楔形物作用下加筋板结构的耐撞性

图1 矩形板的变形模式

Fig.1 Deformation mode of rectangular plate

考虑楔形加载头与矩形板接触部分的形状,可视矩形板受到线载荷偏心压载作用.假设在加载头压载过程中,矩形板与楔形加载头接触的部分是固定不变的,同时将楔形加载头视为刚性.因此,直角坐标系中第一象限的板可被楔形加载头与矩形板顶点的斜连线划分为两部分,即区域①和区域②.其他象限同理,则可将整个矩形板分为8个部分.分别推导矩形板8个部分的变形抗力与最大横向变形之间的关系式,随后根据文献[13]中的叠加原理对矩形板8个部分的结果进行线性叠加,即可得到矩形板受楔形加载头偏心垂向作用的整体变形抗力与最大横向变形之间的关系曲线.

将变形后的区域①置于以O₁为原点,ρ、β、w为坐标轴的柱坐标系中进行分析计算,如图2所示^[9].

图2

图2 矩形板区域①变形图^[9] (经许可改编)

Fig.2 Deformation diagram of Area ① of rectangular plate^[9] (adapted with permission)

本文假设矩形板受压载形成的塑性绞线的变形模式为直线形式,以区域①两侧边延长线的交点O₁为坐标原点,建立xO₁y直角坐标系,则在区域①中任意转角β下的线O₁O₃的变形表达式可以写为

(1)w=c₁ρ+c₂, ρ_min≤ρ≤ρ_max

式中:c₁和c₂为待定系数.

由几何关系可知:

(2)ρ_min=r/cos β, ρ_max=(m₁+r)/cos β

(3)r=

\frac{a m_{1}}{l_{1} - a}

式中:r为线O₁O₂的长度.因此,可以由边界条件确定c₁和c₂,整理后得到板的变形表达式为

(4)

\begin{array}{l} w = \frac{- w_{m a x} c o s β}{m_{1}} ρ + \frac{(m_{1} + r) w_{m a x}}{m_{1}} \\ ρ_{m i n} \leq ρ \leq ρ_{m a x} \end{array}\}

矩形板在变形过程中的主要通过膜拉伸作用进行能量耗散,因此考虑板的膜拉伸作用,拉伸应变ε_p可由公式ε_p= $\frac{\partial u}{\partial ρ}$ + $\frac{1}{2} {(\frac{\partial w}{\partial ρ})}^{2}$ 得到,其中u为板的面内位移,忽略板的面内位移对受侧向垂直压载所产生的面外大变形的影响,则可以得到板的拉伸应变ε_p、平均应变ε_av_,_p及应变率 ${\overset{\cdot}{ε}}_{a v, p}$ 分别为

(5)ε_p≈

\frac{1}{2} {(\frac{d w}{d ρ})}^{2}

\frac{1}{2} \frac{w_{m a x}^{2} c o s^{2} β}{m_{1}^{2}}

(6)ε_av_,_p=

\frac{w_{m a x}^{2}}{2 m_{1} \sqrt{{(l}_{1} {- a)}^{2} + m_{1}}}

(7)

{\overset{\cdot}{ε}}_{a v, p}

\frac{w_{m a x}}{m_{1} \sqrt{{(l}_{1} {- a)}^{2} + m_{1}}} {\overset{\cdot}{w}}_{m a x}

故区域①的矩形板在变形过程中的膜拉伸能量率 ${\overset{\cdot}{E}}_{1 m}$ 为

(8)

{\overset{\cdot}{E}}_{1 m}

\int \int_{S_{1}}

σ_0,_pt_p

{\overset{\cdot}{ε}}_{a v, p}

dS₁

式中:σ_0,p为板的塑性流动应力,σ_{0, p}= $\frac{σ_{y, p} + σ_{u, p}}{2}$ ,σ_y,p为板的屈服强度,σ_u,p为板的抗拉强度^[14];t_p为板的初始厚度;S₁为区域①的初始面积.

