超高速磁浮轨道梁体系的跨平台耦合振动分析

图1 磁浮系统模型

Fig.1 Model of maglev system

表1 磁浮列车动力学模型自由度

Tab.1 Degrees of freedom of dynamic model of maglev train

自由度	伸缩	横摆	沉浮	侧滚	点头	摇头
车体	x_c	y_c	z_c	θ_c	Ψ_c	φ_c
转向架(i=1~4)	x_t_i	y_t_i	z_t_i	θ_t_i	Ψ_t_i	φ_t_i

磁浮列车转向架由前后2个C型框、左右悬浮电磁铁及导向电磁铁等级部分构成,车厢和转向架间用空气弹簧连接,转向架的三维构造示意图如图2所示.

图2

图2 转向架示意图

Fig.2 Diagram of bogie

磁浮列车-轨道桥耦合系统中,车体、转向架、轨道梁的动力方程分列为

(1)

M_{c} {\ddot{u}}_{c} = \overset{4}{\sum_{i = 1}} F_{ct i}

(2)

M_{t i} {\ddot{u}}_{t i} = - F_{tc i} + F_{tb j}

(3)

M_{b j} {\ddot{u}}_{b j} + C_{b j} {\overset{\cdot}{u}}_{b j} + K_{b j} u_{b j} = - \overset{16}{\sum_{j = 1}} F_{bt j}

式中: $M_{c}$ 、 $M_{t i}$ 及 $M_{b j} (i = 1,2, 3,4; j = 1,2, \dots, 16)$ 分别为车体、转向架和轨道梁单元的质量矩阵; ${\ddot{u}}_{c}$ 、 ${\ddot{u}}_{t i}$ 及 ${\ddot{u}}_{b j}$ 分别为车体、转向架及轨道梁单元的加速度; $F_{ct i}$ 为第i个转向架通过气动弹簧作用在车体的合力(矩); $F_{tc i}$ 为车体通过气动弹簧作用在第i个转向架的合力(矩); $F_{tb j}$ 为轨道梁单元作用于的转向架第j个悬浮电磁铁的合力(矩); $C_{b j}$ 为轨道梁的阻尼矩阵; $K_{b j}$ 为轨道梁的刚度矩阵; ${\overset{\cdot}{u}}_{b j}$ 、 $u_{b j}$ 分别为轨道梁单元的速度矩阵和位移矩阵; $F_{bt j}$ 为转向架第j个悬浮电磁铁作用于轨道梁单元的合力(矩).

3 磁浮控制器原理和实现

3.1 电磁铁模型

电磁铁系统包括安装在轨道梁上的定子、铁芯、恒流线圈、控制线圈以及电磁回路.当忽略绕组漏磁通,并忽略铁芯和导轨中的磁阻时,根据安培环流定律,磁间隙处的磁场强度B_m为

(4)

\begin{matrix} B_{m} = \frac{μ_{0}}{2 c} (N_{const} I_{const} + N_{c} I_{c}) \end{matrix}

式中:μ₀为空气磁导率;c为磁间隙大小;N_const为恒流线圈匝数;I_const为恒流源电流;N_c为控制线圈匝数;I_c为控制电流.

磁场在磁间隙处产生的电磁吸引力f为

(5)

\begin{matrix} f = \frac{B_{m}^{2} A_{m}}{μ_{0}} \end{matrix}

式中:A_m为磁极面积.将式(4)代入式(5)得电磁力的表达式为

(6)

\begin{matrix} f = \frac{μ_{0} A_{m}}{4 c^{2}} (N_{const} I_{const} + N_{c} I_{c})^{2} \end{matrix}

3.2 控制器原理

磁浮列车的悬浮系统是先天开环不稳定的系统,要实现磁浮列车的稳定悬浮,必须加控制系统进行闭环的反馈控制,闭环控制能够依靠反馈环节进行调节,一旦磁浮间隙过大,线圈电流随之增大,悬浮电磁力进而增强以抑制磁浮间隙的增加;反之磁浮间隙过小,线圈电流变小,从而抑制间隙的减小.PID控制器是目前较为主流的控制方法,它将磁浮间隙偏差的比例(P)、积分(I)及微分(D)进行线性组合成为控制量,并对磁浮间隙进行控制,其数学方程可表示为

(7)

U (t) = K_{pu} [e (t) + \frac{1}{T_{i}} \int_{0}^{t} e (t) d t + T_{d} \frac{d e (t)}{d t}]

式中: U(t)为电压随时间变化的函数;t为时间;K_pu为比例常数;e(t)为磁浮间隙随时间变化的函数;T_i为时间积分常数;T_d为微分常数.

