基于冲击功离散性的曲轴早期疲劳失效评估方法

图1 拉伸极限的正态分布

Fig.1 Normal distribution of tensile limit

不同强度寿命特性的离散性是由微观组织分布的不均匀性所致,基于近期的研究^[20],可用材料的初始损伤D₀的离散性来统一表征.将强度取样试验结果的均值或期望记为材料名义强度,如果有取样试件的实测强度正好为名义强度,则意味着其微观组织结构(包含微观缺陷)就正好处于其平均或代表性状态.而实测强度与名义强度不同的取样试件,意味着微观组织结构与平均状态有所不同.用初始损伤来表示实测强度与名义强度(以拉伸极限和疲劳极限为例)的关系,则有:

$σ_{b} = (1 - D_{0}) σ_{b a v}, σ_{- 1} = (1 - D_{0}) σ_{- 1 a v}$

(2)

式中:σ_-1为对称疲劳极限;σ_-1_av为σ_-1的均值.D₀=0对应于实测强度值正好等于强度均值(即名义强度)的情况,此时材料内部仍然有微观缺陷,只不过其正好处于平均或代表性的状态.D₀>0意味着微观组织比平均状态更弱,实测强度值比平均值小.而D₀<0意味着微观组织比平均状态更强,实测强度值比平均值大.将初始损伤的0点定义在平均强度所对应的微观组织状态,称为初始损伤的相对性,即初始损伤是通过实测强度与其均值的差异来定义的,则:

$\begin{matrix} D_{0} = 1 - \frac{σ_{b}}{σ_{b a v}} 或 D_{0} = 1 - \frac{σ_{- 1}}{σ_{- 1 a v}} \end{matrix}$

(3)

以初始损伤表示材料的微观组织结构状态后,材料强度和寿命特性的离散性就可以用初始损伤的离散性来统一表征.图2所示为疲劳寿命的离散性^[20].图中:σ_a为应力幅;N_f为以循环数表示的疲劳寿命.在同一应力水平下的不同试样的疲劳寿命会相差几个量级,但是,在本质上,这也是由微观组织的不均匀性导致的.实测寿命数据的中值曲线(即D₀=0的S-N曲线,其中,S和N分别指单轴应力状态下的材料发生疲劳破坏时的应力幅和循环数)通常被作为材料疲劳特性使用^[10],而实测寿命的离散性也可以用初始相对损伤表征.

图2

图2 疲劳寿命离散性示意图^[20]

Fig.2 Schematic diagram of scatter of fatigue life^[20]

根据概率统计理论^[21]和式(2)可知,初始损伤服从如下的正态分布:

$\begin{matrix} f (D_{0}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} s_{D_{0}}} e^{- \frac{(D_{0} - D_{0 a v})^{2}}{2 s_{D_{0}}^{2}}} \end{matrix}$

(4)

式中: $s_{D_{0}}$ 是D₀的标准差;D₀_av是D₀的均值.对应于强度特性的均值,理论上应有D₀_av=0.由此,利用初始损伤的概率分布,就可以对材料强度寿命特性的离散性进行定量表征.

2 由冲击试验确定疲劳极限的离散性

2.1 冲击功离散性和材料强度离散性的关联

在工程结构(如曲轴)的强度设计或抗疲劳设计中,对于不同供应商或批次的材料,通常需要获取它们的疲劳极限及离散性.考虑到工业效率和成本,直接进行大批量的取样疲劳试验是不现实的,通常可以采用少量疲劳试验确定疲劳极限的均值,进而采用简单快捷的冲击取样试验^[22]来把握材料的离散性.需要说明的是,在按照相关工业标准^[22-23]进行力学性能的取样试验时,拉伸试验的数量通常是冲击试验的1/3,拉伸强度数据过少,难以准确确定材料离散性.鉴于此,需要通过冲击取样试验结果确定材料离散性和初始损伤的概率分布.而如何由已有的冲击功离散性导出所关注的疲劳极限离散性,是工程实际中备受关注的,需要借助初始损伤建立两者之间的联系.

