基于半混合欧拉-拉格朗日边界元法不规则波群模拟

图1 数值波浪水池示意图

Fig.1 Sketch of numerical wave tank

1.2 不规则波群生成理论

本研究结合海浪谱和波包谱理论生成单向不规则波群.海浪谱为改进的JONSWAP谱^[20]:

(5)

\begin{array}{l} S_{η} (f) = \frac{0.062 38 (1.094 - 0.019 15 l n γ)}{0.23 + 0.033 6 γ - 0.185 {(1.9 + γ)}^{- 1}} \times \\ H_{1 / 3}^{2} T_{P}^{- 4} f^{- 5} e x p [- \frac{5}{4} (T_{P} {f)}^{- 4}] γ^{e x p [- (f / f_{P} {- 1)}^{2} / (2 σ^{2})]} \end{array}

式中: $S_{η}$ 为海浪谱函数; $H_{1 / 3}$ 为有义波高; $T_{P}$ 和 $f_{P}$ 分别为海浪谱的谱峰周期和谱峰频率; $γ$ 为谱峰提升因子,取值3.3; $σ$ 为谱型参数, $f$ 为波浪频率,当 $f \leq f_{P}$ 时, $σ$ 取值0.07,否则取值0.09.

波包谱采用刘思^[17]提出的经验公式:

(6)

\begin{array}{l} S_{A} (f) = \\ \{\begin{array}{l} 0.085 π e^{- \frac{1}{3.1} (f / f_{P A})} m_{0} G_{F H}^{2} / f_{P A}, \\ f f_{P A} \\ [0.042 + 0.019 (f / f_{P A})] π m_{0} G_{F H}^{2} / f_{P A}, \\ 0 \leq f \leq f_{P A} \end{array} \end{array}

(7)

\frac{f_{P}}{f_{P A}} = G_{L F} = \{\begin{array}{l} 5 ~ 15, & G_{F H} 0.7 \\ 10 ~ 28, & G_{F H} \geq 0.7 \end{array}

式中:S_A为波包谱函数;G_FH和G_LF分别为群高和群长参数;f_PA为波包谱的谱峰频率;m₀为海浪谱S_η的零阶矩.

单向不规则波群理论生成步骤^[17]如下:① 给定海浪的有义波高、谱峰周期、群高和群长等参数;②以海浪谱 $S_{η}$ 和波包谱 $S_{A}$ 为靶谱,分别通过叠加原理生成不规则波列 $η' (t)$ 和 $η_{A} (t)$ ; ③ 计算波列 $η_{A} (t)$ 的波包线 $A (t)$ ;④ 计算波列 $η' (t)$ 波包线的相位函数 $φ (t)$ ;⑤ 构造不规则波列 $η (t) = A (t) \times c o s φ (t)$ ;⑥ 校核波列 $η (t)$ 的波浪特征和谱型,修正波包线和海浪谱型,直至波列符合波浪要素和群性要求.

1.3 数值造波和消波

为了在数值水池中模拟不规则波群的生成和传播,首先采用1.2节所述的理论方法生成单向不规则波列;然后通过快速傅里叶变换对该波列进行分析,得到相应的成分波要素;再结合线性叠加原理,假设波浪沿x方向传播,便得到满足特定群性的不规则波列的速度势和波面升高:

(8)

\begin{array}{l} ϕ (t) = \sum_{i = 1}^{M} {\frac{π H_{i}}{k_{i} T_{i}} \frac{c o s h [k_{i} (z + h)]}{s i n h (k_{i} h)} s i n [k_{i} (x - x_{0}) - 2 π f_{i} t + ε_{i}]} \end{array}

(9)

η (t) = \sum_{i = 1}^{M} [\frac{H_{i}}{2} c o s [k_{i} (x - x_{0}) - 2 π f_{i} t + ε_{i}]]

式中: $H_{i} 、 T_{i} 、 f_{i} 、 k_{i} 、 ε_{i}$ 分别为第i个成分波的波高、周期、频率、波数和相位;h为水深;M为频率等分区间数,取值200; $x_{0}$ 为水池中出现满足特定群性波列位置的纵向坐标.

