驾驶机器人转向操纵的动态模型预测控制方法

图1 驾驶机器人整体结构

Fig.1 Overall structure of driving robot

图2

图2 转向机械手结构

Fig.2 Structure of steering mechanical arm

转向机械手驱动电机的等效电路如图3所示.其中:n为电机转速;k_t为电机的转矩系数;M为负载力矩;μ为黏性摩擦因数;L为电枢电感;U为驱动电压;R为电枢电阻;I为电流.

图3

图3 转向机械手驱动电机等效电路

Fig.3 Equivalent circuit of driving motor for steering mechanical arm

所获得的转向机械手动力学方程如下式所示:

(1)

\begin{array}{l} J_{m} \overset{\cdot}{n} = k_{t} I - M - μ n \\ \overset{\cdot}{L I} = U - R I - k_{e} n \\ T_{m} = i_{0} (k_{t} I - μ n) \end{array}\}

式中:J_m为电机的转动惯量; k_e为反电动势系数;i₀为转向机械手减速器传动比;T_m为转向机械手输出转矩.

1.2 被操纵车辆动力学模型

驾驶机器人转向操纵主要涉及车辆的横向运动控制,因此,以车辆二自由度模型为研究对象.被操纵车辆模型如图4所示.其中:v_f、v_r分别为前、后轮速度;α_f、α_r分别为前、后轮侧偏角;F_y_f、F_y_r分别为前、后轮侧偏力;l_f、l_r分别为前、后轴到车辆质心的距离;δ_f为车辆前轮转角;ω为车辆横摆角速度;v_y为车辆侧向速度;v_x为车辆纵向速度;x^*、y^*为车辆坐标系.

图4

图4 被操纵车辆模型

Fig.4 Controlled vehicle model

在被操纵车辆的侧向加速度绝对值小于0.4g(g为重力加速度)时,二自由度模型的微分方程为

(2)

\begin{array}{l} (K_{f} + K_{r}) β + \frac{(l_{f} K_{f} - l_{r} K_{r}) ω}{v_{x}} - K_{f} δ_{f} = \\ m ({\overset{\cdot}{v}}_{y} + v_{x} ω) \\ (l_{f} K_{f} - l_{r} K_{r}) β + \frac{(l_{f}^{2} K_{f} + l_{r}^{2} K_{r}) ω}{v_{x}} - l_{f} K_{f} δ_{f} = \\ J_{z} \overset{\cdot}{ω} \end{array}\}

式中:K_f、K_r分别为车辆前、后轮的侧偏刚度; m为整车质量;J_z为车辆绕坐标系z轴的转动惯量; β为质心侧偏角,其在数值上满足β=tan v_y/v_x,但由于该值较小,所以可以得到β≈v_y/v_x.

令y为横向位移,将式(2)转化为以被操纵车辆的横向位移、侧向速度和横摆角速度为状态变量的状态空间形式如下:

(3)

[\begin{array}{l} \overset{\cdot}{y} \\ {\overset{\cdot}{v}}_{y} \\ \overset{\cdot}{ω} \end{array}]

[\begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{K_{f} + K_{r}}{m v_{x}} & \frac{l_{f} K_{f} - l_{r} K_{r}}{m v_{x}} - v_{x} \\ 0 & \frac{l_{f} K_{f} - l_{r} K_{r}}{m J_{z}} & \frac{l_{f}^{2} K_{f} + l_{r}^{2} K_{r}}{J_{z} v_{x}} \end{array}] [\begin{array}{l} y \\ v_{y} \\ ω \end{array}]

[\begin{array}{l} 0 \\ - \frac{K_{f}}{m} \\ - \frac{l_{f} K_{f}}{J_{z}} \end{array}]

δ_f

被操纵车辆的转向系动力学方程为

(4)

\begin{array}{l} i_{e} T_{m} - M_{e} = J_{e} {\ddot{δ}}_{f} + K_{0} δ_{f} \\ M_{e} = K_{f} e (β + \frac{l_{f}}{u_{x}} ω - δ_{f}) \end{array}\}

