考虑自重应力的隧道周围土体非线性固结特性分析

图1 隧道计算模型示意图

Fig.1 Schematic diagram of tunnel calculation model

计算模型的基本假设如下:

(1) 隧道足够长,满足平面应变条件.

(2) 土体为各向同性的均质连续饱和弹性体,土体中发生的变形为小变形.

(3) 土的渗透性和压缩性分别满足e-lgk_s、e-lgσ' 的非线性关系^[12-13],其中e为土体孔隙比,k_s为土体渗透系数,σ'为有效应力.

(4) 土颗粒和孔隙水不可压缩,孔隙水渗流规律满足Darcy定律.

(5) 隧道周边土体固结用Terzaghi-Rendulic固结理论来描述.

(6) 隧道周边土体的初始有效应力沿深度发生线性变化,即 $σ'_{0} = γ' y$ ,其中 $σ'_{0}$ 为初始有效应力, $γ'$ 为土体有效重度,y为深度.

2 固结沉降方程

2.1 固结控制方程推导

土体渗透性和压缩性分别满足e-lgk_s、e-lgσ'的非线性关系,即

(1)

\begin{matrix} e = e_{1} - C_{c} l g \frac{σ'}{σ'_{1}} \end{matrix}

(2)

\begin{array}{l} e = e_{1} + C_{k} l g \frac{k_{s}}{k_{s 1}} \end{array}

式中:e₁、σ'₁分别为土体半对数压缩曲线上参考点所对应的孔隙比和有效应力;k_s1为半对数渗透曲线上对应于孔隙比e₁的渗透系数.

由式(1)可得:

(3)

\begin{matrix} m_{v} = - \frac{1}{1 + e_{0}} \frac{\partial e}{\partial σ'} = m_{v 0} \frac{σ'_{0}}{σ'} \end{matrix}

式中:m_v为体积压缩系数;e₀为初始孔隙比;m_v0为初始体积压缩系数, $m_{v 0} = \frac{C_{c}}{(1 + e_{0}) σ'_{0}} \frac{1}{l n 10} .$

式(1)和式(2)联立可得任意时刻的土体渗透系数:

(4)

\begin{matrix} k_{s} = k_{s 1} {(\frac{σ'_{1}}{σ'})}^{\frac{C_{c}}{C_{k}}} = k_{s 0} {(\frac{σ'_{0}}{σ'})}^{\frac{C_{c}}{C_{k}}} \end{matrix}

式中:k_s0为初始时刻土体渗透系数, $k_{s 0} = k_{s 1} {(\frac{σ'_{1}}{σ'_{0}})}^{\frac{C_{c}}{C_{k}}} .$

于是,可得土体固结系数为

(5)

\begin{matrix} C_{v} = \frac{k_{s}}{m_{v} γ_{w}} = C_{v 0} {(\frac{σ'_{0}}{σ'})}^{\frac{C_{c}}{C_{k}} - 1} \end{matrix}

式中:γ_w为孔隙水重度;C_v0为土体初始固结系数, $C_{v 0} = \frac{k_{s 0}}{m_{v 0} γ_{w}} = \frac{(1 + e_{0}) k_{s 0} σ'_{0} l n 10}{C_{c} γ_{w}} .$

由此可知,当 $\frac{C_{c}}{C_{k}}$ ≠1时,土体的固结系数会随着固结进程不断变化;当 $\frac{C_{c}}{C_{k}}$ =1时,土体固结系数为常数.

由Terzaghi-Rendulic二维固结理论,对于均质饱和软土地基,土体固结控制方程为

(6)

\frac{1}{γ_{w}} \frac{\partial}{\partial x} (k_{s} \frac{\partial u}{\partial x}) + \frac{1}{γ_{w}} \frac{\partial}{\partial y} (k_{s} \frac{\partial u}{\partial y}) = - \frac{\partial ε_{v}}{\partial t}

式中:u为超静孔压;ε_v为土体体积应变.