由入射波速度势(式(8))可求得数值水池入口边界上的流体速度,即式(4)的右端项,便能实现速度入口造波功能.为了减少水池末端波浪反射对造波精度的影响,分别在水池首、末两端设置前置和后置阻尼层,则自由面边界条件式(2)和(3)改写为

(10)

\frac{D η}{D t} = \frac{\partial ϕ}{\partial z} - \frac{\partial ϕ}{\partial x} \frac{\partial η}{\partial x} - \frac{\partial ϕ}{\partial y} \frac{\partial η}{\partial y} - b (x) (η - η_{e})

(11)

\begin{array}{l} \frac{D ϕ}{D t} = - g η - \frac{1}{2} Δ ϕ \cdot Δ ϕ + \\ \frac{\partial ϕ}{\partial z} (\frac{\partial ϕ}{\partial z} - \frac{\partial ϕ}{\partial x} \frac{\partial η}{\partial x} - \frac{\partial ϕ}{\partial y} \frac{\partial η}{\partial y}) - \\ b (x) (ϕ - ϕ_{e}) \end{array}

(12)$b(x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha_{1} \cos \frac{\pi\left(x-x_{1}\right)}{2 L_{1}}, & x_{1} \leq x \leq x_{1}+L_{1} \\0, & x_{1}+L_{1} x x_{2}-L_{2} \\\alpha_{2} \cos \frac{\pi\left(x_{2}-x\right)}{2 L_{2}}, & x_{2}-L_{2} \leq x \leq x_{2}\end{array}\right.$

式中: $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 分别为水池入口和末端位置的纵向坐标; $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 分别为前置和后置阻尼层长度; $α_{1}$ 和 $α_{2}$ 分别为前置和后置阻尼项缓冲函数系数;ϕ_e和η_e分别为速度势和波面升高的参考值.前置阻尼只允许入射波通过,ϕ_e和η_e分别取入射波速度势和波面升高的理论值(式(8)和(9));后置阻尼阻止任何波通过,ϕ_e和η_e取值均为0.

1.4 去奇异边界元法

流场内任意一点的速度势可用边界上分布的奇点积分来计算.采用Rankine源格林函数,则速度势的表达式为

(13)

\begin{matrix} ϕ (q, t) = \int \int_{S_{0}} σ (p, t) \frac{1}{r (p, q)} d S \end{matrix}

式中: $S_{0}$ 为流域边界; $q = (x_{q}, y_{q}, z_{q})$ 为场点坐标向量; $p = (x_{p}, y_{p}, z_{p})$ 为源点坐标向量;r为场点与源点的距离;σ为源强密度.将式(13)代入流域边界方程,采用面元法对积分方程进行离散,得到以源强密度为未知数的线性代数方程组:

(14)

\begin{matrix} [\begin{array}{l} \frac{x_{q_{1}} - x_{p_{1}}}{r^{3} [q_{1} p_{1}]} & … & \frac{x_{q_{1}} - x_{p_{N}}}{r^{3} [q_{1} p_{N}]} \\ ︙ & ︙ & ︙ \\ \frac{x_{q_{N_{I}}} - x_{p_{1}}}{r^{3} [q_{N_{I}} p_{1}]} & \dots & \frac{x_{q_{N_{I}}} - x_{p_{N}}}{r^{3} [q_{N_{I}} p_{N}]} \\ \frac{1}{r [q_{N_{I} + 1} p_{1}]} & \dots & \frac{1}{r [q_{N_{I} + 1} p_{N}]} \\ ︙ & ︙ & ︙ \\ \frac{1}{r [q_{N_{I} + N_{F}} p_{1}]} & \dots & \frac{1}{r [q_{N_{I} + N_{F}} p_{N}]} \\ \frac{n_{q_{N_{I} + N_{F} + 1}} \cdot [q_{N_{I} + N_{F} + 1} p_{1}]}{r^{3} [q_{N_{I} + N_{F} + 1} p_{1}]} & \dots & \frac{n_{q_{N_{I} + N_{F} + 1}} \cdot [q_{N_{I} + N_{F} + 1} p_{N}]}{r^{3} [q_{N_{I} + N_{F} + 1} p_{N}]} \\ ︙ & ︙ & ︙ \\ \frac{n_{q_{N}} \cdot [q_{N} p_{1}]}{r^{3} [q_{N} p_{1}]} & \dots & \frac{n_{q_{N}} \cdot [q_{N} p_{N}]}{r^{3} [q_{N} p_{N}]} \end{array}] [\begin{array}{l} σ_{1} \\ ︙ \\ σ_{N_{I}} \\ σ_{N_{I} + 1} \\ ︙ \\ σ_{N_{I} + N_{F}} \\ σ_{N_{I} + N_{F} + 1} \\ ︙ \\ σ_{N} \end{array}] = [\begin{array}{l} {(\frac{\partial ϕ_{i n}}{\partial x})}_{1} \\ ︙ \\ {(\frac{\partial ϕ_{i n}}{\partial x})}_{N_{I}} \\ (ϕ_{f s})_{N_{I} + 1} \\ ︙ \\ (φ_{f s})_{N_{I} + N_{F}} \\ 0_{N_{I} + N_{F} + 1} \\ ︙ \\ 0_{N} \end{array}] \end{matrix}