基于加速度、速度及位移的控制器进行反馈调节,控制电流可以表示为1个关于磁浮间隙的二阶微分方程^[1]:

(8)

\begin{matrix} Δ I (t) = K_{p} Δc (t) + K_{v} Δv (t) + K_{a} Δa (t) \end{matrix}

式中: $K_{p}$ 、 $K_{v}$ 及 $K_{a}$ 分别为位移、速度以及加速度的反馈系数; $Δ c (t)$ 、 $v (t)$ 及 $a (t)$ 分别为磁浮间隙增量、速度增量以及加速度增量.系统流程如图3所示,图中: $T_{1 a}$ 、 $T_{h}$ 及 $T_{2}$ 为滤波器时间常数; $ω_{0}$ 、 $ξ_{0}$ 为观测器特征频率和阻尼; $c_{0}$ 为额定的磁浮间隙;s表示拉氏变换; $ξ_{0}$ 为观测器的阻尼; $k_{f}$ 为电磁力比例系数.将测得的电磁铁与轨道面的加速度a输入至带通滤波器,将Δc输入低通滤波器, 通过状态观测器将所测得的间隙信号和加速度信号进行重构来获取速度信号. 然后把Δc、a以及重构的速度状态量与 $K_{a}$ 、 $K_{v}$ 以及 $K_{p}$ 相乘得到电流变化量ΔI,与平衡位置的额定电流 $I_{0}$ 相加得到总的电磁铁电流,最后由控制器产生电磁吸力F.

图3

图3 控制器流程

Fig.3 Flowchart of controller

4 轨道梁有限元模型

4.1 梁单元模型

轨道梁模型采用Timoshenko梁单元,相较于Euler-Bernoulli的梁模型,Timoshenko梁单元模型只假定梁变形前垂直梁轴线的横截面,变形后仍为平面(刚性截面假定),引入了剪切变形的影响.

对于本文所研究对象,采用有限元软件ANSYS中的Beam188单元进行模拟,Beam188单元是考虑横向剪切变形和截面转动惯量影响的Timoshenko梁单元.该单元是三维的双节点单元.Beam188单元在每个节点上有7个自由度,包括x,y,z方向的平动、围绕x,y,z方向的转动和截面翘曲自由度.

4.2 轨道梁体系截面参数

为了研究磁浮列车在桥梁上运动时的系统动力特性,磁浮轨道梁采用与时速600 km/h配套的24.768 m的简支梁为原型^[10],轨道布置为单线形式,轨道梁和墩型截面如图4所示, 参数见表2.

图4

图4 轨道梁和桥墩截面

Fig.4 Cross-section of track beam and pier

表2 轨道梁和桥墩参数

Tab.2 Parameters of track beam and pier

符号	物理意义	数值
A/m²	梁截面面积	2.998
E_bI_z/(N·m²)	梁竖向刚度	9.766×10¹⁰
E_bI_y/(N·m²)	梁横向刚度	8.736×10¹⁰
$\bar{M}$ /(kg·m^-1)	梁单位长度质量	7.795×10³
h/m	桥墩高度	6
E_c/(N·m^-2)	混凝土弹性模量	3.6×10¹⁰
ρ/(kg·m^-2)	混凝土密度	2.6×10³

注:表中E_b为轨道梁的弹性模量;I_y和I_z为轨道梁沿坐标轴方向的惯性矩.

采用Beam188单元对上述模型有限元化,为了保证模拟磁浮作用力的连续性,单元划分尺寸取为单个电磁铁长度的1/8.针对考虑桥墩参振的轨道梁和不考虑桥墩参振的轨道梁分别进行模态分析,分析结果如表3所示.