隧道周围土体体积应变为

(7)

\begin{matrix} ε_{v} = \frac{e_{0} - e}{1 + e_{0}} \end{matrix}

则土体体积应变变化率:

(8)

\begin{matrix} \frac{\partial ε_{v}}{\partial t} = - \frac{1}{1 + e_{0}} \frac{\partial e}{\partial t} \end{matrix}

根据有效应力原理:

(9)

\begin{matrix} σ' = σ - u \end{matrix}

式中:σ为土体总应力.则

(10)

\begin{matrix} \frac{\partial σ'}{\partial t} = - \frac{\partial u}{\partial t} \end{matrix}

联立式(3)、(8)、(10),可得:

(11)

\begin{matrix} \frac{\partial ε_{v}}{\partial t} = - m_{v} \frac{\partial u}{\partial t} \end{matrix}

将式(4)、(11)代入式(6),即为本文所研究的隧道周边土体二维非线性固结控制方程:

(12)

\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x} [k_{s 0} {(\frac{σ'_{0}}{σ'})}^{\frac{C_{c}}{C_{k}}} \frac{\partial u}{\partial x}] + \frac{\partial}{\partial y} [k_{s 0} {(\frac{σ'_{0}}{σ'})}^{\frac{C_{c}}{C_{k}}} \frac{\partial u}{\partial y}] = \\ \frac{C_{c} γ_{w}}{(1 + e_{0}) σ' l n 10} \frac{\partial u}{\partial t} \end{array}

上述方程的定解条件如下.

(1) 边界条件. 地表处为透水边界,即

(13)

\begin{matrix} u (x, 0, t) = 0 \end{matrix}

其余各边为不透水边界,即

(14)

\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial y} (x, - H, t) = 0 \end{matrix}

(15)

\frac{\partial u}{\partial x} (W, y, t) = 0

(16)

\frac{\partial u}{\partial x} (- W, y, t) = 0

隧道衬砌视为半透水边界:

(17)

\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial r} (x, y, t) = κ u \end{matrix}

式中: x、y满足 $x^{2} + {(y + h)}^{2} = r_{2}^{2}$ ;κ为衬砌与土体的相对渗透系数.

根据Li^[6]研究可知:

(18)

\begin{matrix} κ = \frac{k_{l}}{k_{s} r_{2} l n \frac{r_{2}}{r_{1}}} \end{matrix}

式中:k_l为衬砌的渗透系数.当k_l趋向无穷大时,衬砌完全透水;当k_l趋向0时,衬砌完全不透水;当隧道衬砌透水情况位于以上中间状态时,用系数κ来表示.

(2) 初始条件:

(19)

\begin{matrix} u (x, y, 0) = u_{0} \end{matrix}

式中:u₀为初始时刻隧道周边土体中的超静孔压,其分布模式与文献[3]中相同.隧道衬砌外表面处初始超静孔压取为p,p为常数,其大小受施工工艺、土质条件、隧道埋深以及现场施工控制等因素影响^[14].

2.2 地表沉降计算方程

隧道周围任意一点土体体积应变为

(20)

ε_{v} = ε_{x} + ε_{y} + ε_{z} = \frac{1 - 2 ν}{E} (σ'_{x} + σ'_{y} + σ'_{z})

式中: $ε_{x} 、 ε_{y} 、 ε_{z}$ 为分别土体x、y、z方向应变; $σ'_{x} 、 σ'_{y} 、 σ'_{z}$ 为土体各方向的有效应力;ν为土体泊松比;E为土体弹性模量.

根据广义胡克定律及平面应变假设,可得:

(21)

σ'_{z} = ν (σ'_{x} + σ'_{y})

(22)

\begin{array}{l} ε_{x} = \frac{1 - ν^{2}}{E} (σ'_{x} - \frac{ν}{1 - ν} σ'_{y}) \\ ε_{y} = \frac{1 - ν^{2}}{E} (σ'_{y} - \frac{ν}{1 - ν} σ'_{x}) \end{array}\}

(23)

\begin{array}{l} σ'_{x} = K_{0} σ'_{y} \end{array}

式中:K₀为土静止土压力系数.

联立式(20)~(23),可得:

(24)

\begin{matrix} ε_{y} = \frac{- ν K_{0} + (1 - ν)}{(1 - 2 ν) (K_{0} + 1)} ε_{v} \end{matrix}

同时将式(1)代入式(7),得:

(25)

\begin{matrix} ε_{v} = \frac{C_{c}}{1 + e_{0}} l g \frac{σ'}{σ'_{0}} \end{matrix}

由此,结合式(25),对式(24)沿深度方向进行积分可得任意时刻隧道轴线位置处的地表固结沉降值:

(26)$S(t)=\int_{-\infty}^{0} \varepsilon_{y}(x, y, t) d y$

2.3 固结控制方程的求解

本文采用Douglas-Jone格式交替方向隐式差分法来求解式(12)^[15-16],该格式对计算域空间进行双方向离散划分,分步逼近原方程,具有精度高且无条件稳定的优点.具体时间及空间网格划分如图2所示.图中: T为设定的固结时间;i、j分别为x、y方向上的空间差分节点;n为时间差分节点; $Δ h_{x} 、 Δ h_{y}$ 分别为x、y方向上的空间步长; $Δ t$ 为时间步长.其中计算模型的总宽度取为5倍隧道直径.