式中:N为边界上的面元总数,包括入口面、自由面、底面、侧面和末端面的面元数;N_I为入口面的面元数;N_F为自由面的面元数;[q p]表示q点与p点组成的向量;ϕ_in为入口面处的速度势,由式(8)求得;ϕ_fs为自由面处的速度势,由式(11)求得.当源点与场点距离过近时,式(14)奇异性增强,导致数值解精度下降.为了解决该问题,将源点布置在流域边界以外一定距离处,该距离称为去奇异距离(L_d),由下式确定^[21]:

(15)$L_{\mathrm{d}}=l_{\mathrm{d}}\left(D_{\mathrm{m}}\right)^{\beta}$

式中:l_d和β为常数,其大小会影响去奇异效果;D_m为面元的面积.

在每一个时间步内,采用四阶Adams-Bashforth-Moulton(ABM)预测-修正法求解自由面边界条件式(10)和(11),求得自由面升高和自由面上的速度势.为了提高自由面计算的稳定性,根据水池不同位置的波面抬升,采用三次样条插值法得到当前时间步的波面抬升函数表达式,波面抬升的空间导数通过对样条函数求导来获取,而速度势的空间导数通过对式(13)求导来获取.此外,每隔5个时间步,采用五点光顺法对自由面进行平滑处理以进一步提高计算稳定性.求得自由面位置、入口面和自由面上的速度势后,对式(14)系数矩阵进行更新.采用高斯消去法对式(14)进行求解,得到当前时刻面元上的源强密度.

1.5 不规则波群模拟实现

综合上述势流理论和不规则波群生成理论,在Visual Studio平台上采用C++语言编写相关代码,并在程序中调用OpenMP并行库以提高计算效率,实现势流波浪水池的不规则波群生成和传播模拟,数值计算流程如图2所示.

图2

图2 不规则波群数值模拟流程

Fig.2 Simulation procedure of irregular wave group

2 模型参数影响分析

不规则波群是具有特定群性的不规则波,故不规则波的有效模拟是准确模拟不规则波群的前提.本节针对不规则波模拟精度问题,依次分析模型参数(阻尼层参数、去奇异距离、源点分布和时间步长)对计算结果的影响,空间参数示意如图3所示.考虑到对波群模拟使用的波包谱公式(6)和(7)是由三至四级海况下实测波浪数据分析所得^[17],因此本节模型参数依赖性分析选择四级海况为测试工况,波浪有义波高(H_1/3)为2 m,有义周期(T_1/3)为7.02 s,平均波长(λ₀)为31 m.数值模拟缩尺比为1∶10,对应有义波高为0.2 m,有义周期为2.22 s,平均波长为3.1 m.数值波浪水池见图1,波浪沿x方向传播,水池沿x方向被划分为前置阻尼区、工作区和后置阻尼区3个区域,长度分别为 $L_{1} 、 3 λ_{0}$ 和 $L_{2}$ .水池宽度为0.5 m,水深为2.5 m.由于波浪为单向不规则波,故沿水池宽度方向仅布置3个面元.在水池工作区中点,设置一个波高监测点,并在静水面以下0.5 m处设置一个流速监测点.参照其他学者关于模型参数讨论分析^[10-11],本文模型参数取值讨论范围如表1所列.在对某一参数进行分析时,仅改变该参数的取值,其他参数均取默认值:前置阻尼层长度 $L_{1} = 3 λ_{0}$ ,后置阻尼层长度 $L_{2} = 4 λ_{0}$ ,阻尼层缓冲函数系数 $α_{1} = α_{2} = 4, β = 0.3, l_{d} = 1,$ 源点分布深度 $d = λ_{0} / 10$ ,垂直方向源点数 $n_{z} = 8$ ,单个平均波长范围内源点数 $n_{x} = 20$ ,时间步长 $Δ t = T_{0} / 200 .$ 需要说明,这些默认值实质为下文参数依赖性分析所得最终值.将不同模型参数计算得到的监测点处波高时历进行统计,按照上跨零点法^[22]得到波列的有义波高和有义周期汇总于表1.