根据上限定理,外力功的功率与结构变形能量耗散率相等,则有:

(9)P₁

{\overset{\cdot}{w}}_{m a x}

{\overset{\cdot}{E}}_{1 m}

式中:P₁为①区域处的矩形板的变形抗力.

将各表达式代入式(9),整理后可以得到区域①的变形抗力P₁与最大横向位移w_max的关系如下:

(10)P₁=w_maxσ_0,_pt_p

\frac{l_{1} + a}{2 \sqrt{{(l}_{1} {- a)}^{2} + m_{1}^{2}}}

同理,可以得到矩形板的区域②至区域⑧所对应的变形抗力与最大横向位移的关系式如下:

(11)P₂=w_maxσ_0,_pt_p

\frac{m_{1}}{2 \sqrt{{(l}_{1} {- a)}^{2} + m_{1}^{2}}}

(12)P₃=w_maxσ_0,_pt_p

\frac{m_{2}}{2 \sqrt{{(l}_{1} {- a)}^{2} + m_{2}^{2}}}

(13)P₄=w_maxσ_0,_pt_p

\frac{l_{1} + a}{2 \sqrt{{(l}_{1} {- a)}^{2} + m_{2}^{2}}}

(14)P₅=w_maxσ_0,_pt_p

\frac{l_{2} + a}{2 \sqrt{{(l}_{2} {- a)}^{2} + m_{2}^{2}}}

(15)P₆=w_maxσ_0,_pt_p

\frac{m_{2}}{2 \sqrt{{(l}_{2} {- a)}^{2} + m_{2}^{2}}}

(16)P₇=w_maxσ_0,_pt_p

\frac{m_{1}}{2 \sqrt{{(l}_{2} {- a)}^{2} + m_{1}^{2}}}

(17)P₈=w_maxσ_0,_pt_p

\frac{l_{2} + a}{2 \sqrt{{(l}_{2} {- a)}^{2} + m_{1}^{2}}}

矩形板在楔形加载头偏心准静态压载作用下的整体变形抗力P可以通过线性叠加各区域的变形抗力得到,其表达式为

(18)P=

\overset{8}{\sum_{i = 1}}

P_i

1.2 骨材在楔形物作用下的简化解析方法

进一步讨论骨材在楔形物作用下的简化解析方法.骨材的跨长为2l_s,骨材的高度为h_s,厚度为t_s.在其跨长方向任意位置受到楔形加载头作用.在已有的关于球形物或抛物面物体作用于骨材的简化解析计算中,将骨材等效为刚塑性梁进行分析^[3-4].因此,本文将受楔形加载头压载作用的骨材简化为刚塑性梁,视楔形加载头为刚性,基于前文提出的假定,对线载荷作用下刚塑性梁的变形损伤进行简化解析计算.固支刚塑性梁的变形模式如图3所示.图中:以加载头尖端中点为原点建立xOw直角坐标系;l_s为骨材的半长;l_1,s、l_2,s为骨材被加载头中线分开的两侧长度;γ、η分别为骨材第1、2部分的转角.

图3

图3 刚塑性梁变形模式

Fig.3 Deformation mode of rigid-plastic beam

在楔形加载头压载作用下,梁会同时承受拉伸作用和弯曲作用.与矩形板的分析类似,由楔形加载头中轴线将梁分为两个部分,分别推导梁各个部分在楔形加载头偏心压载作用下的变形抗力后线性叠加即可得到梁的整体变形抗力.梁在进入塑性阶段之后,假设其变形模式为:在梁与楔形加载头接触区域(0≤x≤a),梁的上表面紧贴加载头,未发生变形;在梁与楔形加载头非接触区域产生拉伸作用(-l_2,s≤x≤-a, a≤x≤l_1,s),采用直线形式进行简化,弯曲作用集中在梁的端部及与楔形加载头的交界处,用阴影表示.此外,文献[13]中研究表明梁在受压载过程中会发生不同程度的侧偏,但侧偏程度大小对变形抗力的影响不大,因此,为了简化分析,假设梁在大变形过程中不发生侧偏.