已知能量正比于应力的平方,目前已有很多关于金属材料的平面应变断裂韧性K_IC和夏比V型缺口冲击功A_KV之间的关系的研究^[24⇓-26],其中,经验关系 $K_{I C}^{2}$ ∝ ${A_{K V}}^{}$ ^[26]被广泛采用并被用于本文的研究.根据线弹性断裂力学^[27],可知:

$\begin{matrix} K_{I} = Y σ \sqrt{π a} \end{matrix}$

(5)

式中:a是裂纹长度;K_I是I型裂纹应力强度因子;Y是无量纲的常数,取决于试样形状和加载模式;σ是拉应力.由此可得出:

$\begin{matrix} \sqrt{A_{K V}} \propto K_{I C} \propto σ_{b} \end{matrix}$

(6)

结合式(2)、(3)、(6),为了方便,可简单假定:

$\begin{matrix} \sqrt{A_{K V}} = c_{b} σ_{b} = C σ_{- 1} \end{matrix}$

(7)

式中:c_b和C分别为 $\sqrt{A_{K V}}$ 相对于拉伸极限和疲劳极限的比例系数.根据概率统计理论^[21]可知, $\sqrt{A_{K V}}$ 也服从正态分布,则其概率密度函数为

$\begin{matrix} f (\sqrt{A_{K V}}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} s_{A}} e^{- \frac{(\sqrt{A_{K V}} - {\sqrt{A_{K V}}}_{a v})^{2}}{2 s_{A}^{2}}} \end{matrix}$

(8)

式中:s_A和 ${\sqrt{A_{K V}}}_{a v}$ 分别为 $\sqrt{A_{K V}}$ 的标准差和均值.

由式(7)中 $\sqrt{A_{K V}}$ 和σ_-1的线性关系,可通过冲击功试验数据的概率统计分析来获得疲劳极限概率分布的方差^[21],而疲劳极限的均值则需通过疲劳试验获得^[10].为了回避式(7)的比例系数C,结合工程中常用的3-sigma可靠性准则,对初始损伤状态进行分析.初始损伤状态D₀=0对应 ${\sqrt{A_{K V}}}_{a v}$ 和σ_-1av,而3-sigma可靠性下的最大初始损伤状态D_{0 max}对应于3-sigma可靠性下的 ${\sqrt{A_{K V}}}_{m i n}$ 和σ_{-1 min}.由式(7)可知:

$\begin{matrix} \frac{{\sqrt{A_{K V}}}_{m i n}}{{\sqrt{A_{K V}}}_{a v}} = \frac{σ_{- 1 m i n}}{σ_{- 1 a v}} = 1 - \frac{3 s_{σ_{- 1}}}{σ_{- 1 a v}} \end{matrix}$

(9)

式中: $s_{σ_{- 1}}$ 是σ_-1的标准差; ${\sqrt{A_{K V}}}_{m i n}$ = ${\sqrt{A_{K V}}}_{a v}$ -3s_A,其中, ${\sqrt{A_{K V}}}_{m i n}$ 和 ${\sqrt{A_{K V}}}_{a v}$ 均可由冲击试验结果的概率统计获得.如果能另行确定σ_-1_av,就无需通过大量的疲劳试验去确定疲劳极限的离散性,而是可以方便地由式(9)通过已有的冲击取样试验结果获得疲劳极限概率分布的标准差 $s_{σ_{- 1}}$ ,进而确定其概率分布的具体形式.

2.2 冲击试验方法和结果

对于由34CrNi3MoA合金制成的某柴油发动机曲轴锻件,进行冲击取样试验.按照标准^[22-23]对曲轴锻件的10个典型区域进行取样,每个区域均沿纵向取3个冲击试样,具体尺寸如图3所示.图中:粗糙度Ra=1.6 μm.根据GB/T 229—2020^[28]开展冲击试验,试验机为SANS ZBC2000摆锤冲击试验机,温度为常温.试验数据如表1所示.

