array}]$ dz=

$[\begin{array}{l} \frac{13 l}{35} k & \frac{11 l^{2}}{210} k & \frac{9 l}{70} k & - \frac{13 l^{2}}{420} k \\ \frac{11 l^{2}}{210} k & \frac{l^{3}}{105} k & \frac{13 l^{2}}{420} k & - \frac{l^{3}}{140} k \\ \frac{9 l}{70} k & \frac{13 l^{2}}{420} k & \frac{13 l}{35} k & - \frac{11 l^{2}}{210} k \\ - \frac{13 l^{2}}{420} k & - \frac{l^{3}}{140} k & - \frac{11 l^{2}}{210} k & \frac{l^{3}}{105} k \end{array}] [\begin{array}{l} x_{i} \\ θ_{i} \\ x_{j} \\ θ_{j} \end{array}]$ =

K_H

{[\begin{array}{l} x_{i} & θ_{i} & x_{j} & θ_{j} \end{array}]}^{T}

式中:K_H为H(t)产生的附加刚度矩阵;k=k_s-ω²m_p+iωc_s;N_v为单元受水平力时挠曲变形的形函数矩阵,其表达式为

(4)

N_v=[1- $\frac{3 z^{2}}{l^{2}}$ + $\frac{2 z^{3}}{l^{3}}$ z- $\frac{2 z^{2}}{l}$ + $\frac{z^{3}}{l^{2}}$

\frac{3 z^{2}}{l^{2}}

\frac{2 z^{3}}{l^{3}}

\frac{- z^{2}}{l}

\frac{z^{3}}{l^{2}}

]

扭矩作用下桩-土接触面产生环向侧摩阻力,此时桩身的控制方程^[20]为

(5)G_pJ

\frac{\partial^{2} θ}{\partial z^{2}}

-k_θθ=0

式中:k_θ为土体扭转反力模量.

单位侧摩阻力作用在节点i(j)上产生的扭转角为

(6)

f_{i i (j j)}^{T T}

\frac{2}{π} \frac{1}{G_{s} D^{2} l}

式中:G_s为土体切变模量.本文采用Tanahashi^[23]提出的经验公式确定土体切变模量

(7)G_s=

\frac{E_{s} t}{6 (1 + μ_{s})}

式中:t为地基土的剪切层厚度,可取11倍桩径^[22].

桩侧环向摩阻力在i(j)节点产生的扭矩为

(8)T_i₍_j₎=

k_{i i (j j)}^{T T}

Ψ_i₍_j₎=

\frac{π G_{s} D^{2} l}{2}

Ψ_i₍_j₎

将扭矩作用下桩身受到的环向侧摩阻力等效为节点荷载,从而获得受扭桩单元平衡方程

(9)

[\begin{array}{l} T_{i} \\ T_{j} \end{array}]

[\begin{array}{l} k_{i i}^{T T} & 0 \\ 0 & k_{j j}^{T T} \end{array}] [\begin{array}{l} Ψ_{i} \\ Ψ_{j} \end{array}]

=K_T

[\begin{array}{l} Ψ_{i} \\ Ψ_{j} \end{array}]

式中:K_T为桩周环向侧摩阻力附加刚度矩阵.

2.3 考虑H(t)-T耦合作用的附加刚度矩阵

Kong^[9]通过离心模型试验分析了水平荷载和扭转荷载共同作用下的桩身内力和位移,并拟合出能反映水平荷载和扭矩相互作用规律的影响系数,其表达式为

(10)α_TH=

\frac{β}{P_{a} D}

p(x)

式中:α_TH为H(t)-T影响系数,表示受水平力和扭转联合作用的单桩与仅受扭矩作用的单桩在转角相同条件下对应节点上的扭矩比;P_a为标准大气压强;β为H(t)-T耦合因子,反映桩周水平土抗力对桩-土接触面上扭剪应力的增强效应.

因此,考虑水平动荷载和扭矩耦合作用的桩身单元平衡方程修正为

(11)

[\begin{array}{l} T_{i} \\ T_{j} \end{array}]

[\begin{array}{l} (1 + \frac{β}{P_{a} D} k x_{i}) k_{i i}^{T T} & 0 \\ 0 & (1 + \frac{β}{P_{a} D} k x_{j}) k_{j j}^{T T} \end{array}] [\begin{array}{l} Ψ_{i} \\ Ψ_{j} \end{array}]

=K_HT

[\begin{array}{l} Ψ_{i} \\ Ψ_{j} \end{array}]

式中:K_HT为考虑H(t)-T耦合作用的侧摩阻力附加刚度矩阵.

