基于ECM和SGPR的高鲁棒性锂离子电池健康状态估计方法

图1 实验台架拓扑结构

Fig.1 Topological structure of the test bench

测试电池为4节镍锰钴酸锂(Lithium Nickel Manganese Cobalt Oxide,NMC)软包电池,额定电压为3.7 V,额定容量为10 A·h.4个电池分别编号为NMC cell 1、cell 2、cell 3和cell 4.老化实验开始之前,在环境温度为5和25℃的条件下进行伪开路电压(Open Circuit Voltage,OCV)测试,用于确定该型号电池在不同温度下的OCV模型.实验中,首先将4个电池串联,循环充放电以加速老化.450次循环后解除串联,按恒流(Constant Current,CC)模式充电、放电,各自独立地执行老化循环,恒流充电截止电压为4.2 V,恒流放电截止电压为3.0 V,4个电池的充放电倍率及环境温度各不相同,如表1所示.每次充电和放电切换时将电池静置15 min,使其达到近稳态.数据采集模块将各电池端电压、电流和温度等信息发送到上位机, 上位机通过安培-时间积分计算出电池实际容量,从而确定电池的真实SOH.

表1 NMC电池老化工况

Tab.1 Aging conditions of NMC batteries

电池编号	充电电流/A	放电电流/A	环境温度/℃	循环次数
NMC cell 1	5	10	25	410
NMC cell 2	5	20	25	466
NMC cell 3	10	10	25	446
NMC cell 4	5	10	5	150

1.2 LCO电池老化实验数据集

牛津大学智能电池实验室对8块钴酸锂(Lithium Cobalt Oxide,LCO)软包电池进行了超过7000次充放电循环,测试电池额定电压为3.7 V,额定容量为740 mA·h.实验中,8块电池被置于40 ℃恒温环境中循环进行2 C恒流充电和“Artemis Urban”工况放电,期间每100次循环进行一次1 C恒流充放电特性测试和一次40 mA伪OCV测试^[19].NMC和LCO电池的SOH衰减曲线如图2所示.

图2

图2 测试电池的SOH衰减曲线

Fig.2 SOH attenuation curves of batteries tested

2 动态健康因子提取

2.1 等效电路模型参数辨识

锂离子电池开路电压表示电池达到稳态时电池正负极之间的电势差,通常可通过小电流充放电或脉冲放电测量近似得到^[20].在锂离子电池有效使用寿命内使用以下高阶多项式表示的OCV模型^[21]:

(1)V_OC=

\overset{n}{\sum_{k = 0}}

a_k

S_{C}^{k}

式中:V_OC为开路电压,即电池正负极之间的电势差;S_C为荷电状态;多项式参数α= [α₀… α_k… α_n]由小电流OCV测试和多项式拟合确定;n为OCV模型阶数集合.需要注意的是,电池在不同温度下的OCV存在差异,因此需要在不同温度下进行OCV测试,记录多个OCV模型,在实际计算中视环境温度选取相应的OCV模型^[22].定义恒流充电过程中的SOC为

(2)S(q)=

\frac{q}{C_{R}}

\frac{q_{0} + \int_{0}^{t} I d t}{C_{R}}

式中:q 为电池当前存储的电量;q₀为电池充电前的初始电量;C_R为额定容量;I为恒定的充电电流;t为充电时间;恒流充电中q与t呈线性关系.受电池内部阻抗影响,电池端电压V_t和OCV之间存在差异,记该电压差异为V_e,可得到如下抽象电压模型:

(3)V_OC=V_t-V_e

V_e 综合反映了电池的内部阻抗特征,引入V_e的多项式模型:

(4)V_e(q)=

\overset{m}{\sum_{k = 0}}

β_kS(q)^k

式中:m为V_e多项式模型阶数集合.结合式(3)和(4),将多项式参数向量β=[β₀β₁ … β_m]^T 作为状态向量,V_t作为观测变量,Δq为步长,可得到如下状态空间方程,包括状态转移和观测方程:

(5)β(q)=I_m₊₁β(q-Δq)+ω(q)

(6)V_t(q)=

\overset{n}{\sum_{k = 0}}

α_kS(q)^k+

\overset{m}{\sum_{k = 0}}

β_kS(q)^k+ν(q)