图3

图3 冲击试样的几何尺寸(mm)

Fig.3 Geometric dimension of impact specimen (mm)

表1 冲击功试验数据

Tab.1 Test data of impact energy

区域编号	A_KV/J
1	77, 82, 82
2	49, 86, 65
3	92, 76, 68
4	100, 118, 107
5	94, 106, 106
6	116, 116, 117
7	65, 60, 60
8	80, 88, 96
9	49, 40, 61
10	86, 73, 57

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从表1可以看出,不同区域的试验结果会存在明显差异,冲击功数据的离散性明显.为了定量分析材料的离散性,对 $\sqrt{A_{K V}}$ 的数据进行正态分布处理,如图4所示,其概率密度函数可表示为

$\begin{matrix} f (\sqrt{A_{K V}}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \times 1.23} e^{- \frac{{(\sqrt{A_{K V}} - 9.00)}^{2}}{2 \times 1 . 23^{2}}} \end{matrix}$

(10)

图4

图4 $\sqrt{A_{K V}}$ 的正态分布

Fig.4 Normal distribution of $\sqrt{A_{K V}}$

在开展冲击取样试验对结构钢锻件进行验收时,通常会有最小冲击功的要求^[22-23],而最小冲击功要求下的可靠度如图5所示.从概率统计的角度看,所要求的最小冲击功对应的是一定可靠性要求下(一般是3-sigma可靠性)的冲击功最小值,而非试验数据的最小值,相应的可靠度对应图5的阴影部分,可表示为

$\begin{array}{l} R_{e} ({\sqrt{A_{K V}}}_{m i n}) = P (\sqrt{A_{K V}} > {\sqrt{A_{K V}}}_{m i n}) = \\ \int_{{\sqrt{A_{K V}}}_{m i n}}^{+ \infty} f (\sqrt{A_{K V}}) d \sqrt{A_{K V}} \end{array}$

(11)

图5

图5 最小冲击功要求下的可靠度

Fig.5 Reliability under the requirement of minimum impact energy

2.3 疲劳极限概率分布的确定

对于疲劳极限的概率分布,其离散性可由冲击功的离散性估算,而其均值可由少量的疲劳极限试验获得.结合CCS规范^[29]的改进升降法,对3个曲轴单拐(编号分别为#1、#2和#3)进行对称弯曲疲劳试验,然后,基于疲劳极限σ_-1服从正态分布的前提,可根据Dixon-Mood法获得疲劳极限的均值σ_-1av.单拐被安装在谐振式弯曲疲劳试验机上,与主动摆和从动摆组成音叉形的机械谐振机构,如图6所示,当试验件发生疲劳开裂时,试验机自动识别并终止试验.试验开始时,通过激振器施加正弦波形式的对称循环载荷,循环基数为1×10⁷次,并观察试验件在达到指定循环基数前是否发生疲劳断裂,若未断裂,则提高应力幅,再次施加一个循环基数,直至该试验件断裂;若断裂,则对下一个试验件开展疲劳试验.

图6

图6 单拐的对称弯曲疲劳试验

Fig.6 Symmetrical bending fatigue test of a single crank

试验开始时的初始应力幅为350 MPa,在试验件#1的应力幅直接被提高至395 MPa而发生断裂后,设置每一级应力幅的增量为15 MPa,3个试验件的应力幅升降记录如图7所示.其中,由于试验件#2和#3的应力幅为365 MPa时均未断裂,两者升载前的350 MPa均被视为无效结果.

图7

图7 应力幅的升降记录

Fig.7 Record of the rise and fall of stress amplitude

为了通过少量样本数据估算总体的疲劳极限的均值,采用Dixon-Mood法^[29]对试验结果中的失效事件进行统计,如表2所示.表中:i为应力水平级数;f_i为应力水平级数i对应的试件数量.