2.4 考虑土体剪切作用的附加刚度矩阵

二维平面应变条件下Pasternak地基模型的桩身挠曲微分方程^[13]可表示为

(12)E_pI_p

\frac{d^{4} x}{d^{4} z}

-G_sb

\frac{d^{2} x}{d^{2} z}

+Kx=0

式中:E_pI_p、K和b分别为桩身抗弯刚度、地基反力系数和桩身计算宽度.

单位长度地基土水平抗力可以表示为

(13)p(z)=Kbzx+G_sbΨ

结合式(12)和(13),根据虚位移原理,可得双参数地基条件下桩周土抗力等效节点力表达式:

(14)

F_p= $\int_{0}^{l_{n}} [N_{v}^{T} K b z x + {(\frac{d N_{v}}{d z})}^{T} G_{s} b Ψ]$ dz=

(K_H+K_Gs)[

\begin{array}{l} x_{i} & θ_{i} & Ψ_{i} & x_{j} & θ_{j} & Ψ_{j} \end{array}

]

(15)K_Gs=G_sb

(\begin{array}{l} \frac{6}{5 l} & \frac{1}{10} & 0 & - \frac{6}{5 l} & \frac{1}{10} & 0 \\ \frac{1}{10} & \frac{2}{15 l} & 0 & - \frac{1}{10} & - \frac{l}{30} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{6}{5 l} & - \frac{1}{10} & 0 & \frac{6}{5 l} & - \frac{1}{10} & 0 \\ \frac{1}{10} & - \frac{l}{30} & 0 & - \frac{1}{10} & \frac{2}{15 l} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

式中:l_n为土体单元的单位长度;K_Gs为土体剪切作用对单元刚度矩阵的修正矩阵.

综合式(1)、(11)、(13)、(15)可得考虑桩土相互作用的单元综合刚度矩阵为

(16)K=K_E+K_H+K_HT+K_Gs

3 联合受荷桩内力、位移求解

获得桩身单元综合刚度矩阵后通过编程求解桩身内力和位移,具体求解步骤如下.

(1) 建立计算模型.输入桩土参数和荷载情况,根据精度要求合理划分桩单元.

(2) 组装总体刚度矩阵.将式(16)表示的单元综合刚度矩阵按“首尾相连”原则组装为桩身总体刚度矩阵,如图2所示.图中:K_G为桩身总体刚度矩阵;N为桩单元划分总数.

图2

图2 组装总体刚度矩阵

Fig.2 Matrix of assembling global stiffness

(3) 引入边界条件.根据桩端约束条件和受荷情况在桩身总体刚度矩阵中引入边界条件,其中位移边界条件按“乘大数法”处理;桩顶自由,桩底嵌固,如下所示.

桩顶自由:

(17)

\begin{array}{l} {E_{p} I x ″|}_{z = 0} = 0, {E_{p} I x ‴|}_{z = 0} = Q_{0} \\ {G_{p} J Ψ'|}_{z = 0} = T (\frac{π}{2} - θ) \end{array}\}

桩底嵌固:

(18)

{x|}_{z = L}

=0,

{θ|}_{z = L}

=0,

{Ψ|}_{z = L}

(4) 求解位移.先利用矩阵方程Δ= $K_{G}^{- 1}$ F(Δ为位移矩阵)求解桩身水平位移和转角,再将水平位移代入总体刚度矩阵中求解桩身扭转角,最终获得H(t)-T联合受荷桩单元位移矩阵.

(5) 求解内力.将各单元位移矩阵和单元刚度矩阵相乘即可求出桩身各节点的弯矩、剪力和扭矩.

4 方法验证

目前水平动荷载和扭矩共同作用下的桩基受力变形分析相对较少,难以直接有效地验证本文方法的可靠性.为此分别考虑水平简谐荷载和扭矩单独作用两种情况,将其计算结果分别与文献[24 ⇓-26]进行对比,再进行有限元建模,进一步验证本文方法的可靠性.