将梁置于xOw直角坐标系中.梁在有限变形过程中第1部分端部的转角γ可表示为

(19)tan γ=

\frac{w_{m a x}}{l_{1, s} - a}

则可以得到梁的角速度 $\overset{\cdot}{γ}$ 为

(20)

\overset{\cdot}{γ}

\frac{1}{(1 + t a n^{2} γ) (l_{1, s} - a)} {\overset{\cdot}{w}}_{m a x}

那么,第1部分梁的弯曲能量率 ${\overset{\cdot}{E}}_{1 b, s}$ 可表示为

(21)

{\overset{\cdot}{E}}_{1 b, s}

=σ_0,_st_s

h_{s}^{2} \overset{\cdot}{γ}

式中:σ_0,s是梁的塑性流动应力,σ_0,s= $\frac{σ_{y, s} + σ_{u, s}}{2}$ ,σ_y,s为骨材的屈服强度,σ_u,s为骨材的抗拉强度.

梁的拉伸应变ε_1,s和拉伸应变率 ${\overset{\cdot}{ε}}_{1, s}$ 可分别表示为

(22)ε_1,_s=

\frac{1}{2}

tan²γ

(23)

{\overset{\cdot}{ε}}_{1, s}

=tan γ

\frac{{\overset{\cdot}{w}}_{m a x}}{l_{1, s} - a}

第1部分梁的膜拉伸能量率 ${\overset{\cdot}{E}}_{1 m, s}$ 可以表示为

(24)

{\overset{\cdot}{E}}_{1 m, s}

\int \int_{S_{1, s}}

σ_0,_st_s

{\overset{\cdot}{ε}}_{1, s}

dS_1,_s

式中:S_1,s是梁第1部分受到拉伸作用的面积,S_1,s=xh_s.

根据上限定理,外力功的功率与结构的应变能量耗散率相等,则有:

(25)F₁

{\overset{\cdot}{w}}_{m a x}

{\overset{\cdot}{E}}_{1 b, s}

{\overset{\cdot}{E}}_{1 m, s}

式中:F₁为第1部分梁的变形抗力.

结合式(21)及式(24),可以得到第1部分梁的变形抗力与最大横向位移的关系表达式为

(26)F₁=

\frac{σ_{0, s} h_{s} t_{s}}{l_{1, s} - a} (\frac{h_{s}}{1 + t a n^{2} γ} + w_{m a x})

第2部分梁的变形抗力与第1部分梁的求解过程相同,因此可以得到第2部分梁的转角和变形抗力F₂与最大横向变形之间的关系式为

(27)tan η=

\frac{w_{m a x}}{l_{2, s} - a}

(28)F₂=

\frac{σ_{0, s} h_{s} t_{s}}{l_{2, s} - a} (\frac{h_{s}}{1 + t a n^{2} η} + w_{m a x})

那么,刚塑性梁在楔形加载头偏心准静态压载作用下的整体变形抗力F为

(29)F=

\frac{σ_{0, s} h_{s} t_{s}}{l_{1, s} - a} (\frac{h_{s}}{1 + t a n^{2} γ} + w_{m a x})

\frac{σ_{0, s} h_{s} t_{s}}{l_{2, s} - a} (\frac{h_{s}}{1 + t a n^{2} η} + w_{m a x})

2 简化解析方法的验证与结果分析

2.1 仿真技术与试验结果对比

本文采用非线性有限元软件Abaqus进行有限元仿真计算,采用S4R壳单元进行建模,采用显示动力学方法进行准静态压载计算.