式中:i_e为转向系传动比;M_e为车轮回正力矩;J_e为转向系等效转动惯量;K₀为转向系扭转刚度;e为轮胎拖距.考虑到M=M_e, n=30i₀i_eδ_f/π, 得到初步的耦合模型如下式所示:

(5)

[\begin{array}{l} {\overset{\cdot}{δ}}_{f} \\ {\ddot{δ}}_{f} \\ \overset{\cdot}{I} \end{array}]

[\begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \\ - \frac{K_{0} - K_{f} e}{J_{e}} & - \frac{30 μ i_{0}^{2} i_{e}^{2}}{J_{e} π} & \frac{i_{0} i_{e} k_{t}}{J_{e}} \\ 0 & - \frac{30 i_{0} i_{e} k_{e}}{L π} & - \frac{R}{L} \end{array}] [\begin{array}{l} δ_{f} \\ {\overset{\cdot}{δ}}_{f} \\ I \end{array}]

[\begin{array}{l} 0 & 0 & 0 \\ - \frac{K_{f} e}{J_{e} v_{x}} & - \frac{K_{f} l_{f} e}{J_{e}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{L} \end{array}] [\begin{array}{l} v_{y} \\ ω \\ U \end{array}]

驾驶机器人在操纵车辆转向时,会因路面颠簸以及侧向力的作用,使其位姿出现微小变化,表现为加速机械腿对油门踏板或制动机械腿对制动踏板造成的摄动.踏板摄动的存在会使车速发生改变,低速转向时,踏板摄动与车速变化关系如下式所示^[16]:

(6)v'_x=v_x+

\int_{t_{0}}^{t_{1}}

a(θ₀(t))dt

式中:v'_x为踏板受到摄动后的车速;t₀为摄动开始时间;t₁为摄动结束时间;θ₀(t)为t时刻下的摄动量,且服从高斯分布,分布函数为θ₀(x';p,σ)= $\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x'} e^{- \frac{{(x' - p)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ dx',p为踏板摄动的平均值,σ为踏板摄动的方差,x'为任意变量;a为踏板位移变化产生的车辆行驶加速度.

1.3 驾驶机器人-被操纵车辆耦合系统模型

驾驶机器人模型输入为电压,输出为机械手抓手的转角,而车辆的输入为前轮转角,引入转向系传动比i_e,可以建立起驾驶机器人与车辆的耦合系统模型.令状态向量为

X= ${[\begin{array}{l} y & v_{y} & ω & δ_{f} & {\overset{\cdot}{δ}}_{f} & I \end{array}]}^{T}$

令输入u为转向机械手驱动电机电枢电压U,结合式(3)和(5)得到对应耦合模型的状态空间为

(7)

\begin{array}{l} \overset{\cdot}{X} = A X + B u \\ y = C X \end{array}\}

其中:

A= $[\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}]$

B=[ $\begin{array}{l} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & L^{- 1} \end{array}$ ]^T

C= $[\begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

a₁₁= $[\begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{K_{f} + K_{r}}{m v_{x}} & \frac{l_{f} K_{f} - l_{r} K_{r}}{m v_{x}} - v_{x} \\ 0 & \frac{l_{f} K_{f} - l_{r} K_{r}}{J_{z} v_{x}} & \frac{l_{f}^{2} K_{f} + l_{r}^{2} K_{r}}{J_{z} v_{x}} \end{array}]$

a₁₂= $[\begin{array}{l} 0 & 0 & 0 \\ - K_{f} / m & 0 & 0 \\ - l_{f} K_{f} / J_{z} & 0 & 0 \end{array}]$

a₂₁= $[\begin{array}{l} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{l_{f} K_{f}}{J_{z}} & - \frac{K_{f} l_{f} e}{J_{e} v_{x}} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

a₂₂= $[\begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \\ - \frac{K_{0} - K_{f} e}{J_{e}} & - \frac{30 μ i_{0}^{2} i_{e}^{2}}{J_{e} π} & \frac{i_{0} i_{e} k_{t}}{J_{e}} \\ 0 & - \frac{30 i_{0} i_{e} k_{e}}{L π} & - \frac{R}{L} \end{array}]$