图2

图2 时空网格划分示意图

Fig.2 Schematic diagram of spatiotemporal grid division

在该差分格式下,式(12)离散为

(27)

\begin{array}{l} \frac{r_{i, j} K_{i, j}^{n}}{2} δ_{x}^{2} (u_{i, j}^{n + \frac{1}{2}} + u_{i, j}^{n}) + r_{i, j} K_{i, j}^{n} δ_{y}^{2} u_{i, j}^{n} = \\ u_{i, j}^{n + \frac{1}{2}} - u_{i, j}^{n} \end{array}

(28)

\frac{r_{i, j} K_{i, j}^{n + \frac{1}{2}}}{2} δ_{x}^{2} (u_{i, j}^{n + \frac{1}{2}} + u_{i, j}^{n}) + \frac{r_{i, j} K_{i, j}^{n + \frac{1}{2}}}{2} δ_{y}^{2} \times (u_{i, j}^{n + 1} + u_{i, j}^{n}) = u_{i, j}^{n + 1} - u_{i, j}^{n}

式中: $K = {(\frac{σ'_{0}}{σ'})}^{\frac{C_{c}}{C_{k}} - 1}$ ; $r = \frac{C_{v 0} Δ t}{Δ h^{2}}$ ,Δh为空间步长;δ为中心差分算子, $δ_{x}^{2} u_{i, j} = δ_{x} (δ_{x} u_{i, j}) = δ_{x} (u_{(i + 1 / 2), j} - u_{(i - 1 / 2), j}) .$

上述计算过程为:在n时刻引入超静孔压 $u^{n}$ ,依次代入式(27)、(28),求得n+1时间步下的超静孔压 $u^{n + 1}$ ;并将得到的超静孔压 $u^{n + 1}$ 作为n+2阶段的起始孔压输入,继续计算n+2阶段的孔压 $u^{n + 2},$ 如此往复循环,直到计算至设定时间.通过迭代求解,可得任意时刻下隧道周围土体中超静孔压的分布.隧道轴线处的地表沉降和按孔压定义的平均固结度可分别由下式计算得到:

(29)

S (t) = \int_{- \infty}^{0} ε_{y} (x, y, t) d y = \sum_{j = 1}^{n} ε_{y} (x, y, t) Δ y_{j}

(30)

\begin{array}{l} U = 1 - \frac{\int_{- H}^{0} \int_{- W}^{W} u d x d y}{\int_{- H}^{0} \int_{- W}^{W} u_{0} d x d y} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{M} \sum_{j = 1}^{N} u_{i, j} s_{i, j}}{\sum_{i = 1}^{M} \sum_{j = 1}^{N} u_{0 (i, j)} s_{i, j}} \end{array}

式中: $s_{i, j} = Δ h_{x} Δ h_{y}$ 为离散点 $(x_{i}, y_{j})$ 处空间步长所围面积.

3 解答验证

为了验证本文解答的准确性和有效性,选取已有固结解析解及上海地铁1号线观测点实测数据与本文解答进行比较分析.

3.1 与已有解析解的比较

当不考虑土体自重应力时,本文就退化为一般的隧道周围土体非线性固结解答.选取文献[8]中算例的土体基本参数进行计算:土体饱和重度γ_sat=18 kN/m³,k_s0=5.4 nm/s,C_c=0.25,e₀=1.4,ν=0.36,K₀=0.51,κ=0.018.将本文退化解答计算结果与文献[8]中隧道周围土体的非线性固结解析解计算结果进行对比,图3给出了其固结度随时间变化曲线,可以看到,在相同工况下,两者计算结果吻合较好,由此可以验证本文解答的准确性.

图3

图3 固结度随时间变化曲线

Fig.3 Time dependent curve of consolidation degree

3.2 与工程实例的比较

以上海地铁1号线工程为例,隧道外径6.2 m,内径5.5 m,上覆土层厚度6~8 m,隧道所穿越土层多为软弱的淤泥粉质黏土和淤泥质黏土.选取其中一观测点展开分析,根据实际土层分层情况^[2,17],均质土层基本参数取为:γ_sat=18 kN/m³,k_s1=4.7 nm/s,C_c=0.20,e₁=1.4,ν=0.36,K₀=0.5.隧道衬砌渗透系数k_l根据文献[17]中取 3.89×10^-11 m/s.参照魏纲^[14]的研究,该测点处p取为 30 kPa.