4.1 水平简谐荷载作用下单桩计算方法验证

基于文献[24]中桩土参数通过有限元软件建立三维实体单元模型,其中桩长L=20 m,桩径D=0.5 m,采用动力隐式分析步,水平简谐荷载幅值Q₀=100 kN,频率f=16 Hz;桩顶自由,桩底嵌固.桩周土采用Mohr-Coulomb理想弹塑性模型,桩身采用C3D8单元模型,桩-土其他参数如表1所示.

表1 桩-土材料参数

Tab.1 Parameters of pile and soil

参数	桩周土	桩身
密度/(kg·m^-3)	2 000	2 500
弹性模量/MPa	6	25 500
泊松比	0.4	0.25
内摩擦角/(°)	15	-

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为消除边界条件的影响,模型的宽度取为桩径的20倍,深度取为桩长的2倍,土体侧面设置径向位移约束,土体底面和顶面分别设置为固定和自由.

通过两次自动应力平衡消除土体在自重作用下的变形,采用六面体扫掠进阶算法划分网格,总共划分 6 182 个单元网格,如图3所示.

图3

图3 三维数值模型

Fig.3 3D numerical model

图4给出了桩身水平位移和弯矩的分布曲线.由图4可知,本文所提出的计算方法与文献[24]中的解析解以及有限元模拟(FEM)结果均吻合较好,表明本文方法能够较为准确地预测水平简谐荷载作用下桩基内力和位移.

图4

图4 桩身位移、内力对比

Fig.4 Comparison of displacement and internal force of pile

表2给出了杆单元模型与三维实体单元模型所需计算时间的对比,从表2可知三维实体单元模型计算时间为88.90 s,而本文杆单元模型计算时间仅为0.73 s;表明本文方法在保证计算结果准确性的同时又大幅提高了计算效率.考虑到实际工程中常涉及到大量桩基,当需要对数十乃至上百根桩基进行一体化分析时,本文计算方法所带来的计算效率和准确性优势将会更加明显.

表2 计算方法对比

Tab.2 Comparison of calculation methods

计算方法	单元数量	桩顶最大位移/mm	最大弯矩/ (kN·m)	计算时间/s
解析解	-	0.947	64.745	-
三维实体单元	6 182	0.953	64.969	88.90
本文计算方法	100	0.948	64.848	0.73

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吕冰^[25]通过模型试验研究水平简谐荷载作用下单桩承载性能.试验地基土密度为 1 908 kg/m³;内摩擦角为36°;黏聚力为11.8 kPa;阻尼比为0.05;弹性模量为8.5 MPa.模型桩长900 mm;直径60 mm.水平荷载幅值H₀=274.4 N;f=6 Hz;加载点位于泥面以上60 mm处.图5给出了水平荷载作用下桩身弯矩计算结果和试验结果的对比.从图5可以看出,桩身弯矩沿桩埋深先增大后减小,弯矩最大值出现在距离桩顶1/3深度处.总体上来看,本文方法计算结果与试验结果吻合较好.

图5

图5 桩身弯矩对比

Fig.5 Comparison of pile bending moment

4.2 扭矩作用下单桩计算方法验证

基于文献[26]中的桩土参数建立三维实体有限元数值模型,其中桩长L=9 m,桩径D=0.4 m,桩底嵌固,桩顶自由,桩顶作用T=40 kN·m的扭矩,桩周土体采用Mohr-Coulomb理想弹塑性模型,桩身采用C3D8单元,桩-土体系其他参数如表3所示,数值建模方法同4.1节.

表3 模型材料参数

Tab.3 Material parameters of model

参数	桩周土	桩身
密度/(kg·m^-3)	1 800	3 000
弹性模量/MPa	2	30 000
泊松比	0.4	0.25
内摩擦角/(°)	15	-

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图6给出了本文方法、有限元数值模拟以及文献[26]中计算结果的对比.从图中可以看出,本文提出的计算方法与有限元模拟值以及文献[26]中计算值均有较好的一致性,进一步证明了本文方法的可靠性.

图6

图6 桩身扭转角和扭矩对比

Fig.6 Comparison of pile torsion angle and torque

5 参数分析

影响H(t)-T联合受荷桩内力和位移的因素很多,限于篇幅,结合本文方法特点,侧重讨论G_s、E_p/E_s、L/D、a₀和Q₀对桩身内力和位移的影响.