在进行有限元仿真计算分析前,为了验证本文所使用的非线性有限元技术及计算的准确性,根据已有的外壳光板受球形加载头准静态压载试验^[15]进行了有限元仿真模拟.有限元仿真模拟中使用的矩形板尺寸(2l×2m)为600 mm×600 mm,厚度为3.15 mm,球形加载头半径为75 mm.有限元仿真模拟中采用的网格尺寸划分为3 mm,约束矩形板四周节点6个方向的自由度,即边界条件为四周刚性固定,整体模型设置全局接触,静摩擦因数设定为0.3,失效应变为0.6,压载至模型发生断裂破坏.为使有限元模拟更接近真实情况且更好地验证解析解,本文选取文献[15]中得到的材料真实应力应变关系作为有限元模拟的输入条件,其表达式为

(30)σ_eq=

\{\begin{array}{l} σ_{y}, & ε_{e q} \leq ε_{p l a t} \\ k ε_{e q}^{n}, & 其 他 \end{array}

式中:σ_eq和ε_eq分别为材料的等效应力和等效应变;σ_y是材料的屈服应力;ε_plat是材料屈服阶段结束时的应变值;k是材料的强化系数;n是材料的应变硬化指数.那么,本文有限元模拟中输入的材料力学性能参数如下:弹性模量E=207 GPa,σ_y=302.8 MPa,抗拉强度σ_u=408.4 MPa,断裂应变ε_f=0.306,ε_plat=0.019 2,k=690.2 MPa,n=0.2.

外壳光板受球形加载头作用的抵抗力-加载位移曲线如图4所示.曲线峰值处,即结构失去承载能力时,有限元模拟结果与文献中试验结果的误差为2.48%,曲线整体吻合良好.因此,本文采用的有限元仿真模拟方法用于后续的仿真模拟计算是适合且合理的.

图4

图4 球形加载头作用下变形抗力-加载位移曲线

Fig.4 Resistance-penetration curves under sphere impact

2.2 简化解析公式的验证

本文采用的矩形板、单筋加筋板及楔形加载头的结构尺寸如图5所示.矩形板的尺寸为 600 mm×400 mm,板材厚度为3 mm.单筋加筋板的尺寸为600 mm×400 mm,加强筋的长度为600 mm,高度为40、60和80 mm,材料厚度分别为2、3和4 mm.楔形加载头的长度为80、160和240 mm,夹角为50°.本文选取的模型尺寸参考文献[9],材料的力学性能参数与前文相同.

图5

图5 模型结构示意图

Fig.5 Schematic diagram of model structure

本文共设计12组有限元仿真模拟计算工况,其中矩形板4组,单筋加筋板8组.具体的工况设计如表1所示,具体的压载位置如图6所示.在进行有限元模拟时,所有工况中加载头的长边均平行于矩形板的长边方向,且加载头中轴线与压载位置重合.A2和B2两组工况的有限元模型如图7所示.

表1 有限元模拟工况设计

Tab.1 Design of working condition of finite element simulation

工况	模型尺寸				撞击位置
工况	2l×2m/ (mm×mm)	2a/mm	2l_s×h_s/ (mm×mm)	t_s/mm	撞击位置
A1	600×400	80	—	—	1
A2	600×400	160	—	—	1
A3	600×400	240	—	—	1
AD2	600×400	160	—	—	2
B1	600×400	80	600×60	3	3
B2	600×400	160	600×60	3	3
B3	600×400	240	600×60	3	3
BD2	600×400	160	600×60	3	4
C1	600×400	160	600×40	3	3
C2	600×400	160	600×80	3	3
D1	600×400	160	600×60	2	3
D2	600×400	160	600×60	4	3

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图6

图6 压载位置示意图(mm)

Fig.6 Schematic diagram of impact location (mm)

图7

图7 有限元模型

Fig.7 Finite element model

2.3 结果对比与分析

由式(18)计算矩形板不同区域的变形抗力并进行叠加得到整个矩形板模型的抵抗力-加载位移曲线,如图8所示,为了方便比较分析,图中也给出了相应的工况通过有限元仿真计算得到的抵抗力-加载位移曲线.