式中:I_m₊₁表示m+1阶单位矩阵;步长Δq = IΔt,Δt为信号采集系统的采样周期;过程噪声ω和观测噪声ν均为高斯白噪声.式(5)和(6)构成了简单的线性时变系统,为保证在强烈测量噪声干扰下仍能获得光滑的V_e曲线,使用卡尔曼滤波(Kalman Filter,KF)算法对上述系统进行滤波处理.取OCV模型阶数n和V_e多项式模型阶数m为9,不同SOH下经KF滤波后的q-V_t和q-V_e曲线如图3所示,其中图3(a)中包括本文使用的NMC电池OCV模型(NMC cell 1).可以看到,随着SOH的降低,V_t更快地达到截止电压,q-V_e曲线的整体轮廓不断上移,显然,q-V_e曲线与SOH之间存在隐含联系.

图3

图3 q-V_t和q-V_e曲线变化趋势(NMC cell 1)

Fig.3 Changing trend of q-V_t and q-V_e curves (NMC cell 1)

V_e的变化轨迹十分复杂,实验结果表明一阶Thevenin模型无法很好地模拟V_e的变化轨迹,因此采用二阶Thevenin模型对V_e进行物理建模,如图4所示.模型中各组成部分的含义如下:R_o、R_{p, 1}和R_{p, 2}分别为欧姆内阻、第一和第二极化电阻;C_{p, 1}和C_{p, 2}分别为第一和第二极化电容;V_o、V_p,1和V_p,2分别为欧姆内阻电压、第一和第二极化电压.

图4

图4 等效电路模型

Fig.4 Equivalent circuit model

将外界施加的恒定充电电流视作对图4所示系统的阶跃激励,可以得到V_e的阶跃响应函数:

(7)V_e(t)=IR₀+IR_p,1+(V_p,1(0)-IR_p,1)

e^{- t / (R_{p, 1} C_{p, 1})}

+IR_p,2+(V_p,2(0)-IR_p,2)

e^{- t / (R_{p, 2} C_{p, 2})}

式中:V_p(0)为充电开始前的极化电压,如果电池在充电前被充分搁置并达到稳态,V_p,1(0)和V_p,2(0)可视为0.以等效电路模型的参数向量x=[R₀R_p,1C_p,1R_p,2C_p,2]^T为状态向量,V_e为观测变量,将t替换为q,Δq为步长,可写出如下状态转移和观测方程:

(8)x(q)=I₅x(q-Δq)+ω(q)

(9)V_e(q)=IR₀(q)+IR_p,1(q)+IR_p,2(q)-IR_p,1(q)

e^{- \frac{q - q_{0}}{I R_{p, 1} (q) C_{p, 1} (q)}}

-IR_p,2(q)

e^{- \frac{q - q_{0}}{I R_{p, 2} (q) C_{p, 2} (q)}}

+ν(q)

考虑式(9)的强非线性,使用粒子滤波算法(Particle Filter,PF)在线辨识参数向量x,具体计算流程及算法1如下:

(1) 初始化.q=q₀,即t=0时,生成N=200个粒子(N为训练样本个数):X'(q₀)= ${\{x^{i} (q_{0})\}}_{i = 1}^{N}$ ,其中xⁱ(q)=[ $R_{0}^{i}$ (q) $R_{p, 1}^{i}$ (q) $C_{p, 1}^{i}$ (q) $R_{p, 2}^{i}$ (q) $C_{p, 2}^{i}$ (q)]^T.

(2) 权重更新.计算每个粒子的权重wⁱ(q)=exp[-(V_e(q)- ${\tilde{V}}_{e}^{i}$ (q))²/2],其中V_e由KF算法得到, ${\tilde{V}}_{e, 3}$ 为V_e估计值,可通过观测方程式(9)计算得到.归一化权重 ${\bar{w}}^{i}$ (q)=wⁱ(q)/ $\overset{N}{\sum_{j = 1}}$ w^j(q).

(3) 重采样.计算有效样本量N_eff=1/ $\overset{N}{\sum_{i = 1}}$ ( ${\bar{w}}^{i}$ (q))².若N_eff<2N/3,则执行残差重采样,得到新粒子集合 $\tilde{X}$ (q)={ ${\tilde{x}}^{i}$ (q), ${\tilde{w}}^{i}$ (q) $}_{i = 1}^{N}$ ,否则不执行重采样.