1.4 耦合模型的可控性验证

驾驶机器人-被操纵车辆耦合模型的状态可控性、输出可控性分别决定了耦合模型能否在输入作用下到达期望状态、期望输出,因此在设计控制器之前,需要对被控对象进行可控性分析.耦合系统模型的状态、输出可控性判别矩阵如下式所示:

(8)D₁=

[\begin{array}{l} B & A B & \cdot\cdot\cdot & A^{n - 1} B \end{array}]

(9)D₂=

[\begin{array}{l} C B & C A B & \cdot\cdot\cdot & C A^{n - 1} B \end{array}]

计算得到, 判别矩阵的秩R_d(D₁)=R_d(D₂)=6,即状态、输出可控性判别矩阵是满秩的,耦合系统模型的状态与输出均是可控的.结果表明,通过调整与设计控制器的控制率,即加在驾驶机器人转向机械手驱动电机两端的电压,可以使驾驶机器人操纵车辆到达期望的横向位置,同时系统能到达期望状态.

2 控制方法

设计了稳定车速的比例-积分(PI)控制器,使驾驶机器人操纵车辆时能够满足等速的转向试验条件.利用卡尔曼滤波估计驾驶机器人-被操纵车辆耦合模型的状态,设定状态约束、输入约束,设计模型预测控制器.在此基础之上,设计模型预测控制器预测时域与期望路径曲率之间的函数关系.调试多种单一曲率值下的次优函数参数,并利用最小二乘法对函数参数与路径曲率之间的非线性关系进行离线拟合,最终实现模型预测控制器的预测时域能够根据路径曲率动态变化.所提出的动态模型预测控制方法的结构如图5所示.其中:T、k_q分别为延时环节的时间常数和放大系数;k_p、k_i分别为比例系数和积分系数;ρ为路径的曲率;b₀和b₁为参数;C^*为向上取整算子;ρ^*为曲率样本集; $N_{p}^{*}$ 为次优预测时域;s为拉普拉斯算子.

图5

图5 驾驶机器人-被操纵车辆动态模型预测控制结构图

Fig.5 Structure chart of dynamic model predictive control for driving robot-controlled vehicle

2.1 车速稳定控制

为使驾驶机器人操纵车辆转向时,克服因踏板摄动引起的车速变化,达到等速转向的目的,设计了车速控制的PI控制器.控制器输入为车速误差,输出为机械腿滚珠丝杠的位移.当摄动出现时,车速出现变化,PI控制器输出丝杠位移,以调整机械腿末端位姿,进而使车速稳定在期望车速.

车速误差始终存在于驾驶过程中,以文献[16]中±2 km/h的误差边界得到的误差范围,即控制器的速度控制精度指标要求为

(10)ϑ=v_x_d-v'_x,ϑ∈[-2, 2]

式中:v_x_d为试验车速,取30 km/h;ϑ为车速跟踪误差.得到容许的车速范围为 28 km/h≤v'_x≤32 km/h,即车速在该范围内变化时,式(7)可视为时不变系统.

根据文献[17]对机械腿模型的推导,得到机械腿的输入输出关系为

(11)ξ=f(c)

式中:ξ为输出踏板开度;f为非线性函数.

考虑到踏板存在死区与延时特性,结合式(6)与(11)得到如下所示的车速-丝杠位移变化关系为

(12)v'_x=v_x+V(c)

式中:V(c)= $\int_{t_{0}}^{t_{1}}$ a $(\frac{k_{q}}{T} h (c) e^{\frac{- t}{T}})$ dt,h(c)= $\{\begin{array}{l} 0, & f (c) \leq s_{0} \\ k_{s} (f (c) - s_{0}), & f (c) > s_{0} \end{array}$ 为死区特性,t为时间,s₀为踏板死区特性中的空行程,k_s为量化系数.

得到PI控制器的输出控制率为

(13)u_pi=k_p(v_x_d-v'_x)+k_i∫(v_x_d-v'_x)dt

式中:u_pi为PI控制器输出控制率.

2.2 系统状态估计

驾驶机器人的转向操纵控制,需要实时获取耦合系统模型的状态,用于模型预测控制进行优化求解.因此,利用卡尔曼滤波器对耦合系统模型的状态进行最优估计.