图8

图8 矩形板模型抵抗力-加载位移曲线

Fig.8 Resistance-penetration curves of rectangular plate models

在船舶低速碰撞分析中,加筋板结构受准静态压载变形损伤主要通过板中面内的膜力和骨材截面的轴力进行能量耗散,为简化计算,将矩形板与骨材视为单独作用,忽略其中弯矩与剪力的相互传递.因此,在矩形板不同区域的变形抗力计算结果的基础上,根据式(29)计算加强筋不同部分的变形抗力并与矩形板的变形抗力结果叠加得到整个单筋加筋板的抵抗力-加载位移曲线,如图9所示,为了方便比较分析,图中也给出了相应的工况通过有限元仿真计算得到的抵抗力-加载位移曲线.

图9

图9 单筋加筋板模型抵抗力-加载位移曲线

Fig.9 Resistance-penetration curves of single-reinforced.pngfened plate models

矩形板及单筋加筋板结构在楔形加载头作用下失去承载能力时的数据与简化解析方法计算得到的变形抗力结果如表2所示.

表2 有限元模拟与理论计算结果

Tab.2 Summary of finite element simulation results and the calculation results of simplified analysis method

模型编号	结构失效时数据		解析计算变形抗力/kN	误差/%
模型编号	加载位移/mm	抵抗力/kN	解析计算变形抗力/kN	误差/%
A1	53.5	151.4	187.5	23.8
A2	66.1	234.8	274.6	17.0
A3	69.3	304.2	340.1	11.8
AD2	56.4	211.8	233.1	10.1
B1	61.9	227.1	275.3	21.2
B2	67.5	303.2	351.5	15.9
B3	73.6	403.5	449.9	11.5
BD2	58.8	276.8	317.8	14.8
C1	71.9	299.0	340.7	13.9
C2	67.0	326.1	386.2	18.4
D1	66.5	276.1	318.7	15.4
D2	69.8	359.9	380.8	5.8

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据图8中矩形板的简化解析计算结果与有限元模拟结果对比可知,4种工况下的简化解析计算结果与有限元模拟结果趋势相同且误差较小,说明本文提出的简化解析方法能较好地预报矩形板受楔形加载头对心或偏心垂向作用的变形抗力.分析矩形板受楔形加载头作用下的抵抗力-加载位移曲线可以发现,其在初始阶段斜率较小,上升较缓,这是因为此阶段矩形板主要在楔形加载头尖端附近产生变形,即以局部变形为主;之后,抵抗力曲线斜率迅速增大,表明矩形板发生整体变形;同时矩形板发生整体变形时对应的有限元模拟结果曲线与简化解析方法计算结果曲线几乎平行,说明在前文推导中只考虑矩形板整体变形的假设是合理的.

单筋加筋板模型有限元仿真变形如图10所示.据图9中单筋加筋板的简化解析计算结果与有限元模拟结果对比可知,8种工况下的简化解析计算结果与有限元模拟结果趋势相同且误差较小,说明本文提出的简化解析方法能较好地预报骨材受楔形加载头对心或偏心垂向作用的变形抗力.分析单筋加筋板受楔形加载头作用下的抵抗力-加载位移曲线可以发现,其在初始阶段上升速度比后期快,究其原因,考虑为加强筋的屈曲变形导致,且屈曲变形主要集中在加强筋的端部固支处,单筋加筋板初始阶段的变形图可证实上述分析,如图10(a)所示;之后,抵抗力曲线上升速度降低,表明此阶段加强筋在楔形加载头作用下随矩形板主要发生整体大变形,如图10(b)所示.此外,图10(b)中可以看出此时加强筋端部翘曲变形较初始阶段明显,但中部并未发生明显的侧偏,说明在简化解析方法的推导中假设其在大变形过程中不发生侧偏是合理的.