除另有说明,本节采用的桩土参数选取如下:L=15 m,D=0.5 m,E_p=31.5 GPa,桩密度ρ_p=2 500 kg/m³;桩顶自由,桩底嵌固;桩顶作用幅值Q₀=100 kN和无量纲振动频率a₀=0.4的水平简谐荷载;扭矩T=40 kN·m;E_s=8 MPa,β_s=0.05,μ_s=0.3.

为客观描述桩土相互作用的内在规律,对计算结果进行如下无量纲归一化处理:

(19)

\begin{array}{l} x = x (z) / x_{m a x} \\ M = M (z) / M_{m a x} \\ Ψ = Ψ (z) / Ψ_{m a x} \\ T = T (z) / T_{m a x} \end{array}\}

式中:x(z)、M(z)、Ψ(z)及T(z)分别为桩身水平位移、弯矩、扭转角及扭矩的最大值;x_max、M_max、Ψ_max及T_max为同一变量下水平位移、弯矩、扭转角和扭矩的最大值.

5.1 土体切变模量G_s与桩土弹模比E_p/E_s的影响

土体切变模量是描述土体抵抗剪切变形的参数,对桩土结构体系的稳定性、抗震性以及变形性能等具有重要影响.

通过在合理区间内改变桩土弹性模量,使桩土弹模比E_p/E_s分别为1 500、2 500、3 500.图7给出了不同桩土弹模比下,基于Pasternak模型所得桩身内力变形与Winkler模型计算结果的对比.

图7

图7 不同桩土弹模比下桩身内力位移对比

Fig.7 Comparison of pile internal force and displacement at different pile-soil elastic modulus ratios

由图7可知,在桩土弹模比为1 500、2 500和3 500时,对比Winkler模型计算结果,采用Pasternak地基模型的桩身最大弯矩分别减小了7.9%、6.1%和5.3%,桩顶最大位移分别减小了5.2%、4.1%和3.4%,而桩身扭转角和扭矩减小幅度均小于1%;表明土体剪切作用对桩身水平位移有显著的约束作用,而对扭转变形影响较小,同时,增加桩土弹模比会弱化土体剪切效应对桩身的约束作用.

当桩土弹模度比从 1 500 增加到 2 500 和 3 500 时,桩顶水平位移分别减小了13.1%和20.7%,桩身最大弯矩分别增加了13.6%和23.5%,桩身最大弯矩位置随桩土弹模比的增大而下降.从图7(a)可知不同桩土弹模比下的桩身水平位移曲线在(0.07~0.32)L之间的变化趋势与桩顶相反,这是因为桩土弹模比较小时,桩周土对桩的约束能力较弱,桩身位移曲线较为陡峭,桩身刚度偏小,出现变形局部集中的现象.

由图7(c)可知,当桩土弹模比从 1 500 增加到 3 500 时,桩顶扭转角减小了15%,表明增加桩土弹模比可减小桩身扭转变形,提高桩身抗扭能力.

5.2 桩身长径比L/D的影响分析

在实际工程中,桩身长径比对桩基的承载能力和变形控制都有重要的影响,选择合适的长径比既能够提高桩基的承载能力又可以获得最佳的经济效益.因此本节通过固定桩径、改变桩长的方式研究了桩身长径比L/D=5,15,25,50时的单桩承载特性.图8给出了不同桩身长径比条件下桩身内力位移分布.

图8

图8 桩身长径比对桩身内力位移的影响

Fig.8 Influence of pile diameter ratio on displacement of internal force

由图8可知,L/D=5时,桩身变形随埋深线性减小,桩身弯矩随埋深线性增加,桩身最大弯矩位置出现在桩底,此时桩身呈刚体运动.在工程实际中,应加强长径比较小的桩基底部嵌固,以避免桩底因抗弯能力不足而出现弯曲-屈曲失稳破坏.

随桩身长径比的增加,桩身水平位移由直线逐渐过渡为曲线,表现出柔性桩的性质,且位移减小至0的位置逐渐上移,桩身长径比从5增大到50,桩顶水平位移和扭转角分别增加了12.2%和41.4%;相同深度处,桩身扭转角随L/D的增大而增大,桩身扭矩则随L/D的增大而减小.