表2 疲劳试验中的失效事件统计

Tab.2 Statistics of failure events in fatigue tests

应力幅/MPa	i	f_i	if_i	i²f_i
395	1	1	1	1
380	0	2	0	0

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则该样本的疲劳极限的均值S_av和标准差s_S计算如下:

$S_{a v} = S_{0} + Δ S (\frac{\sum i f_{i}}{\sum f_{i}} - \frac{1}{2})$

(12)

$s_{S} = 1.62 Δ S \times [\frac{(\sum f_{i}) (\sum i^{2} f_{i}) - (\sum i f_{i})^{2}}{(\sum f_{i})^{2}} + 0.029]$

(13)

式中:S₀为疲劳失效的最低应力幅;ΔS为每一级的应力幅增量.将表2数据代入式(12)、(13),可得S_av=377.5 MPa,s_S=6.104 7 MPa.

另外,从小样本的均值推断总体的均值通常是在一定的置信度下进行,考虑到样本均值置信区间与未知方差之间呈t分布,对均值通常采用90%置信度(或10%显著度)^[21,29],可从表2所示的样本推断出总体的疲劳极限的均值应为

$\begin{matrix} σ_{- 1 a v} = S_{a v} - t_{α, n_{S} - 1} \frac{s_{S}}{\sqrt{n_{S}}} \end{matrix}$

(14)

式中:n_S为样本总数,含失效事件数和未失效事件数,即n_S=6;α为显著度,则 $t_{α, n_{S} - 1}$ =t₀_._{1, 5},通过查t分布表^[21]可知t₀_._{1, 5}=2.015,代入式(14),可得σ_-1av=372.3 MPa.

由式(9)可得该材料在3-sigma可靠性下的疲劳极限的标准差为50.9 MPa.由此可得相应的疲劳极限的概率密度函数为

$\begin{matrix} f (σ_{- 1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \times 50.9} e^{- \frac{(σ_{- 1} {- 372.3)}^{2}}{2 \times 50 . 9^{2}}} \end{matrix}$

(15)

由式(2)可知, $s_{σ_{- 1}} = σ_{- 1 a v} s_{D_{0}},$ 则该材料初始损伤的概率密度函数为

$\begin{matrix} f (D_{0}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \times 0.14} e^{- \frac{D_{0}^{2}}{2 \times 0 . 14^{2}}} \end{matrix}$

(16)

由此,利用初始损伤的离散性,就可以获得其他强度寿命特性的离散性^[20],但其概率分布的均值需另由相应少量的强度寿命试验确定.

3 安全系数、可靠性和早期疲劳失效

3.1 安全系数和可靠性的关系

基于安全系数的常规强度设计方法通常依据的是材料强度的均值^[10],而可靠性则与强度的离散性有关.对于同种牌号的金属材料,疲劳极限的均值一般相差不大,但离散性会由于厂家、批次的不同而出现明显的差异.材料品质的差异主要在于离散性的差异,取决于材料成型和零件加工工艺.这意味着,在同一安全系数下,不同厂家、批次的材料的可靠性会存在差异,而材料的离散性过大是导致工程结构(如曲轴)出现早期疲劳失效的主要原因.安全系数一般由设计规范或工程经验来确定,例如,取疲劳安全系数n,则所容许的最小疲劳极限σ_-1s为

$\begin{matrix} σ_{- 1 s} = \frac{σ_{- 1 a v}}{n} \end{matrix}$

(17)

相应地,对于符合正态分布的疲劳极限σ_-1,σ_-1s的可靠性为

$\begin{array}{l} R_{e} (σ_{- 1 s}) = P (σ_{- 1} > σ_{- 1 s}) = \int_{σ_{- 1 s}}^{+ \infty} f (σ_{- 1}) d σ_{- 1} = \\ \int_{σ_{- 1 s}}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π} s_{σ_{- 1}}} e^{- \frac{(σ_{- 1} - σ_{- 1 a v})^{2}}{2 s_{σ_{- 1}}^{2}}} d σ_{- 1} \end{array}$

(18)