式(27)计算得到的沉降是隧道周围土体因超静孔隙水压力消散而产生的长期固结沉降,并不包含施工阶段因地层损失造成的瞬时沉降.因此考虑测点处的瞬时沉降约为12 mm^[2],图4给出了上海地铁1号线测点处计算总沉降随时间的发展曲线,并与实测数据进行了对比,发现本文沉降解答符合实际沉降发展规律且同实测值十分接近,进一步证明了本文解答的合理性和有效性.

图4

图4 测点计算总沉降与实测沉降随时间变化曲线

Fig.4 Time varying curve of calculated total settlement and measured settlement at measuring point

4 固结特性分析

为了研究考虑自重应力时隧道周围土体的固结特性,本文以表1、2给出的基本工况为例,分析在不同自重应力及固结系数条件下隧道周围土体的固结性状,其中当假定初始有效应力恒定时,其值取为土层总厚度一半位置处的土体自重应力大小,即σ'₀=γ'H/2.

表1 土体基本参数

Tab.1 Basic parameters of soil

参数	取值
k_s1/(m·s^-1)	4.0×10^-9
C_c	0.2
C_k	0.2
e₁	1.0
σ'₁/kPa	200
γ_sat/(kN·m^-3)	18
H/m	30

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表2 隧道基本参数

Tab.2 Basic parameters of tunnels

参数	取值
h/m	11
r₁/m	2.75
r₂/m	3.10
k_l/(m·s^-1)	3.0×10^-11
p/kPa	30

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4.1 孔压分析

图5给出了两种初始有效应力分布形式下隧道轴线处土体超静孔压随深度变化曲线.可以看到在任意时刻下,土体初始应力为恒值时的超静孔压始终大于考虑自重应力时的情况,即简单把土体初始应力视为恒值会导致其超静孔压消散速率偏小.同时,初始应力分布形式不同导致的超静孔压差值在固结前中期更大,这说明初始应力分布形式对土体前中期固结的影响更大.

图5

图5 不同时刻两种分布形式下土体超静孔压随深度变化曲线

Fig.5 Excess pore pressure of soil with depth under two different distributions at different times

图6给出了t=50 d时,不同重度下隧道轴线处土体超静孔压分布情况.从式(3)、(4)中不难发现,土体重度越大,k_s和m_v都越小.当C_c/C_k =1.0时,固结系数恒定,k_s和m_v同步变化,图6(a)中各重度下的超静孔压曲线几乎重合,即k_s和m_v两者对土体超静孔压的影响效果基本抵消.同时对比图6(b)可知,土体重度越小,其超静孔压大小受初始有效应力分布形式的影响越大.C_c/C_k ≠1.0则表示固结系数会随固结过程发生变化.当C_c/C_k>1.0时,可以看到该情况下k_s对超静孔压消散速率起主导作用,在图6(c)中表现为同样重度变化下,土体超静孔压曲线间的间距更大,且超静孔压消散速率随重度增大而减小;相反,C_c/C_k<1.0时,m_v变化幅度变得比k_s更大,因此图6(d)曲线表现出土体重度越大,超静孔压消散速率越快的规律.

图6

图6 不同重度下隧道轴线处土体超静孔压

Fig.6 Excess static pore pressure of soil at tunnel axis under different density conditions

4.2 固结度分析

图7给出了不同C_c/C_k下土体平均固结度发展曲线.可以看到考虑自重应力的土体固结速率始终大于初始有效应力恒定的固结速率,即将初始有效应力考虑为沿深度恒定不变会导致土体的固结速率偏小,这与文献[11,18]中的结论相同.同时发现当考虑自重应力时,C_c/C_k越小,土体固结速率越慢,而初始应力恒定时恰好相反.主要原因是考虑自重应力时,其参考点的有效应力普遍大于任意点的有效应力,因此C_c/C_k越小,k_s就越小,固结速率越慢;而在初始应力恒定的情形中,土体中任意点各时刻下的有效应力始终大于其初始有效应力,因此k_s随C_c/C_k减小而增大,固结速率也相应加快.对比各曲线间的纵向间距不难发现,考虑自重应力时,土体固结速率受C_c/C_k的影响更大.因此在分析隧道周边土体固结性状时,需考虑土体的自重应力,简单地把初始有效应力考虑为恒值会造成一定的误差.