对驾驶机器人-车辆耦合状态进行离散化,得到离散化状态空间为

(14)

\begin{array}{l} {\tilde{X}}_{k} = \bar{A} {\tilde{X}}_{k - 1} + \bar{B} {\tilde{u}}_{k - 1} \\ {\tilde{y}}_{k} = {\tilde{C X}}_{k} \end{array}\}

式中:k为当前采样序号; ${\tilde{X}}_{k - 1}$ 为耦合系统上一采样时刻的状态; ${\tilde{X}}_{k}$ 为当前采样时刻的状态; ${\tilde{y}}_{k}$ 为当前采样时刻的输出,即横向位移; ${\tilde{u}}_{k - 1}$ 为上一采样时刻的控制率; $\bar{A}$ 、 $\bar{B}$ 为系统离散状态空间下的参数矩阵.

先验估计:

(15)

\hat{X}

'_k=

\bar{A} {\hat{X}}_{k - 1}

\bar{B} {\tilde{u}}_{k - 1}

(16)P'_k=

\bar{A}

P_k_-1

{\bar{A}}^{T}

+υ

后验估计:

(17)K_k=P'_kC^T(CP'_kC^T+φ)^-1

(18)

{\hat{X}}_{k}

\hat{X}

'_k+K_k(

{\tilde{y}}_{k}

\hat{C X}

'_k)

(19)P_k=(E-K_kC)P'_k

式中: $\hat{X}$ '_k为当前采样时刻状态的先验估计; ${\hat{X}}_{k}$ 为当前采样时刻状态的后验估计; ${\hat{X}}_{k - 1}$ 为上一采样时刻状态的后验估计;P'_k为先验估计误差的协方差矩阵;P_k为后验估计误差的协方差矩阵;K_k为卡尔曼增益矩阵;υ为系统随机噪声矩阵;φ为系统测量噪声矩阵;E为单位矩阵.

2.3 动态模型预测控制器设计

首先,设计了驾驶机器人转向操纵的增量式模型预测控制器.令Δ ${\tilde{u}}_{k}$ = ${\tilde{u}}_{k}$ - ${\tilde{u}}_{k - 1}$ ,设计目标函数为

(20)ζ=

\overset{N_{p} - 1}{\sum_{i = 0}} w_{q_{i}}

(

{\tilde{y}}_{k + i}

-η_k₊_i)²+

\overset{N_{c} - 1}{\sum_{j = 0}} w_{r_{j}}

{\tilde{u}}_{k + j}^{2}

式中:η_k₊_i为第i个预测步下的期望横向位置;N_c为控制时域; $w_{q_{i}}$ 、 $w_{r_{j}}$ 分别为第i个预测步下的横向误差权重和第j个控制权重.

展开后,目标函数与约束的简化形式如下:

(21)ζ(ΔU)=ε^Tw_qε+ΔU^Tw_rΔU

s.t. U_min≤U(=SΔU+U₀)≤U_max

ΔU_min≤ΔU≤ΔU_max

y_min≤

\hat{y}

≤y_max, v_y_min≤

{\hat{v}}_{y}

≤v_y_max

ω_min≤

\hat{ω}

≤ω_max, δ _fmin≤

{\hat{δ}}_{f}

≤δ_fmax

{\overset{\cdot}{δ}}_{f m i n}

≤

{\overset{\cdot}{\hat{δ}}}_{f}

≤

{\overset{\cdot}{δ}}_{f m a x}

, I_min≤

\hat{I}

≤I_max

其中:

ε=φΔU+G

φ= ${[\begin{array}{l} \bar{C B} & 0 & \cdot\cdot\cdot & 0 \\ ︙ & \bar{C B} & ⋱ & ︙ \\ C \overset{i - j}{\sum_{m = 0}} {\bar{A}}^{m} \bar{B} & \cdot\cdot\cdot & ⋱ & 0 \\ ︙ & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot & \bar{C B} \\ ︙ & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot \\ C \overset{N_{p} - 1}{\sum_{m = 0}} {\bar{A}}^{m} \bar{B} & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot & C \overset{N_{p} - N_{c}}{\sum_{m = 0}} {\bar{A}}^{m} \bar{B} \end{array}]}_{N_{p} \times N_{c}}$