图10

图10 单筋加筋板模型有限元仿真变形

Fig.10 Deformation of finite element simulation of single-reinforced.pngfened plate model

由表2可知,当加载头长度2a=80 mm时,简化解析方法与有限元模拟结果的计算误差超过20%;随着加载头长度的增加,简化解析方法与有限元模拟结果的计算误差减小.对矩形板的变形情况进行分析,本文针对矩形板不同区域均采用线性函数作为其变形产生的塑性铰线的理论表达,以此来保证变形的连续性,而矩形板的真实变形可由文献[9]中矩形板试验模型的真实变形三维扫描图表明,如图11所示,图中可以看出区域①、区域④、区域⑤及区域⑧的变形曲率较小,与假定的直线变形模式接近,区域②、区域③、区域⑥及区域⑦的变形曲率较大,并且越靠近加载头处变形梯度越大,与假定的变形模式存在误差.随着加载头长度的增加,矩形板中变形曲率较大的区域随之减少,故使得误差有所降低.此外,随着加载头长度的增加,变形区域更加靠近边界,有限元模拟中固支边界对周围单元的约束会使抗力稍有提升,对误差的减小也会造成一定的影响.另外,本文的简化解析方法采用塑性流动应力进行计算,便于实际工程应用,但未考虑结构在变形时的变形量对应力的影响,这是导致简化解析结果比有限元模拟结果大的原因.通过比较表2中模型B2与C1、C2以及B2与D1、D2的数据可以发现,单筋加筋板的抵抗能力会随着加强筋的高度或厚度的增大而提升,这与简化解析公式中变形抗力F与骨材的高度h_s及骨材的厚度t_s呈正相关相符合.

图11

图11 矩形板真实变形三维扫描图^[9]

Fig.11 3D scanning map of the actual deformation of Model A2^[9]

还需要指出的是,楔形加载头偏心作用下不仅加筋板的结构抗力会发生变化,结构失去承载能力时的横向位移也稍有减小,这是压载位置的偏移使得结构变形不对称导致的.相同横向位移下的结构Mises应力分布如图12所示,从中可以看出,与模型B2的 I 区域相比,模型BD2的 III 区域参与抵抗压载的面积减少,相同横向位移下此区域中单位面积的结构受到的应力增加,应变增大,也就导致C点的应力集中现象较A点更加明显,更快达到结构的失效应变从而发生破裂,最终影响加筋板的结构抗力及结构失去承载能力时的横向位移.

图12

图12 相同横向位移下模型B2与BD2应力分布

Fig.12 Stress distribution of Model B2 and BD2 in the same lateral displacement

3 结论

(1) 本文提出了一种新的用于计算加筋板结构受楔形物偏心垂向准静态压载作用时变形抗力的简化解析方法.该解析方法的特点是忽略加筋板中矩形板与骨材的耦合作用,对给定横向位移下矩形板的变形抗力与骨材的变形抗力分别进行计算,然后线性叠加得到整个加筋板结构的变形抗力,从而简化了船舶舷侧加筋板结构受压载变形损伤的计算.该方法虽忽略了板与骨材的耦合作用,但就船舶低速碰撞分析而言,加筋板结构变形主要通过板中面内的膜力和梁截面的轴力进行能量耗散,将矩形板、骨材分开单独计算不会给整体的变形抗力计算结果带来重要的影响.本文关于简化解析方法计算结果与有限元模拟结果之间的比较表明该方法有较高的计算精度,亦证实了上述论断的合理性和正确性.

(2) 在楔形物作用下,单筋加筋板的骨材首先在端部发生屈曲变形,抵抗力迅速增长直至骨材随矩形板发生整体大变形,抵抗力上升速度放缓.骨材的端部翘曲会随着横向变形的增大愈加明显,但大变形过程中骨材中部未发生明显侧偏.

(3) 本文提出的简化解析方法考虑了楔形物偏心作用的影响.分析表明,偏心垂向作用会对结构的耐撞能力造成一定的影响.上述结论已被有限元模拟结果证实,从而为加筋板结构受楔形物偏心垂向准静态压载作用的抵抗能力评估提供了指导,同样为球形物体准静态压载作用于船体舷侧结构的情况提供了有意义的参考.

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