将其转换为标准正态分布下的随机变量X,即

$\begin{matrix} X = \frac{σ_{- 1} - σ_{- 1 a v}}{s_{σ_{- 1}}} \end{matrix}$

(19)

令 $x_{0} = (σ_{- 1 s} - σ_{- 1 a v}) / s_{σ_{- 1}},$ 则式(18)也可表示成

$R_{e} (x_{0}) = P (X > x_{0}) = \int_{x_{0}}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{X^{2}}{2}} d X$

(20)

对于工业设计常用的3-sigma可靠性,有:

$\begin{matrix} X = \frac{σ_{- 1 a v} - σ_{- 1 s}}{s_{σ_{- 1}}} = 3 \end{matrix}$

(21)

所容许的最小疲劳极限为

$\begin{matrix} σ_{- 1 s} = σ_{- 1 a v} - 3 s_{σ_{- 1}} \end{matrix}$

(22)

因此,在一定的可靠性下,σ_{-1 s}会随着材料的 $s_{σ_{- 1}}$ 的变化而变化,结合式(17),安全系数的取值也需根据材料的实际离散性来确定.反过来,在规定一个安全系数后,不同离散性的材料会有不同的可靠性,而当可靠性不足时,就易发生早期疲劳失效.

将式(17)代入式(19),安全系数和标准正态随机变量X的关系可被表示为

$\begin{matrix} \frac{σ_{- 1 a v}}{s_{σ_{- 1}}} (1 - \frac{1}{n}) = X \end{matrix}$

(23)

由此,安全系数和可靠性之间的定量关系可用式(20)、(23)描述.其中,σ_-1av对于同种牌号的金属材料通常差别不大,可被视为定值^[10-11].显然,在一定的安全系数下,可靠性会随着离散性的增大而降低;在一定的可靠性下,应取的安全系数需随着离散性的增大而增大.而早期疲劳失效概率P_f与可靠性R_e的关系可表示为

$\begin{matrix} P_{f} = 1 - R_{e} \end{matrix}$

(24)

对于被测材料,安全系数与可靠性、疲劳失效概率间的定量关系如图8所示.例如,对于安全系数为1的情况,可靠性为50%,早期疲劳失效概率为50%.而对于3-sigma可靠性即可靠性为99.87%,相应的安全系数为1.70,其早期疲劳失效概率仅为0.13%,可以认为不会发生早期疲劳失效.需要说明的是,对于某个具体结构,并不意味有较大的P_f就必然发生早期疲劳失效,因为疲劳失效本身就是一种概率性发生的现象.

图8

图8 安全系数与可靠性、疲劳失效概率之间的关系

Fig.8 Safety factor versus reliability and probability of fatigue failure

3.2 可靠性与早期疲劳失效

一般来说,强度寿命设计的可靠性越低,就越易发生结构的早期疲劳失效,而这是与结构材料的具体离散性而不仅仅是设计方法相关的.对于n=1的情况,即仅按强度寿命中值进行设计时,发生早期疲劳失效的概率是50%.随着安全系数的增加,可靠性也增加,发生早期疲劳失效的概率降低.只有当可靠性大于一定值时,才可认为发生早期疲劳失效的概率足够小以至于不会发生.在常规工业设计中,该可靠性要求通常是3-sigma可靠性^[10,21],对应于99.87%的安全可靠性.即当安全可靠性低于99.87%时,就可被认为有发生早期疲劳失效的较大可能性.对于本文所研究的材料,表3列举了在某些常见的可靠性下的安全系数的取值和早期疲劳失效概率,可知,若要满足3-sigma可靠性要求,安全系数需不小于1.70.