图7

图7 不同C_c/C_k下土体固结度曲线

Fig.7 Soil consolidation degree curves at different C_c/C_k values

为进一步分析考虑自重应力时的土体固结变化规律,图8给出了在不同重度下的土体固结度发展曲线.可以发现,当C_c/C_k =1.0时,固结系数恒定,图8(a)中固结曲线几乎重合,说明与孔压规律相似,k_s和m_v两者对固结速率产生的效果基本抵消.且对比图8(b)可知,重度越小的土层,其固结速率受初始有效应力分布形式的影响越大.C_c/C_k ≠1.0则表示固结系数会随时间发生变化.当C_c/C_k>1.0时,k_s对土体固结速率的影响更大,在图8(c)中表现为各固结曲线间的间距增大,土体的固结速率随重度增大而减小,该趋势与4.1节中超静孔压消散速率随重度变化的趋势一致;而C_c/C_k <1.0时,m_v的变化幅度变得比k_s更大,因此土体固结曲线表现出随重度增大,固结速率也增大的趋势.

图8

图8 不同重度下土体固结度发展曲线

Fig.8 Development of soil consolidation degree under different density conditions

4.3 地表沉降分析

图9给出了不同C_c/C_k下隧道轴线处地表沉降发展曲线.可以看到考虑自重应力得到的地表沉降值始终大于初始有效应力为恒值时得到的沉降值,即忽略土体自重应力会导致计算得到的最终沉降值偏小.不同C_c/C_k仅改变其沉降发展速率,而地表最终沉降值不受影响.同时,在初始应力两种分布形式下,地表沉降随C_c/C_k改变而表现出的发展规律并不相同,其原因与4.2节C_c/C_k对固结速率的影响相同.以上再次说明在分析隧道周边土体长期固结性状时需要考虑其自重应力,假设初始应力恒定不变会造成计算结果偏离实际.

图9

图9 不同C_c/C_k下隧道轴线处地表沉降发展曲线

Fig.9 Development of surface settlement at tunnel axis at different C_c/C_k values

图10对不同重度下隧道轴线处地表沉降发展规律做了进一步探究,从图10(a)、10(b)中可以看到不同重度下,忽略自重应力的地表沉降值同样始终更小.同时,结合图10(c)、10(d)发现,不论初始有效应力分布形式及C_c/C_k的比值如何,地表沉降终值均随土体重度增大而减小.这是因为当土体重度增大时,土中任意位置处各时刻有效应力和初始有效应力同步增大,但总计消散的超静孔压基本不变,即任意时刻有效应力和初始有效应力间的差值基本不发生变化,因此土体的体应变随之减小,最终沉降值也越小.

图10

图10 不同重度下隧道轴线处地表沉降发展曲线

Fig.10 Development of surface settlement at tunnel axis at different gravity levels

5 结论

基于Terzaghi-Rendulic二维固结理论,通过Douglas-Jone格式交替方向隐式差分法,得到了在自重应力影响下隧道周围土体非线性固结解答,并通过同已有解析解及工程实测数据的对比,验证了该解答的准确性与有效性.在此基础上探究了自重应力及固结系数C_v变化对隧道周边土体固结特性的影响规律,得出如下结论:

(1) 忽略土体的自重应力不仅会导致其超静孔压偏大,固结沉降速率偏小,还会使得地表沉降终值偏小.因此在对隧道周边土体进行固结特性分析时,必须要考虑其自重应力,假设初始有效应力恒定会导致计算结果与实际不符.

(2) C_c/C_k是影响土体固结的重要因素.当考虑土体自重应力时,固结沉降速率随着C_c/C_k减小而减小,但地表沉降终值不受影响.

(3) 当C_c/C_k=1.0时,渗透系数和体积压缩系数对土体固结速率所产生的影响基本抵消.土体重度越小,其固结速率受初始有效应力分布形式的影响就越大,同时地表沉降终值也越大.

(4) 当C_c/C_k>1.0时,渗透系数在土体固结过程中起主导作用,因此固结速率表现出随重度增大而减小的规律;相反,C_c/C_k<1.0时体积压缩系数的影响效果会增强,土体固结速率变为随重度增大而增大.但两种情形下的地表最终沉降值均随土体重度增大而减小.

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