表3 模态分析结果

Tab.3 Results of modal analysis

阶数	模态频率/Hz		模态振型
阶数	有桥墩	无桥墩	模态振型
1	8.0438	8.3517	一阶横向弯曲
2	8.8057	8.8251	一阶竖向弯曲
3	19.4020	20.0630	横向正对称弯曲,墩横弯
4	22.5520	31.1850	纵向振动,墩竖弯
5	25.7520	33.1170	横向反对称弯曲,墩横弯

5 跨平台车桥耦合方法的实现

整个磁浮列车-轨道耦合系统由列车子系统、轨道梁-桥墩子系统和悬浮控制子系统3个部分组成,轨道梁和悬浮控制子系统分别作为耦合系统模型的子模型在不同的软件平台上建立.

通过ANSYS将轨道梁模型的模态分析结果以子结构形式输出到3个文件,分别为超单元矩阵信息文件(*.sub)、几何信息文件(*.cdb)以及应力信息文件(*.tcms),这3个文件通过Simpack自带的柔性体模块生成可供多体动力学分析程序识别的模态信息文件(*.fbi),实现ANSYS和Simpack之间的模型信息转换.

Simpack中可实现的控制器子模型主要有3种建立方法^[11]:① Simpack自带的控制模块,通过对Simpack本身自带的控制模块进行参数设置和控制子系统的建模;② 通过MATLAB的SIMAT接口,与Simpack实现实时的控制数据的交互;③ 利用在MATLAB中的MATSIM模块,通过把设计好的控制器导出到动态链接库文件文件(*.DLL),将该控制程序输入到Simpack的控制模块来实现控制系统的应用.从计算效率和便捷性方面综合考虑,本文采用了第3种控制器建模方法.

整个磁浮列车-轨道桥耦合系统分析功能的具体实现流程如图5所示.

图5

图5 模型仿真流程图

Fig.5 Flowchart of model simulation

6 车桥耦合系统的动力响应

6.1 模型参数设置

本节采用上述仿真分析框架模拟了3节编组磁浮列车通过6跨简支梁的动力响应,具体数据参照文献[9]中磁浮列车的参数,额定磁浮间隙设定为10 mm,具体的磁浮列车参数如表4所示.

表4 磁浮列车参数

Tab.4 Parameters of maglev train

参数	数值
车体质量(满员)	2.92×10⁴
车体绕x轴转动惯量/(kg)	2.1×10⁴
车体绕y轴转动惯量/(kg·m²)	1.64×10⁶
车体绕z轴转动惯量/(kg·m²)	1.64×10⁶
转向架总质量/(kg)	3.2×10⁴
转向架绕x轴转动惯量/(kg·m²)	6.95×10³
转向架绕y轴转动惯量/(kg·m²)	1.2×10⁴
转向架绕z轴转动惯量/(kg·m²)	7.72×10³
二系悬挂刚度/(N·m^-1)	6.812×10⁵
二系悬挂阻尼/(N·s·m^-1)	8.46×10⁴

轨道梁为预应力混凝土梁,轨道梁截面形式如图4所示.仿真时分析采用了不同磁浮列车时速工况下进行动力耦合计算,为精细模拟超高速列车的动力时程响应过程,仿真输出采样频率取500 Hz;仿真积分类数值分析方法采用SODASRT-2积分方法,该积分方法计算效率高,并可进行刚性模型和柔性模型代数微分方程(OAE)和常微分方程(ODE)的动力计算,该算法允许通过最大步长控制,算法稳定性高,适用于超高速车-轨道桥耦合系统的动力响应分析计算.

6.2 模型验证

为了验证提出的磁浮列车-轨道桥耦合机理分析方法的正确性以及模型的可靠性,将本文耦合模型所得的仿真结果与上海线在车速为300 km/h时的测试数据进行了对比^[2],结果如图6所示,图中:y_b为轨道梁跨中竖向位移.