图3

图3 数值波浪水池模型布置示意图

Fig.3 Schematic layout of numerical wave tank

表1 不同模型参数下波浪参数误差对比

Tab.1 Comparison of errors for wave parameter with different model parameters

参数	取值	H_1/3/m			T_1/3/s
参数	取值	目标值	计算值	相对误差/%	目标值	计算值	相对误差/%
L₁	λ₀	0.2	0.197	-1.5	2.22	2.258	1.7
	2λ₀	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.253	1.5
	3λ₀	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.223	0.1
L₂	λ₀	0.2	0.203	1.5	2.22	2.248	1.2
	2λ₀	0.2	0.201	0.5	2.22	2.224	0.2
	4λ₀	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.223	0.1
α₁	2	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.214	-0.3
	3	0.2	0.200	0.0	2.22	2.213	-0.4
	4	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.223	0.1
	5	0.2	0.200	0.0	2.22	2.205	-0.7
	6	0.2	0.200	0.0	2.22	2.239	0.8
α₂	2	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.233	0.6
	3	0.2	0.200	0.0	2.22	2.230	0.4
	4	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.223	0.1
	5	0.2	0.201	0.5	2.22	2.210	-0.5
	6	0.2	0.200	0.0	2.22	2.214	-0.3
β	0.1	0.2	0.198	-1.0	2.22	2.228	0.4
	0.2	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.235	0.6
	0.3	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.223	0.1
	0.4	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.233	0.6
	0.5	0.2	0.192	-4.0	2.22	2.249	1.3
l_d	0.5	0.2	0.198	-1.0	2.22	2.252	1.4
	0.6	0.2	0.198	-1.0	2.22	2.241	0.9
	0.7	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.243	1.0
	0.8	0.2	0.200	0.0	2.22	2.240	0.9
	0.9	0.2	0.200	0.0	2.22	2.243	1.0
	1.0	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.223	0.1
d	λ₀/20	0.2	0.177	-11.5	2.22	2.219	-0.1
	λ₀/10	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.223	0.1
	λ₀/5	0.2	0.198	-1.0	2.22	2.222	0.1
n_x×n_z	20×4	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.200	-0.9
	20×6	0.2	0.200	0.0	2.22	2.236	0.7
	20×8	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.223	0.1
	15×8	0.2	0.191	-4.5	2.22	2.275	2.5
	25×8	0.2	0.204	2.0	2.22	2.193	-1.2
Δt	T₀/100	0.2	0.191	-4.5	2.22	2.036	-8.3
	T₀/150	0.2	0.204	2.0	2.22	2.163	-2.6
	T₀/200	0.2	0.199	-0.5	2.22	2.223	0.1

$L_{1}$ 和 $α_{1}$ 影响波浪传播达到稳定状态的时长,而 $L_{2}$ 和 $α_{2}$ 体现在抑制水池末端的波浪反射效果.当 $L_{1} = 3 λ_{0}$ 时,有义波高和周期相对误差分别为-0.5%和0.1%.随着L₁缩短, 波浪参数计算误差增大.与 $L_{1} = λ_{0}, 2 λ_{0}$ 情况相比, $L_{1} = 3 λ_{0}$ 时计算波面趋近目标值所需时间更短.当 $L_{2} = λ_{0}$ 时,水池末端的波浪未被完全消除造成波浪反射,有义波高和平均周期的计算误差均大于1%.当后置阻尼层长度为 $2 λ_{0} 和 4 λ_{0}$ 时,对应有义波高和周期的计算误差均在1%以内.当 $L_{2} = 2 λ_{0}$ 时,水池末端处的最大波幅约为工作区最大波幅的6%;当 $L_{2} = 4 λ_{0}$ 时,水池末端处的波面升高几乎为0.结果表明,水池后置阻尼层长度越长,消波效果越明显.当阻尼项缓冲函数系数 $α_{1} 和 α_{2}$ 取2~6时,计算得到的有义波高和周期的误差均在1%以内,说明参数 $α_{1}$ 和 $α_{2}$ 对波浪的传播精度影响不大.基于以上分析, $L_{1} 、 L_{1} 、 α_{1}$ 和 $α_{2}$ 可取为 $3 λ_{0} 、 4 λ_{0} 、 4$ 和4.