ΔU= ${[\begin{array}{l} Δ {\tilde{u}}_{k} & \cdot\cdot\cdot & Δ {\tilde{u}}_{k} + N_{c} - 1 \end{array}]}^{T}$

U₀= ${[\begin{array}{l} {\tilde{u}}_{k - 1} & {\tilde{u}}_{k - 1} & \cdot\cdot\cdot & {\tilde{u}}_{k - 1} & {\tilde{u}}_{k - 1} \end{array}]}^{T}_{1 \times N_{c}}$

S= ${[\begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot & 0 \\ 1 & ⋱ & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot & 0 & 0 \\ 1 & 1 & ⋱ & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot & ︙ \\ 1 & 1 & 1 & ⋱ & \cdot\cdot\cdot & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \cdot\cdot\cdot & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \cdot\cdot\cdot & 1 & 1 \\ ︙ & ︙ & ︙ & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot & ︙ \\ 1 & 1 & 1 & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot & 1 \end{array}]}_{N_{p} \times N_{c}}$

U= ${[\begin{array}{l} {\tilde{u}}_{k - 1} + Δ {\tilde{u}}_{k} & \cdot\cdot\cdot & {\tilde{u}}_{k - 1} + \overset{N_{c} - 1}{\sum_{i = 0}} Δ {\tilde{u}}_{k + i} \end{array}]}^{T}$

G=[ $\begin{array}{l} G_{1} & \cdot\cdot\cdot & G_{r} & \cdot\cdot\cdot & G_{N_{p}} \end{array}$ ], r∈[1, N_p]

G_r=C{ ${\bar{A}}^{r} {\hat{X}}_{k - 1 + r}$ + ${\tilde{u}}_{k - 1} \overset{r - 1}{\sum_{j = 0}} {\bar{A}}^{j} \bar{B}$ }-η_k_-1+_r

w_q=diag( $w_{q_{1}}$ , $w_{q_{2}}$ , ···, $w_{q_{N_{p}}}$ )

w_r=diag( $w_{r_{1}}$ , $w_{r_{2}}$ , ···, $w_{r_{N_{c}}}$ )

式中:U_min为驱动电机两端最低电压;U_max为驱动电机两端最高电压;ΔU_min为最低电压增量;ΔU_max为最高电压增量;y_min为数值上横向位移最小处;y_max为数值上横向位移最大处;v_y_min为最小侧向速度;v_y_max为最大侧向速度;ω_max为最大横摆角速度;ω_min为最小横摆角速度;δ_fmax为最大前轮转角;δ_fmin为最小前轮转角; ${\overset{\cdot}{δ}}_{f m a x}$ 为最大前轮转角角速度; ${\overset{\cdot}{δ}}_{f m i n}$ 为最小前轮转角角速度;I_max为最大电流;I_min为最小电流; $\hat{y}$ 、 ${\hat{v}}_{y}$ 、 $\hat{ω}$ 、 ${\hat{δ}}_{f}$ 、 ${\overset{\cdot}{\hat{δ}}}_{f}$ 、 $\hat{I}$ 分别为对应状态的估计值.

进一步展开式(21)后,得到:

(22)ζ(ΔU)=ΔU^Tφ^Tw_qφΔU+ΔU^Tw_rΔU+ΔU^Tφ^Tw_qG+G^Tw_rφΔU

由于ΔU^Tφ^Tw_qG=(G^Tw_rφΔU)^T,目标函数为标量函数,所以两项在数值上相等.同时,由于耦合系统模型的状态可控,且为线性系统,因此控制率增量与状态之间存在线性关系,状态向量可进一步表示为 $\tilde{X}$ =ZΔU,Z为线性变换矩阵,得到最终的二次规划问题

(23)ζ(ΔU)=ζ^TΔU+ΔU^THΔU s.t. WΔU≤γ

式中:ζ=(2G^Tw_qφ)^T;H=φ^Tw_qφ+w_r;W=[ $\begin{array}{l} E & S^{T} & Z^{T} \end{array}$ ]^T; γ为包含输入约束与状态约束上下限的列向量.