(4) 状态输出.输出状态向量期望值 $\hat{x}$ (q)= $\overset{N}{\sum_{i = 1}} {\tilde{w}}^{i}$ (q) ${\tilde{x}}^{i}$ (q).令q=q+IΔt,返回步骤(2).

算法1 残差重采样

输入:X'={xⁱ, ${\bar{w}}^{i}}_{i = 1}^{N}$ .

1. 计算各粒子被复制次数: $n_{\mathrm{c}}^{i}=\left\lfloor N \bar{w}^{i}\right\rfloor,\lfloor\cdot \rfloor$表示向下取整.

2. 计算复制后的粒子总数:N_c= $\overset{N}{\sum_{i = 1}} n_{c}^{i}$ .

3. 复制粒子,得到新的粒子集合: $\tilde{X}$ ={ ${\tilde{x}}^{i}$ , 1/N $}_{i = 1}^{N_{c}}$ .

4. 计算剩余粒子数:N_r=N-N_c.

5. 各粒子残差权值 ${\overset{=}{w}}^{i}$ = ${\bar{w}}^{i}$ - $n_{c}^{i}$ /N,残差粒子集合X_r={xⁱ, ${\overset{=}{w}}^{i}}_{i = 1}^{N}$ .

6. 生成N_r个均匀随机数:u^k∈ $[0, \overset{N}{\sum_{i = 1}} {\overset{=}{w}}^{i}]$ ,k=1, 2…N_r.

7. 若 $\overset{j - 1}{\sum_{i = 1}} {\overset{=}{w}}^{i}$ <u^k≤ $\overset{j}{\sum_{i = 1}} {\overset{=}{w}}^{i}$ ,则将x^j放入 $\tilde{X}$ ,赋权重为1/N.

输出: $\tilde{X}$ ={ ${\tilde{x}}^{i}$ , ${\tilde{w}}^{i}}_{i = 1}^{N}$ ,其中 ${\tilde{w}}^{i}$ =1/N.

基于KF-PF的模型参数辨识算法有着较强的鲁棒性,即使在强烈的噪声干扰下,KF算法依然能够很好地滤除V_e的噪声,使得PF算法始终在无噪或低噪环境下完成参数辨识.

2.2 动态健康因子提取

图5(a)显示了NMC cell 1第451次循环V_e的PF轨迹跟踪结果.可以看到,PF算法跟踪得到的q-V_e 曲线与实际的q-V_e曲线高度契合,说明二阶Thevenin模型配合PF算法能够很好地捕捉到电池内部阻抗的变化情况.文献[3]中通过FFRLS算法辨识出动态工况下的R₀,发现q-R₀曲线随着SOH的减小呈现上升趋势,本文也得到了相同结论,如图5(b)所示.电池负极的固体电解质界面膜(Solid Electrolyte Interphase,SEI)增厚是R₀增大的主要原因之一,而生成SEI膜需要消耗一定数量活性锂离子,导致了电池容量不可逆衰减^[23].可见,根据R₀估计SOH直接而有效.

图5

图5 V_e跟踪结果及R₀辨识结果(NMC cell 1)

Fig.5 Tracking result of V_e and identification results of R₀ (NMC cell 1)

从图5(b)可以看到,R₀的数值随着q的变化不断波动,取一定SOC范围内R₀的平均值(Mean Ohmic Resistance,MOR)作为考察对象以缓解这种波动,定义为

(10)R_M(q₀~q)=

\frac{1}{n} \overset{n}{\sum_{k = 1}}

R₀(q₀+kΔq)

式中:n=(q-q₀)/Δq,由式(2)可以方便地将q换算为SOC.虽然MOR可以直接用于SOH估计,但MOR受充电倍率和环境温度影响较大,不同工况下的MOR与SOH之间的映射关系存在差异,如图6(a)所示,即基于MOR的SOH估计方法对工况具有敏感性.为弱化MOR对工况的敏感性,使用MOR的增量ΔMOR作为健康因子,容量衰减率ΔSOH为估计目标,定义方法分别为

(11)ΔR_M,_i(q₁~q₂)=R_M,_i(q₁~q₂)-R_M,1(q₁~q₂)

(12)ΔS_H,_i=

\frac{C_{1} - C_{i}}{C_{R}}

=S_H,1-S_H,_i

式中:R_M,_i(q₁~q₂)为第i次循环时电池电量在 q₁~q₂之间的MOR;R_M,1(q₁~q₂)为电池在初次使用时电量在q₁~q₂之间的MOR;S_H,1为电池初次使用时的SOH;C₁为初始容量.