源点外移距离会影响数值求解的稳定性,而源点外移距离由去奇异距离参数β和l_d共同决定(见式(15)).当β=0.1~0.4时,有义波高和平均周期计算误差均低于1%;其中β=0.3时,有义波高和平均周期误差相对较小,分别为-0.5%和0.1%.当β=0.5 时,源点与配置点距离较近,方程奇异性增强导致计算误差增大.当β>0.5时,源点与配置点过于接近导致方程奇异性过大,计算无法进行.当l_d<0.5时,源点与配置点之间距离太近,奇异性增强导致计算无法进行.当l_d=0.5,0.6时,源点与配置点之间距离减小,有义波高和平均周期计算误差有所增加.分析表明,β和l_d分别取0.3和1能保证波浪模拟精度和稳定性.

越深位置处的流场所受波浪扰动越小,故水池垂直边界面(入口面、侧壁面和末端面)的源点可仅布置在离水面一定深度(d)的区域,以提高计算效率.对于有义波高误差,当d=λ₀/20时,源点在垂直方向上的分布范围过小,导致计算误差超过10%.在源点分布密度相同情况下,源点分布范围增大,对应有义波高误差能降至2%以内.当d=λ₀/10时,计算得到的有义波高误差约为-0.5%,有义周期计算误差为0.1%.随着d进一步增加,计算精度变化不大,故d=λ₀/10便能满足精度要求.

$n_{z} 、 n_{x}$ 和 $Δ t$ 会影响波浪模拟精度、效率和稳定性.在 $d = λ_{0} / 10$ 情况下, $n_{z} = 4 ~ 8$ 时计算得到的有义波高和周期的最大误差分别为1.0%和0.5%.与n_x=20,25的情况相比,当n_x=15时的有义波高和平均周期计算误差较大,分别为-4.5%和2.5%.当n_x=20时,有义波高误差和平均周期误差均小于1%.当n_x>25时,源点间的水平距离过小导致积分方程奇异性增强,计算无法进行.对于时间步长分析,相比Δt=T₀/150,T₀/200,Δt=T₀/100得到的有义波高和平均周期计算误差较大,分别为4.5%和8.3%.随着Δt减小,计算误差逐渐缩小.当Δt=T₀/200时,有义波高和平均周期计算误差分别为-0.5% 和0.1%.综合考虑计算精度和稳定性, $n_{z} 、 n_{x} 和 Δ t$ 合理取值分别为8、20和T₀/200.

基于上述分析结果,不规则波浪水池模型参数最终选择如下: $L_{1} = 3 λ_{0}, L_{2} = 4 λ_{0}, α_{1} = 4, α_{2} = 4, β = 0.3, l_{d} = 1, d = λ_{0} / 10, n_{z} = 8, n_{x} = 20, Δ t = T_{0} / 200$ .图4~7分别给出该组模型参数计算得到的波高时历、流场速度时历、海浪谱与理论值的比较.对于波高和流速时历对比,在初始15 s内,波浪尚未完全发展,计算时历与理论结果相差较大;在15 s后,波浪传播逐渐趋于稳定,波高和流速时历计算值除了在峰、谷附近与理论值有所偏差外,总体上与理论值吻合良好.波高时历计算值和理论值之间的均方根误差为0.023 m,两者相关系数为0.81,基本属于强相关.取稳定后的时历数据进行统计,有义波高和周期分别为0.199 m和2.223 s,误差分别为-0.5%和0.1%.本研究采用自相关函数法估算海浪谱值,在主要能量分布频率范围内计算谱与理论谱吻合良好,在低频和高频区域计算谱出现振荡.研究发现,随着成分波个数(式(8)中的M)增加,低频和高频段海浪谱会变得光滑,但模拟耗时会增加.考虑到计算效率,本文选取成分波个数为200,从波浪场时历和波浪统计特性来看,已满足工程应用中的不规则波模拟精度的需求.上述结果表明,本研究所建立的数值水池及其参数设置能有效模拟不规则波的生成和传播.