问题的最优解即为最优控制率的增量,取增量第1个元素,即为当前时刻的最优控制增量Δ ${\tilde{u}}_{k}^{*}$ ,并将该增量叠加在上一采样时刻的控制率上来得到当前采样时刻的最优控制率 ${\tilde{u}}_{k}^{*}$ = ${\tilde{u}}_{k - 1}$ +Δ ${\tilde{u}}_{k}^{*}$ .

由问题模型可知,随着N_p的增大,模型考虑到更多的未来状态,优化目标朝着缩小更长预测范围内的误差发展,能够提升驾驶机器人转向操纵的能力.同时矩阵S与矩阵φ的尺寸会显著增大,增加控制器的计算复杂度,其表现为求解时间的增长^[13].

设定最小预测时域为N_pmin和最大预测时域为N_pmax,并计算出目标路径的最小曲率ρ_min和最大曲率ρ_max.设预测时域与期望路径曲率具有类指数的函数关系.设定参数b₀、b₁, 预测时域与曲率的实际函数关系为

(24)N_p=N_pmin+C^*

[b_{0} (N_{p m a x} - N_{p m i n}) e^{\frac{ρ - ρ_{m a x}}{b_{1}}}]

将多种具有单曲率的路径作为期望路径,加入闭环控制系统中通过调试确定次优N_p值以获得准确的跟踪结果.以式(24)为基函数,多组曲率路径以及其对应的N_p进行离线的非线性拟合,得到参数b₀、b₁的具体值.

设定曲率样本集ρ^*={ρ₁ ··· ρ_i ··· ρ_N}和对应路径曲率下的次优时域集 $N_{p}^{*}$ ={ $N_{p_{1}}$ ··· $N_{p_{i}}$ ··· $N_{p_{N}}$ }.考虑到C^*算子无法求导,拟合时式(24)的等效函数关系如下所示:

(25)N_p(ρ)=N_pmin+b₀(N_pmax-N_pmin)

e^{\frac{ρ - ρ_{m a x}}{b_{1}}}

\frac{ρ}{ρ_{m a x}}

令误差函数为

(26)ψ=

\frac{1}{2} \overset{N}{\sum_{i = 1}}

(N_p(ρ_i)-

N_{p_{i}}

)²

误差对参数b₀、b₁求偏导得到

(27)

\frac{\partial ψ}{\partial b_{0}}

\overset{N}{\sum_{i = 1}}

τ₁(i)τ₂(i)

(28)

\frac{\partial ψ}{\partial b_{1}}

\overset{N}{\sum_{i = 1}}

τ₃(i)τ₄(i)

其中:

τ₁(i)=N_pmax+b₀(N_pmax-N_pmin) $e^{\frac{ρ_{i} - ρ_{m a x}}{b_{1}}}$ + $\frac{ρ_{i}}{ρ_{m a x}}$ - $N_{p_{i}}$

τ₂(i)=(N_pmax-N_pmin) $e^{\frac{ρ_{i} - ρ_{m a x}}{b_{1}}}$

τ₃(i)=N_pmax+b₀(N_pmax-N_pmin) $e^{\frac{ρ_{i} - ρ_{m a x}}{b_{1}}}$ +

$\frac{ρ_{i}}{ρ_{m a x}}$ - $N_{p_{i}}$

τ₄(i)= $\frac{b_{0} (N_{p m i n} - N_{p m a x}) (ρ_{i} - ρ_{m a x})}{b_{1}^{2}} e^{\frac{ρ_{i} - ρ_{m a x}}{b_{1}}}$

根据梯度下降法,为使误差极小化,令

b₀=b₀₀-k₁ $\frac{\partial ψ}{\partial b_{00}}$ , b₁=b₁₀-k₂ $\frac{\partial ψ}{\partial b_{10}}$

式中:b₀₀为b₀的初始值;b₁₀为b₁的初始值;k₁、k₂为学习率.设定阈值λ,当 $\frac{\partial ψ}{\partial b_{0}}$ 与 $\frac{\partial ψ}{\partial b_{1}}$ 均小于λ时,迭代停止,得到最终的b₀、b₁.