图6

图6 MOR-SOH和ΔMOR-ΔSOH的线性分析

Fig.6 Linear analysis of MOR-SOH and ΔMOR-ΔSOH

在前450次循环中,4个电池被串联进行充放电,将第451次循环作为初始循环,并不影响算法推理的正确性.不同工况下ΔMOR-ΔSOH的线性关系如图6(b)所示.

使用皮尔逊相关系数评估ΔMOR与ΔSOH之间的线性相关性,其计算公式为

(13)ρ=

\frac{\overset{N}{\sum_{i = 1}} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\overset{N}{\sum_{i = 1}} (x_{i} {- \bar{x})}^{2}} \sqrt{\overset{N}{\sum_{i = 1}} (y_{i} {- \bar{y})}^{2}}}

式中:x代表考察变量,即ΔMOR;y代表参考变量,即ΔSOH.3种工况下8种典型SOC范围内的ΔMOR与ΔSOH之间的相关系数如表2所示.可以看到,无论工况和SOC范围如何变化,ρ始终非常接近1,这证明了ΔMOR作为健康因子的有效性.恒流充电过程中ΔMOR的变化十分平稳,变化幅度远小于不同循环之间ΔMOR的差异(见图5(b)),同时考虑ΔMOR对工况的不敏感性,可以使用ΔMOR作为动态健康因子,利用统一的映射模型,在各种工况和SOC范围内进行SOH估计.

表2 健康因子的相关性分析结果

Tab.2 Correlation analysis results of the proposed HI

SOC范围/%	工况
SOC范围/%	0.5 C,25 ℃	1 C,25 ℃	0.5 C,5 ℃
[10,20)	0.9911	0.9909	0.9910
[20,30)	0.9921	0.9930	0.9951
[40,50)	0.9938	0.9931	0.9955
[50,60)	0.9938	0.9931	0.9955
[20,40)	0.9938	0.9931	0.9955
[40,60)	0.9938	0.9931	0.9955
[20,50)	0.9937	0.9930	0.9955
[30,80)	0.9938	0.9931	0.9953

3 基于稀疏高斯过程回归的SOH估计

GPR作为一种非参数概率预测模型,在锂离子电池SOH估计领域取得了成功应用.从一次充电过程中,按不同SOC范围可以提取不同的ΔMOR,直接使用GPR模型进行SOH在线估计时计算成本过大.因此使用SGPR模型作为在线映射模型,降低算法的计算复杂度.该模型以ΔMOR为输入变量x,以ΔSOH为预测变量y.从标准工况下的锂离子电池老化数据集中提取ΔMOR和ΔSOH,构建训练样本集,记为{X_N_×1,Y_N_×1}.

3.1 高斯过程回归

考察如下带噪声的抽象回归模型:

(14)y=f(x)+N(0,

σ_{n}^{2}

)

式中:f为x与y之间的隐含函数,在GPR中,f被视为一个高斯过程;σ_n为噪声标准差.假设f的均值函数为零函数,则对于训练样本集{X,Y},由高维高斯分布的可加性可得:

(15)Y~N(0, K_X_,_X+

σ_{n}^{2}

)

式中:K_X_,_X为Y的协方差矩阵.本文选用平方指数协方差函数计算K_X_,_X,即

(16)k(x_i, x_j)=

σ_{f}^{2}

exp[(x_i-x_j)²/(2l²)]

式中:k(x_i, x_j)为K_X_,_X的第i行第j列元素; $σ_{f}^{2}$ 和l分别为平方指数协方差函数的带宽和特征长度尺度.模型超参数向量Θ=[σ_fl σ_n].Θ可基于训练数据集使用极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)得到,对数似然函数为

(17)log p(Y|X,Θ)=-

\frac{1}{2}

log(

|K_{X, X} + σ_{n}^{2} I_{N}|

\frac{N}{2}

log(2π)-

\frac{1}{2}

Y^T(K_X_,_X+

σ_{n}^{2}

I_N)^-1Y

式中:I_N表示N阶单位矩阵.使用共轭梯度法可方便地优化Θ.GPR模型训练完成后,可根据新的输入x^*得到y的预测y^*.首先建立Y和y^*的联合概率分布:

(18)

[\begin{array}{l} Y \\ y^{*} \end{array}]

([\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{l} K_{X, X} + σ_{n}^{2} I_{N} & K_{X, x^{*}} \\ K_{x^{*}, X} & K_{x^{*}, x^{*}} \end{array}])

根据贝叶斯定理,可求得y^*的后验概率分布:

(19)p(y^*|X, Y, x^*)=N(μ^*, Σ^*)

式中:

(20)μ^*=

K_{x^{*}, X} {[K_{X, X} + σ_{N} I_{N}]}^{- 1}

(21)Σ^*=

K_{x^{*}, x^{*}}

K_{x^{*}, X} {[K_{X, X} + σ_{N} I_{N}]}^{- 1} K_{X, x^{*}}

y^*的点估计由μ^*给出,并且可计算出f^*的区间估计,95%置信区间为

(22)

[\begin{array}{l} μ^{*} - 1.96 \sqrt{Σ^{*}}, & μ^{*} + 1.96 \sqrt{Σ^{*}} \end{array}]

3.2 稀疏高斯过程回归

式(17)包含N×N方阵求逆,GPR模型的训练时间复杂度为O(N³),式(20)和(21)包含3个N阶矩阵连乘,单次预测时间复杂度到达了O(N²),空间复杂度为O(N²)^[24].为降低在线预测复杂度,SGPR从训练样本中挑选少量诱导点集替代完整训练集合,求y的无噪预测f(x^*)的后验概率分布,记诱导点集为

(23)U=

{\{u_{i}, \forall i = 1, 2, \dots, M, u_{i} \in X\}}_{i = 1}^{M}

诱导点集的位置可以均匀地分布在训练输入X的范围内,引入诱导输入假设:在给定U的情况下, f(X)和f(x^*)条件独立^[24](以下简记为f和f^*),从而f、f^*和U的联合概率分布为

(24)p(f, f^*, U)=p(f, f^*|U)p(U)=p(f|U)p(f^*|U)p(U)

上式右侧3项均为指数函数,其乘积也是指数函数,另外为f引入完全独立训练条件(Fully Independent Training Condition,FITC)假设^[25],可得f、f^*和U的联合概率分布具体形式:

(25)p(f, f^*, U)=N

(\begin{array}{l} [\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], & [\begin{array}{l} Q_{X, X} + Λ & Q_{X, x^{*}} & K_{X, U} \\ Q_{x^{*}, X} & K_{x^{*}, x^{*}} & K_{x^{*}, U} \\ K_{U, X} & K_{U, x^{*}} & K_{U, U} \end{array}] \end{array})

(26)Q_A_,_B=K_A_,_U

K_{U, U}^{- 1}

K_U_,_B

(27)Λ=diag(K_X_,_X-Q_X_,_X)

结合贝叶斯定理和矩阵求逆引理,可得到f^*的近似分布:

(28)p(f^*|X, Y, x^*)≈N(

{\tilde{μ}}^{*}

{\tilde{Σ}}^{*}

)

式中:

(29)

{\tilde{μ}}^{*}

K_{x^{*}, U} K_{U, U}^{- 1}

μ_U

(30)

{\tilde{Σ}}^{*}

K_{x^{*}, x^{*}}

K_{x^{*}, U} K_{U, U}^{- 1}

(K_U_,_U-Σ_U)

K_{U, U}^{- 1} K_{U, x^{*}}

(31)μ_U=Σ_U

K_{U, U}^{- 1}

K_U_,_XΛ^-1Y

(32)Σ_U=K_U_,_U(K_U_,_U+K_U_,_XΛ^-1K_X_,_U)^-1K_U_,_U

式(29)~(32)中唯一需要求逆的N×N矩阵Λ为对角矩阵,单次预测时间复杂度降低至O(M²),空间复杂度降低至O(M²)^[14,25].SGPR有效地降低了计算负担,非常适合用于大规模训练样本的情况.

3.3 基于ΔMOR和SGPR的SOH估计流程

基于ΔMOR和SGPR的SOH估计方法包括离线训练和在线应用两个阶段.离线训练阶段收集标准工况下锂离子电池老化实验数据,从中提取多种SOC范围内的ΔMOR,计算每个循环的ΔSOH,构建训练数据集合,并完成GPR模型超参数优化.在训练阶段使用全部训练样本,保证超参数得到充分优化,优化后的参数可直接用于SGPR模型.在线应用阶段根据实测的q-V_t曲线辨识ΔMOR,充电结束时将其输入SGPR模型,得到ΔSOH估计值,经过式(12)换算即可完成SOH在线估计,在线实施流程如图7所示.