图4

图4 波高时历计算值与理论值对比

Fig.4 Comparison of calculated and theoretical values of time series of wave elevations

图5

图5 纵向流速时历计算值与理论值对比

Fig.5 Comparison of calculated and theoretical values of time series of longitudinal velocities of flow

图6

图6 垂向流速时历计算值与理论值对比

Fig.6 Comparison of calculated and theoretical values of time series of vertical velocities of flow

图7

图7 海浪谱计算值与理论目标值对比

Fig.7 Comparison of calculated and theoretical target values of wave spectrums

3 不规则波群模拟验证

为了验证所建立的数值水池模拟单向不规则波群的有效性,采用物理水池试验工况^[23]作为测试算例,数值水池模型参数与上节论证得到的参数一致.波浪的H_1/3=0.07 m,T_1/3=1.5 s.模拟3组波群传播,群性如下:① G_FH=0.6,G_LF=15;② G_FH=0.7,G_LF=15;③ G_FH=0.8,G_LF=15.目标波群出现位置选在数值水池工作区中点处,并在该处设置一个波高监测点.

图8给出了3组波群成分波相位随频率分布.图9~11给出了数值模拟得到的3组波群的波高时历.随着G_FH增大,波面起伏程度变大,表现为包络线波动幅度增大.表2给出了3组波群波高时历计算值与理论值之间误差和相关性统计,其中均方根误差约为8 mm,相关系数接近0.8.对波高时历进行分析得到波浪特征参数和群性参数,并与物理试验结果和理论目标值进行比较,结果列于表3和表4.在波浪要素相同情况下,随着群高参数增大,物理试验测得的有义波高和有义周期与目标值偏差较大.数值模拟得到的波浪特征值随群性变化波动较小,有义波高计算值低于目标值,最大误差约为 -7%;有义周期计算值与目标值吻合良好,最大误差约为4%.对于波浪群性,计算值与目标值基本吻合,群高和群长参数最大误差分别约为7%和6%,误差范围与试验结果相近.G_FH由波包线的方差和均值两者比值决定^[17],图12给出了数值模拟不规则波群波包线与理论波包线对比,发现数值模拟的波包线与理论值在整体趋势上吻合,但在波峰和波谷位置存在局部偏差,这造成计算所得群高参数与目标值出现较大误差.

图8

图8 不规则波群成分波相位随频率分布

Fig.8 Phases of irregular wave group components with different frequencies

图9

图9 不规则波群波高时历计算值(G_FH=0.6,G_LF=15)

Fig.9 Time series of calculated wave elevation of irregular wave group (G_FH=0.6, G_LF=15)

图10

图10 不规则波群波高时历计算值(G_FH=0.7,G_LF=15)

Fig.10 Time series of calculated wave elevation of irregular wave group (G_FH=0.7, G_LF=15)

图11

图11 不规则波群波高时历计算值(G_FH=0.8,G_LF=15)

Fig.11 Time series of calculated wave elevation of irregular wave group (G_FH=0.8, G_LF=15)

表2 波群波高时历计算和理论结果的误差和相关性统计

Tab.2 Errors and correlation statistics of height calculation and theoretical results of wave group

工况	群性参数	均方根误差/mm	相关系数
1	G_FH=0.6,G_LF=15	8.5	0.77
2	G_FH=0.7,G_LF=15	8.3	0.78
3	G_FH=0.8,G_LF=15	8.0	0.79

表3 波浪特征参数的数值计算、物理试验和目标值对比

Tab.3 Comparison of calculated, experimental, and target values of wave characteristic parameters

工况	H_1/3/mm			T_1/3/s
工况	目标	物理试验	数值计算	目标	物理试验	数值计算
1	70	71 (1.4%)	69 (-1.4%)	1.5	1.562 (4.1%)	1.563 (4.2%)
2	70	79 (12.9%)	65 (-7.1%)	1.5	1.574 (4.9%)	1.514 (0.9%)
3	70	85 (21.4%)	68 (-2.9%)	1.5	1.655 (10.3%)	1.491 (-0.6%)

表4 波浪群性参数的数值计算、物理试验和目标值对比

Tab.4 Comparison of calculated, experimental, and target values of wave group parameters

工况	G_FH			G_LF
工况	目标	物理试验	数值计算	目标	物理试验	数值计算
1	0.6	0.65 (8.3%)	0.64 (6.7%)	15	15.20 (1.3%)	15.87 (5.8%)
2	0.7	0.73 (4.3%)	0.71 (1.4%)	15	15.14 (0.9%)	15.02 (0.1%)
3	0.8	0.81 (1.3%)	0.82 (2.5%)	15	16.60 (10.7%)	14.28 (-4.8%)