3 仿真与试验验证

3.1 仿真验证

为验证驾驶机器人操纵试验车辆的路径曲率-预测时域的实际关系式(24)对等效关系式(25)的可替代性,以及得到拟合参数,将设计的模型预测控制器用于耦合系统,在多种不同曲率的单曲率路径下进行路径跟踪仿真,调整预测时域至跟踪误差幅度小于0.1 m,得到对应路径曲率下的最佳预测时域的次优解,并记录不同预测时域下,控制器单次求解所需的系统时间.不同路径曲率下的次优预测时域如表1所示.

表1 时域数据

Tab.1 Data of prediction horizon

ρ/m^-1	$N_{p}^{*}$	ρ/m^-1	$N_{p}^{*}$
0	8	0.14	12
0.02	9	0.16	13
0.04	10	0.18	14
0.06	10	0.20	15
0.08	11	0.22	17
0.10	11	0.24	18
0.12	12

结合式(25)、(27)、(28)得到的等效关系曲线的拟合结果如表2和3所示,预测时域动态调整特性如图6所示,其中:ϑ_N为预测时域误差;t_s为控制器求解时间.表3中的确定系数与自由度调整确定系数接近于1,说明拟合的非线性关系中,路径曲率对预测时域有准确的解释能力.图6表明了路径曲率的增大,控制器的预测时域也随之增大,同时也引起求解时间的增加.此外,图6(a)中多数样本点落在等效关系上,且实际关系曲线与等效关系曲线之间的误差由式(24)、(25)可知,在一个时域之内.由于预测时域只能以整数形式存在,所以图6(a)产生的误差已经在理论最小范围之内.

表2 拟合结果

Tab.2 Results of fitting

参数	最终值	95%置信区间
b₀	0.1016	(0.07692, 0.1264)
b₁	0.1089	(0.09469, 0.1231)

表3 拟合结果评价

Tab.3 Evaluation results of fitting

评价指标	取值
均方根误差	0.44
确定系数	0.98
自由度调整确定系数	0.97

图6

图6 预测时域调整方法结果

Fig.6 Results of prediction horizon adjustment method

3.2 试验验证

为验证提出方法对驾驶机器人转向操纵控制的有效性,将驾驶机器人安装于试验车辆,安装图如图7所示,进行了双移线试验^[18-19].试验时初始车速为30 km/h.关键性能参数如表4所示.双移线试验由熟练驾驶员在交通部公路交通试验场对桑塔纳某型号轿车进行.侧向加速度、横摆角速度和车辆位置信息由CDY-3车辆动态测试仪进行测量,纵向车速由OES-II 非接触速度传感器测量,质心侧偏角可以间接测量.试验中由驾驶员操纵车辆,其中2名试验员随车实时采集测试数据.

图7

图7 驾驶机器人在试验车辆上的安装

Fig.7 Installation of unmanned robot on test vehicle

表4 关键参数

Tab.4 Key parameters

对象	参数	数值	对象	参数	数值
驾驶机器人	L/H	0.012	驾驶机器人	μ/(N·m·rpm^-1)	0.05
	k_t/(N·m·A^-1)	0.47		R/Ω	0.42
	k_e/[V·(rad·s)^-1]	0.0172		i₀	15
被操纵车辆	m/kg	1126	被操纵车辆	K₀/(N·m·rad^-1)	6000
	l_f/m	1.014		J_e/(kg·m²)	14
	l_r/m	1.534		e/m	0.0035
	K_f/(N·rad^-1)	51480		J_z/(kg·m²)	2697
	K_r/(N·rad^-1)	87416		i_e	20
控制器	ΔU_max/V	3	控制器	N_pmin	8
	ΔU_min/V	-3		$w_{q_{i}}$	20000
	U_max/V	24		$w_{r_{j}}$	0.1
	U_min/V	-24		N_c	10
	N_pmax	19

为验证提出方法能够控制驾驶机器人实现对试验车辆的精确操纵,以及卡尔曼滤波器的估计效果,在双移线工况下进行了驾驶机器人转向操纵的试验.为验证提出方法的控制精度,将提出方法的跟踪结果与人类驾驶员^[8]、模糊PID方法^[8]的跟踪结果进行了对比,结果如图8(a)~8(c)所示.此外,设计的PI车速稳定控制器的性能,以及考虑踏板特性的影响的控制结果如图8(d)以及表5所示.其中:x为纵向位移; ϑ_y为卡尔曼滤波估计的横向位移的误差.