图7

图7 SOH在线估计流程

Fig.7 Flow chart of the online SOH estimation

4 结果与讨论

使用平均绝对误差(Mean Absolute Error,MAE)和均方根误差(Root Mean Squared Error,RMSE)评价计算结果的准确性,计算方法为

(33)α_MAE=

\frac{1}{N} \overset{N}{\sum_{i = 1}} |S_{H, i}^{T u r e} - S_{H, i}^{e s}|

(34)α_RMSE=

\sqrt{\frac{1}{N} \overset{N}{\sum_{i = 1}} (S_{H, i}^{T u r e} - S_{H, i}^{e s})^{2}}

式中: $S_{H, i}^{T u r e}$ 和 $S_{H, i}^{e s}$ 分别为SOH的真实值和估计值.MAE可用于评价计算结果的整体准确度,RMSE则通过放大异常值反映算法控制局部最大误差的能力.

4.1 标准工况验证

使用NMC cell 1作为训练电池,提取该电池每个循环中8种典型SOC范围内的ΔMOR作为训练数据输入集,其对应循环的ΔSOH作为训练数据输出集,使用MATLAB GPML^[26]训练模型超参数,SGPR模型诱导点个数设置为500.

NMC cell 1和NMC cell 2具有完全相同的充电工况(0.5 C充电倍率,25℃环境温度),用于标准工况下的方法验证,在相同的8种典型SOC范围内测试.GPR模型和SGPR模型的测试信息如表3所示,20%~50%的SOC范围内SOH估计结果及其95%置信区间如图8所示.

表3 GPR和SGPR模型计算耗时及误差统计

Tab.3 Calculation time and error statistics of GPR and SGPR model

指标	训练	测试
指标	训练	常规GPR	SGPR
样本数	410×8	466×8	466×8
计算时长/s	552	639	8
MAE/%	0.1573	0.2631	0.2629
RMSE/%	0.2027	0.3183	0.3182

图8

图8 标准工况下GPR和SGPR的估计结果(NMC cell 2)

Fig.8 Estimation results of GPR and SGPR under standard working condition (NMC cell 2)

GPR模型预测结果的MAE和RMSE分别为 0.263 1% 和 0.318 3%,SGPR模型分别为 0.262 9% 和 0.318 2%,与常规GPR模型相比几乎没有变化.训练样本数达到了 3 280 个,GPR模型每次预测都面临巨大的计算量,而SGPR模型每次预测仅需考虑500个诱导点,其预测总时间比GPR模型减少了98%以上.可见,对于大规模数据样本,SGPR模型不仅有着与GPR模型相当的预测精度,而且在计算效率上获得了巨大提升.

4.2 1 C充电倍率和5 ℃环境温度下的适用性

NMC cell 3 在1 C充电倍率和25 ℃环境温度下老化,可用于验证方法在高充电倍率下的适用性.NMC cell 4 在0.5 C的充电倍率和5 ℃环境温度下老化,可用于验证方法在低温环境下的适用性.沿用NMC cell 1训练的SGPR模型,20%~50%的SOC范围内的SOH估计结果及其95%置信区间如图9所示.

图9

图9 不同工况下SOH估计结果(NMC cell 3和4)

Fig.9 Estimation results of GPR and SGPR under different working conditions (NMC cell 3 and 4)

3个测试电池在8种典型SOC范围SOH估计误差统计结果如表4所示.可以看到,相比于标准工况,高倍率和低温环境下的SOH估计误差显著增大,但MAE均未超过0.46%,RMSE未超过0.54%.结合图6(b)可知,高充电倍率和低温环境下的电池老化速率存在差异,ΔMOR与ΔSOH之间的函数关系随工况变化发生了一定的偏移,由此导致了误差增大.总体而言,在无需额外训练新回归模型的前提下,基于ΔMOR和SGPR模型的SOH估计方法在1 C充电倍率和5 ℃环境温度下仍然适用.同时可以看到,SOC范围对SOH估计结果影响甚微,这显示了ΔMOR对SOC范围具有很好的鲁棒性,本文SOH估计方法在多种SOC范围内具有普遍适用性.与同领域的其他算法相比,SGPR模型的估计精度已经达到了领先水平^{[16,27 -28]}.