图6

图6 实测结果与仿真结果对比

Fig.6 Measured results versus simulation results

从图6可看出,仿真计算的分析结果与实测结果较为吻合,在300 km/h的车速下跨中竖向位移的理论值和实测值相差很小,最大为0.2 mm.通过比较磁浮列车上桥、桥面行进及下桥3个过程的数据发现,仿真数据与实测数据相比较,在车头抵达右支座和在车尾刚刚开始离开轨道梁时的起伏和偏差都稍大,这与轨道梁的刚度分布规律和变形转角变化规律是一致的.基于上述的模型比较验证,可以认为本文提出的磁浮列车-轨道桥耦合模型的计算分析方法和计算平台是可靠的,具体的时间积分步长根据不同的车速做适当调整,满足数值计算的精度和收敛性的要求.

6.3 桥梁动力响应分析

在磁浮列车时速达到600 km/h时,轨道梁跨中竖向位移时程曲线模拟结果如图7所示.取第1、3、6跨的跨中竖向位移进行跟踪分析,三跨的轨道梁变形规律基本一致,轨道梁竖向位移最大值为1.48 mm,磁浮轨道梁竖向动位移一般要求是不超过设计磁浮间隙±2 mm限值.

图7

图7 轨道梁跨中竖向位移时程曲线

Fig.7 Vertical displacement-time history curves at mid-span point

第1跨桥梁跨中竖向加速度时程曲线(a_b-t)以及第1、3、6跨相应的加速度频谱图(a_m-f)分别如图8、9所示.通过结果分析发现,轨道梁跨中加速度最大值约为1 m/s²,并且发生在磁浮列车入桥和出桥的时间点.通过分析第1、3、6跨相应的三跨桥加速度频谱,这3条曲线基本一致,且都有一个8.8 Hz对应的频谱峰值.结合之前对梁的模态分析结果(表3),该值接近于梁的一阶竖向基频.对于连续简支桥梁而言,一阶竖向弯曲模态对桥梁的振动贡献最大.

图8

图8 轨道梁跨中竖向加速度时程曲线

Fig.8 Vertical acceleration-time history curves at mid-span point

图9

图9 轨道梁跨中竖向加速度频谱

Fig.9 Vertical acceleration spectrum at mid-span point

6.4 车体动力响应分析

在磁浮列车-轨道桥耦合分析过程中,取车体几何中心点、悬浮架中心点及第1节电磁铁中心3个观测点,用于监测车辆系统的动力响应.图10所示为电磁铁磁浮间隙的时程曲线(d-t图),图中悬浮间隙随着跨数的增加进行有规律的波动,波动区间的最大值为10.05 mm,最小值为9.90 mm,满足磁浮列车对于额定间隙在8~12 mm间悬浮控制要求.通过对比图7和10,结合位移时程曲线可以看出,电磁铁运动在经过轨道梁的交界处时,悬浮间隙会产生一定程度的突变,在轨道梁跨中位置又会出现一定程度的小的平台段,这与磁浮力的变化规律是一致的,也反映了轨道梁的刚度沿着跨度方向的梯度变化规律.

图10

图10 电磁铁悬浮间隙时程曲线

Fig.10 Time history curves of suspension gap of electromagnet

第1节转向架的加速度时程曲线(a_t-t图)和第1节车厢的加速度时程曲线(a_c-t图)分别如图11、12所示.转向架竖向加速度变化在 -1~1.4 m/s²区间内波动,同电磁铁波动规律类似,磁浮转向架的加速度也是在轨道梁交界处波动较大.车厢的加速度波动区间为 -0.14~0.08 m/s².对比图11、12可发现,车厢的竖向加速度峰值明显降低,这说明二系悬挂起到了很好的隔振效果.对于高速磁浮,磁浮列车竖向加速度限值一般取为0.4 m/s^{2 [12,13]}.

图11

图11 第1节转向架竖向加速度时程曲线

Fig.11 Time history curves of vertical acceleration for the first bogie

图12

图12 第1节车厢竖向加速度时程曲线

Fig.12 Time history curves of vertical acceleration for the first carbody

6.5 不同速度下仿真结果

本节通过计算和对比时速200~800 km/h磁浮列车和桥梁的动态响应,探究桥梁跨中位移和加速度峰值的变化规律、车体竖向加速度随列车速度的变化规律以及桥墩参振对动力耦合分析结果的影响.由图7可知,对于简支梁型多跨轨道梁而言,不同跨间的桥梁动力响应基本一致,所以可选取其中任意一跨进行分析研究,车辆方面主要考虑首车+中车+尾车的列车布置.