图8

图8 双移线工况试验结果

Fig.8 Test results of double lane changing condition

表5 PI控制器参数调整结果

Tab.5 Parameters adjustment results of PI controller

工况	k_p	k_i
不考虑踏板特性	160.5	424.9
考虑踏板特性	193.9	465.9

图8(a)给出了卡尔曼滤波器对横向位移这一状态的估计结果,在路径曲率的变化处,即期望路径的4个角点,估计误差相对较大,而整体上实现了准确的状态估计.由图8(b)可知,模糊PID方法与提出方法均能有效跟踪期望路径,且提出方法所产生的误差更低,而人类驾驶员不能良好地跟踪期望路径,存在较大误差,主要时由于驾驶员驾驶过程中存在反应滞后以及心理因素.由图8(c)可知,驾驶机器人在模糊PID控制操纵车辆具有更大的质心侧偏角,且跟踪过程中质心侧偏角波动较大,行驶过程中的稳定性较差,该现象主要是由于模糊PID主要考虑横向位移上的误差来建立误差与控制率之间的关系,未对系统其他状态进行约束,而提出方法对系统状态的约束,尤其是对侧向速度的约束,使得驾驶机器人的转向操纵具有更小且更平稳的质心侧偏角,即在精确跟踪期望路径的基础上实现稳定转向.由图8(d)可知,设计的PI控制器能够在考虑踏板特性和不考虑踏板特性的情况下均能稳定将车速稳定在容许的范围内,但由于踏板的时延特性会延迟控制率的作用,即控制器对驾驶机械腿的调整相对于车速变化的时刻会出现滞后现象,致使车速稳定在试验车速30 km/h所需的时间增多.同时,在以不可微函数形式存在的死区特性的影响下,控制率会发生突变,使得车速变化存在如点1、2、3的不可微处.根据表5可知,考虑踏板的死区特性和时延特性后,控制器的增益值有明显增大,增加了控制器的功耗.

为进一步验证基于提出方法的驾驶机器人的转向操纵性能,以及控制器可变时域特性,进行了另一型移线工况的试验^[18-19],并将提出方法与模糊PID以及线性二次调节器(LQR)进行对比,试验结果如图9所示.

图9

DOI:10.1109/TIE.2015.2477266 URL [本文引用: 1]

图9 移线工况试验结果

Fig.9 Simulation results of lane changing condition

由图9(a)可知,模糊PID控制方法与本文方法均能有效控制驾驶机器人操纵车辆进行精确跟踪,而LQR方法在曲率较大的路径拐点出现跟踪性能下降,且末端稳态误差较大,主要是因为LQR输出的最优控制率是基于状态反馈实现的,是一种比例控制,单独的比例控制难以消除稳态误差.图9(b)中,3种方法产生的质心侧偏角相近,其中LQR方法的质心侧偏角最小,但提出方法在具有相近质心侧偏角的同时,能够精确跟踪目标路径,进一步说明了本文方法的有效性.同时,图9(c)中的预测时域变化曲线说明了在路径的拐点处,即曲率较大位置,控制器动态调整了预测时域,提升了控制器的跟踪精度.

5 结语

建立了无人驾驶机器人与被操纵车辆的耦合系统模型,并对系统的可控性进行判定.构建了适用于耦合系统模型的卡尔曼滤波器,对无人驾驶机器人车辆的横向位置进行最优估计.建立了模型预测控制器预测时域与期望路径曲率之间的关系,对预测时域进行动态调整.进行了无人驾驶机器人操纵试验车辆在不同工况下的转向操纵仿真试验,并进行了人类驾驶员操纵车辆的实车试验.仿真与试验结果表明,提出的控制方法能够准确控制驾驶机器人的转向操纵.

后续将研究方法的实时性,并将改进后的方法烧录至无人驾驶机器人硬件控制系统,进行无人驾驶机器人的道路试验,以验证提出控制方法的实时性.

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