表4 不同工况下SOH估计误差统计

Tab.4 Statistics of SOH estimation error under different working conditions

SOC范围/%	MAE/%			RMSE/%
SOC范围/%	0.5 C, 25 ℃	1 C, 25 ℃	0.5 C, 5 ℃	0.5C, 25 ℃	1 C, 25 ℃	0.5 C, 5 ℃
[10, 20)	0.269 8	0.399 4	0.458 9	0.329 8	0.516 2	0.538 8
[20, 30)	0.267 6	0.398 6	0.457 0	0.326 5	0.515 5	0.536 7
[40, 50]	0.265 4	0.397 8	0.455 1	0.323 4	0.514 9	0.534 6
(50, 60]	0.263 3	0.397 0	0.453 4	0.320 4	0.514 2	0.532 7
[20, 40)	0.261 5	0.396 3	0.452 3	0.317 7	0.513 6	0.531 9
[40, 60)	0.259 8	0.395 6	0.450 6	0.315 6	0.513 2	0.530 7
[20, 50)	0.258 5	0.395 3	0.449 4	0.314 0	0.512 9	0.530 4
[30, 80)	0.257 6	0.395 2	0.448 9	0.312 9	0.512 7	0.530 4

4.3 对不同电池类型的适用性

牛津大学LCO电池在1 C充电倍率和40 ℃环境温度下老化,使用该数据集验证方法对LCO类型电池的适用性.使用LCO cell 1和cell 2作为训练电池,LCO cell 3 ~ 8用作测试电池.特征提取和数据预处理方法与4.1节相同,训练数据共包含 1208 个样本(2个训练电池共151个循环,每个循环提取8种SOC范围内的ΔMOR),测试数据共包括 2928 个样本(6个测试电池共366个循环,每个循环提取8个SOC范围内的ΔMOR). 将SGPR模型的诱导点个数调整为200,其余参数与4.1节一致.10%~20%和50%~60%的SOC范围内,6个测试电池的SOH估计结果如图10所示,详细的误差统计结果如表5所示.

图10

图10 LCO电池的SOH估计结果

Fig.10 SOH estimation results of LCO batteries

表5 LCO电池SOH估计误差统计

Tab.5 Statistics of SOH estimation error of LCO batteries

电池编号	10%~20% SOC		50%~60% SOC
电池编号	MAE/%	RMSE/%	MAE/%	RMSE/%
LCO cell 3	0.8013	0.9870	0.3432	0.4223
LCO cell 4	0.9398	1.1011	0.3692	0.4622
LCO cell 5	0.9081	1.0812	0.3643	0.4511
LCO cell 6	0.8733	1.0893	0.3904	0.4654
LCO cell 7	0.9209	1.1196	0.4047	0.5120
LCO cell 8	0.8405	1.0691	0.4392	0.5416

可以看到,在常规SOC范围内(50%~60%),本文SOH估计算法在多个LCO电池上均取得了较低的估计误差,最大的MAE和RMSE分别为LCO cell 8的 0.439 2% 和 0.541 6%.当SOC范围较低时(10%~20%),LCO电池的SOH估计精度大幅下降,最大的MAE和RMSE分别达到了LCO cell 4的 0.939 8% 和LCO cell 7的 1.119 6%.通过分析LCO电池的端电压曲线、V_e曲线以及增量容量曲线发现,LCO电池在一定次数循环约S_H<81%后,端电压曲线和V_e曲线的轮廓发生明显变化, IC曲线在3.55 V(约S_C=15%)附近的峰消失,这导致低SOC区域内,ΔMOR的辨识结果在S_H=81%前后存在巨大差异,最终导致了SOH估计结果出现偏差,较宽的SOC区间或高SOC区域内的ΔMOR则不存在该问题.可见对于LCO电池,应尽可能在较宽SOC区间或高SOC范围内进行SOH估计,以避免出现较大误差.