当L/D从5增大到15时,桩顶水平位移和扭转角分别增加了12.3%和22.3%,表明通过固定桩径的方式增加长径比,实质上增加了桩身的柔度,减小了桩身抗弯和抗扭刚度.但当L/D从15增大到50时,桩顶位移仅增加了1.5%,表明桩超过一定长度后,继续增加桩长对桩身抵抗水平变形能力并无显著影响.

5.3 水平动荷载无量纲频率a₀的影响

为探讨水平动荷载振动频率对H(t)-T受荷桩的影响,取无量纲频率a₀=0.1,0.5,1.0这3种情况,求得桩身内力位移分布曲线如图9所示.

图9

图9 简谐荷载无量纲频率对桩身内力位移的影响

Fig.9 Influence of simple harmonic load dimensionless frequency on the internal force displacement of pile body

从图9(a)、9(b)可知,增大a₀可减小桩顶水平位移和桩身弯矩,当a₀从0.1增大到1.0时,桩顶水平位移减小了17.42%,桩身最大弯矩减小了6.12%,随埋深增加,不同振频下的内力位移曲线趋于重合,表明外荷载的动力效应随埋深增加而逐渐减弱,土体阻尼有效地吸收了动荷载的能量.

从图9(c)、9(d)可知,桩身扭转角和扭矩随a₀的增大而增大,当a₀从0.1增大到1.0时,桩顶扭转角增大了18.4%.这是由于随a₀增大,桩身水平位移减小,同时H(t)-T耦合刚度也随之减小,所以在相同外荷载作用下,桩身扭转角和扭矩会增大.

5.4 水平动荷载幅值Q₀的影响

为分析水平简谐荷载幅值对H(t)-T受荷桩的影响,取桩顶产生0.15D水平位移时对应的荷载幅值为Q_u,固定桩顶扭矩T=40 kN·m,荷载幅值Q₀分别取为0.2Q_u、0.4Q_u、0.8Q_u、1.0Q_u这4种工况,桩身内力位移计算结果如图10所示.

图10

DOI:10.16183/j.cnki.jsjtu.2019.268 [本文引用: 1]

图10 简谐荷载幅值对桩身内力位移的影响

Fig.10 Influence of harmonic load amplitude on displacement of internal force of pile

荷载幅值Q₀由0.2Q_u增大到1.0Q_u时桩顶水平位移增大了4.2倍,桩身最大弯矩增大了5倍,桩身最大弯矩位置不随Q₀改变.

桩身扭转角和扭矩随水平荷载幅值增大而减小,桩顶扭转角最大减小了22.6%.这是由于在水平简谐荷载作用下桩基产生侧向位移,导致桩土之间的摩擦力增大,水平简谐荷载和扭矩之间的耦合刚度也随之增大,从而提高了单桩抗扭能力.

不难看出,水平简谐荷载幅值会对桩身最大内力位移产生较大影响,但桩身位移都在0.4倍桩长处降为0,表明水平动荷载幅值对当前工况下有效桩长影响较小.

6 结论

本文基于Pasternak地基模型,采用改进的有限杆单元法,考虑了土体剪切效应和多向荷载间的相互影响,得到了均质地基中水平简谐荷载和扭矩联合作用下桩基内力位移数值解,并获得以下结论:

(1) 土体剪切效应对桩身水平变形有约束作用,而对桩身扭转变形影响较小,对比不考虑土体剪切效应的Winkler模型计算结果,土体剪切效应可减小5.2%的桩顶水平位移和7.9%的桩身最大弯矩.

(2) 水平荷载能够增强桩身抗扭能力,水平简谐荷载幅值由0.2Q_u增大到1.0Q_u,桩顶扭转角减小了22.6%;增加桩土弹模比可减小桩身变形,但会增加桩身内力,桩土弹模比从 1 500 增加到 3 500 时,桩顶水平位移减小了20.7%,桩身最大弯矩增加了23.5%.

(3) 桩顶水平位移和桩身最大弯矩随简谐荷载无量纲频率a₀的增大而减小,外荷载动力效应随桩埋深增加而逐渐减弱.增大桩身长径比会降低桩身刚度、扩大桩身变形,桩身长径比从5增大到50,桩顶水平位移和扭转角分别增加了12.2%和41.4%.工程设计中应加强刚性桩桩底嵌固.

(4) 与三维实体单元模型相比,杆单元模型在保证计算准确性的前提下可大幅减少单元划分数量和计算时间,有效提高了计算效率.

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