图12

图12 数值模拟不规则波群波包线与理论波包线对比(G_FH=0.6,G_LF=15)

Fig.12 Comparison of calculated and theoretical wave envelopes (G_FH=0.6, G_LF=15)

图13~15给出了数值模拟、物理试验和理论生成得到的3组波群的海浪谱和波包谱对比.海浪谱主要能量分布在0.5~1 Hz,该频率范围内计算值和试验值与理论值基本吻合.在波包谱主能量频段范围内(0~0.5 Hz),波包谱的计算值与试验值和理论值基本吻合.可以观察到,波包谱的谱峰频率很低(约为0.04 Hz),而海浪谱的谱峰频率较高(约为0.62 Hz),由式(7)可知G_LF的误差对波包谱的谱峰频率十分敏感.成分波的频率间隔难以同时兼顾波包谱和海浪谱的能量分布,仅在0~2 Hz区间内采用等分频率法,这造成波包谱峰频附近的频率间隔偏大,导致数值模拟得到的波包谱峰值偏小,使得G_LF的误差偏大.

图13

图13 数值计算、物理试验和理论目标谱对比(G_FH=0.6,G_LF=15)

Fig.13 Comparison of calculated, experimental, and target spectrum (G_FH=0.6, G_LF=15)

图14

图14 数值计算、物理试验和理论目标谱对比(G_FH=0.7,G_LF=15)

Fig.14 Comparison of calculated, experimental, and target spectrum (G_FH=0.7, G_LF=15)

图15

图15 数值计算、物理试验和理论目标谱对比(G_FH=0.8,G_LF=15)

Fig.15 Comparison of calculated, experimental, and target spectrum (G_FH=0.8, G_LF=15)

总体来说,本研究方法对不规则波群特征参数计算误差为1%~7%,每组工况计算耗时约为 10 h.若采用黏性计算流体力学(computational fluid dynamics,CFD)方法对相同工况进行模拟^[18],波浪特征参数计算误差为3%~13%,每组工况计算耗时约为85 h.与黏性CFD方法相比,本研究方法在计算精度和效率上展示出较大的优势.上述分析表明,本研究开发的数值水池能生成符合指定波浪要素和群性特征的单向不规则波.

4 结论

(1) 开发了基于半混合欧拉-拉格朗日自由面追踪方法和去奇异边界元法的数值波浪水池,用于不规则波群的生成和传播模拟.结合不规则波群理论生成方法,在水池入口面给定流速分布实现波群的生成.在首、末端区域设置人工阻尼层抑制波浪反射,改善波浪模拟精度.采用四阶ABM预测-修正法更新自由面,并采用三次样条插值法和五点光顺法对自由面进行平滑处理,以提高数值计算稳定性.

(2) 以四级海况不规则波作为测试工况,分析了计算模型参数对波浪模拟精度、稳定性和效率的影响,给出了不规则波模拟的模型参数建议值.随着前置和后置阻尼层长度的增加,波浪模拟精度逐渐提高,而阻尼项缓冲函数系数对求解精度影响不大;当前置和后置阻尼层长度分别取平均波长的3倍和4倍时,可兼顾波浪模拟精度和效率.适当的源点外移距离能改善波浪传播的稳定性,而去奇异距离过小会导致计算失效,去奇异距离参数β和l_d分别在[0.1,0.4]和[0.5,1.0]区间内选取时能保证计算精度.将源点布置在距离自由面一定深度的区域内能够兼顾计算精度和效率,而水深方向源点数的增加对精度提升有限.单个平均波长范围内源点数适当增加可提高波浪模拟精度,但源点数过多会使奇异性增大导致计算失效.波浪计算精度随计算时间步长减小而提高.建议沿水深方向离静水面1/10平均波长范围内布置8个源点,沿波长方向单位平均波长范围内布置20个源点,时间步长取波浪平均周期的1/200.

(3) 采用比选后的模型参数模拟了3组单向不规则波群,在海浪谱和波包谱主要能量频段范围内,计算谱、试验谱和目标谱基本吻合.与目标值相比,有义波高、有义周期、群高和群长参数计算误差均在7%以内.研究表明,所开发的数值水池能生成符合指定波浪要素和群性特征的单向不规则波.

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