4.4 与其他SOH估计算法相比

使用牛津电池老化数据集,提取两类已被证明有效的健康因子:IC曲线的第1个和第2个峰值(IC Curve Peak,ICP)、电压区间 [3.55 V,3.75 V]和[3.8 V,4.15 V]内的充电时长(Charing Time Within Equal Voltage Interval,CTEVI)^[10]进行SOH估计.其中IC的计算方法^[21]为

(35)r_IC(k)=

{\frac{d q}{d V_{t}}|}_{k}

≈

\frac{Δ q (k)}{Δ V_{t} (k)}

\frac{q (k T) - q (k T - T)}{V_{t} (k T) - V_{t} (k T - T)}

式中:T表示记录间隔,本文取T=10,即每10个采样点计算一次IC.使用两层滑动平均滤波处理IC曲线,窗口宽度经反复调试后选为13和5.分别以上述两类健康因子作为输入向量,SOH作为输出训练GPR模型.另外以ΔMOR为输入,ΔSOH为输出训练线性回归(Linear Regression,LR)模型、SVR模型、GPR模型和SGPR模型,其中LR和SVR使用MATLAB Regression Learner训练, GPR和SGPR使用MATLAB GPML训练,SVR、GPR和SGPR均选用平方指数核函数.上述6种方法的训练电池均为LCO cell 1和cell 2,测试电池均为LCO cell 3~cell 8.一条完整的充电曲线仅能提取一个ICP和CTEVI特征向量,因此基于这两类健康因子的SOH估计方法的测试样本仅有366个,基于ΔMOR的方法的测试样本共 2 928 个.图11为所述6种方法测试结果绝对误差的箱线图.此外,引用文献[16]中的研究成果作为深度学习方法的参考:完整的充电电压、电流和温度曲线为输入, SOH为输出,CNN为特征提取模型,测试电池为LCO cell 4和cell 8,共123个测试样本.上述7种SOH估计方法的误差统计^[10,29]如表6所示.由表6可见,在健康因子方面,基于ICP和CTEVI特征向量的SOH估计方法有着较低的估计误差,但需要较宽的电压区间,不适用于随机电压区间情况^[18,29],而基于ΔMOR的方法有着较强的工况容忍性.在特征映射算法方面,SGPR模型的精度高于LR、SVR,略高于GPR模型,这与NMC电池的计算结果一致,SGPR模型在精度上的可靠性再次得到验证.

图11

图11 不同SOH估计方法的误差分布(LCO cell 3~8)

Fig.11 Error distribution of different SOH estimation methods (LCO cell 3~8)

表6 不同SOH估计方法误差统计^[10,29]

Tab.6 Statistics of SOH estimation error of different SOH estimation methods^[10,29]

方法	编号	测试样本量	所需电压区间/V	MAE/ %	RMSE/ %
ICP+GPR	1	366	3.2~4.1	0.4091	0.5331
CTEVI+GPR	2	366	3.55~4.15	0.2726	0.3212
ΔMOR+LR	3	2928	—	0.5593	0.7574
ΔMOR+SVR	4	2928	—	0.6013	0.7749
ΔMOR+GPR	5	2928	—	0.5163	0.6590
ΔMOR+SGPR	6	2928	—	0.4543	0.6108
CNN	7	123	3.0~4.2	0.9400	-

5 结语

针对以往锂离子电池SOH估计方法在可变工况下失效的问题,提出一种基于ECM和SGPR算法的SOH估计方法,并通过实验验证了该方法在多种充电工况下的适用性.首先采用KF-PF算法,在恒流充电过程中动态地辨识锂离子电池二阶Thevenin模型的各项参数,在此基础上提取可变SOC范围内平均欧姆内阻的增量为动态健康因子.皮尔逊相关性分析表明,ΔMOR在多种SOC范围内、0.5 C/1 C充电倍率以及25 ℃/5 ℃环境温度下与ΔSOH有着一致的线性相关性,由此提出了以ΔMOR为输入、ΔSOH为输出和SGPR为特征映射模型的在线SOH估计框架.为验证方法的准确性和鲁棒性,在不同工况下进行了算法测试.NMC和LCO电池的算法测试结果表明,该方法同时适用于0.5 C、1 C充电倍率和5、25、40 ℃环境温度工况,在最恶劣的情况下,本文方法的MAE不超过0.94%,RMSE不超过1.12%,与常规GPR模型相比,SGPR模型的计算时间减少了98%以上.该SOH估计方法兼具较高的准确性和较强的鲁棒性,与以往多种SOH估计算法相比,具有最佳的综合性能.

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