表3 不同可靠性下的安全系数、早期疲劳失效概率

Tab.3 Safety factors and early fatigue failure probabilities at different reliability levels

X	R_e/%	n	P_f/%
0	50.00	1.00	50.00
1.29	90.00	1.21	10.00
2.33	99.00	1.47	1.00
3.00	99.87	1.70	0.13
3.08	99.90	1.73	0.10
3.62	99.99	1.98	0.01

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对于设计手册所推荐的安全系数^[10-11],实际上只是经验性地暗中假定了同种牌号金属材料的某种离散性,而实际材料却并不一定满足这种暗中假定的离散性和可靠性要求.因此,要避免曲轴的早期疲劳失效,并不是设计范围内可以解决的问题,而必须实测材料具体的离散性,计算所取的安全系数对应的可靠性,才能判断发生早期疲劳失效的概率.另外,当可靠性低于99.87%时,也并不一定在试验或实际服役中就必然发生早期疲劳失效,而是有较大概率发生.

4 工程应用流程

在实际工程中,上述方法可以用于判断材料均匀性是否合格,或者根据实际的离散性为可靠性设计提供一定的指导.冲击取样试验是工业标准^[22-23]已规定的在曲轴验收流程中必须开展的试验,当冲击功不符合标准要求时,材料被判定为不合格,会导致零件的力学性能和可靠性的不足,需要厂家改进工艺,但是,未定量给出冲击功的离散性与可靠性之间的关系.而在强度设计过程中,设计师需对厂家生产的曲轴进行疲劳极限的抽检试验^[29],并判断疲劳强度是否满足许用值,当实测强度不满足许用强度时,主要从工艺和设计两个角度排查原因.本文所提方法定量研究了冲击功离散性和疲劳可靠性之间的关联,在厂家的产品验收流程和设计师的强度设计流程之间建立了新的联系,如图9所示.当由冲击功离散性估算的可靠性不满足要求时,提供以下两个选择:① 当设计方法仍不变时,可以判定材料不合格,应改进工艺;② 当材料仍被选用时,需要调整设计的安全系数.本文所提方法可以为指导工艺或设计方法的改进以及预防早期疲劳失效提供一定的依据.

图9

图9 所提方法在工程实践中的应用流程图

Fig.9 Flow chart of application of proposed method in engineering practice

5 结论

本文基于材料强度寿命特性离散的微观机理,建立了冲击功离散性和初始损伤及强度离散性的关系,对于由34CrNi3MoA合金制成的曲轴锻件,通过冲击取样试验确定了材料的离散性,而通过曲轴单拐的结构疲劳试验确定了疲劳极限的均值.通过对比传统的安全系数设计方法,定量研究了材料离散性对于疲劳可靠性的影响.主要结论如下:

(1) 组织敏感的强度寿命特性的离散是由微观组织结构分布的不均匀性导致的,这可以用初始损伤的离散性进行统一表征.

(2) 为了便于工程应用,疲劳极限的离散性可由冲击试验数据的离散性估算,而疲劳极限概率分布的均值可由少量的疲劳试验确定.

(3) 传统设计手册的安全系数没有考虑实际材料具体的离散性,要避免曲轴的早期疲劳失效,需由材料的实际离散性计算可靠性,根据可靠性大小是否满足要求来判断.实际离散性较大的材料容易导致可靠性不足,进而有较大概率引发早期疲劳失效.

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Method in conservative estimation of reliability based on damage accumulation model

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改进移动最小二乘法及其在结构可靠性分析中的应用

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基于移动最小二乘法的响应面法对结构可靠性问题进行分析.在确定样本点权重时，将样本点与中心点、响应面的距离同时作为判断其权重大小的依据，并考虑每次迭代得到的响应面函数对下一迭代的影响域的影响，由此提出改进移动最小二乘法.结果表明，改进方法可有效提高计算精度.

WEI

Yifu

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疲劳破坏是工程应用构件失效的最主要原因之一.但由于疲劳实验成本过高,有必要用力学性能对疲劳强度进行预测.基于真实应力应变曲线,建立了一种新型的疲劳强度预测模型,并运用这种模型计算疲劳强度,与“升降法”和Basquin公式计算的疲劳强度作对比.结果表明:该模型仅需通过抗拉强度和加工硬化强度就可得到材料的疲劳强度,并且适用于其他钢种,极大地节约了成本,精确度也较高.

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