6.5.1 轨道梁跨中位移桥墩参振影响下的轨道梁跨中位移峰值随速度变化曲线(y_b-v图)及其比较结果如图13所示,桥墩的参振作用对桥梁跨中动位移的影响较小.考虑桥墩的作用下,竖向刚度略小于不计入桥墩的情况,跨中位移峰值会增大,但增加幅度不明显;另一方面,随着车速的增大,桥梁跨中位移峰值对于速度的变化不敏感,在400 km/h左右轨道梁位移峰值会有一个小幅度的增大.总体而言,车速小于500 km/h时,跨中位移峰值处于一个较为平稳的状态,变化较小,车速大于500 km/h时,桥梁跨中动位移峰值会随着车速的增大有微小的增加.

图13

图13 跨中位移随速度变化曲线

Fig.13 Mid-span displacement versus speed

6.5.2 轨道梁跨中加速度轨道梁跨中竖向加速度峰值随磁浮列车运行速度的变化规律曲线(a_b-v图)如图14所示.轨道梁跨中竖向加速度基本随速度的增大而增大,考虑桥墩参振的作用下,桥梁的刚度有所削弱,计算桥墩参振的跨中竖向加速度比不计入桥墩的跨中加速度峰值要偏大.在时速为600 km/h,考虑桥墩的情况下,跨中竖向加速度峰值增大了约13%,比较显著.通过对比表3轨道梁各阶模态频率的结果可以发现,桥墩对于低阶模态的影响非常微小,但是,对于高阶模态的影响比较显著,反映在轨道梁跨中竖向加速度峰值上有比较明显的变化.目前,磁浮轨道梁主要通过控制基频和跨中竖向位移峰值来实现刚度控制.从本节计算结果可以发现,考虑桥墩参振作用对于桥梁加速度动力响应的影响是比较明显的.

图14

图14 不同时速下轨道梁跨中加速度峰值

Fig.14 Peak acceleration at mid-span point at different speeds

6.5.3 车体竖向加速度取中车车体作为分析对象,中车车体竖向加速度峰值随磁浮列车运行速度的变化规律曲线(a_c-v图)如图15所示.对于车体而言,车体的竖向加速度峰值基本随速度呈单调递增关系,且时速不超过800 km/h范围内,车体竖向加速度峰值均没有出现显著的陡升.计入桥墩的情况与不计入桥墩的情况比较,车体加速度峰值没有显著的变化,桥墩参振对车体加速度峰值的影响较小,几乎可以忽略.通过简支梁跨时,中车的加速度相较首车和尾车更小,且在时速不超过600 km/h时中车车体竖向加速度均小于0.4 m/s²;车厢的竖向加速度峰值出现在车辆入桥和出桥阶段,主要是由于在该位置由于桥墩的作用,竖向刚度变化明显,轨道梁截面的相对转角比较大.

图15

图15 不同时速下中车的车体加速度峰值

Fig.15 Peak acceleration of mid carbody at different speeds

7 结论

本文基于Simpack、ANSYS及Simulink这3个软件搭建了跨平台的耦合分析软件系统,并以与时速600 km/h高速磁浮配套的24.768 m轨道梁为仿真对象,针对超高速磁浮系统进行车桥耦合系统进行动力响应分析,得到如下主要结论:

(1) 磁浮列车的运行速度小于500 km/h的速度区间,轨道梁竖向位移峰值变化不明显.当时速超过500 km/h时,轨道梁的竖向位移峰值会随着车速的增大而显著增大;

(2) 考虑振动过程中的桥墩弹性变形对整体桥梁结构体系的刚度的影响,轨道梁的跨中位移峰值随车速变化很小,但是对轨道梁跨中加速度峰值的影响比较明显,在600 km/h时速大概有13%的差别.是否考虑墩柱作用对于车体加速度峰值影响较小,几乎可以忽略;

(3) 本文提出的基于多平台联合仿真计算方法,针对超高速磁浮-控制器-轨道梁耦合分析是可行的,可用于获取列车和轨道梁的动力学响应,具有良好的通用性和可扩展性.

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