考虑增材制造填充结构强度的拓扑优化方法

doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2022.333

考虑增材制造填充结构强度的拓扑优化方法

王辰, 刘义畅, 陆宇帆, 赖章龙, 周明东^,

上海交通大学机械与动力工程学院,上海 200240

Topology Optimization of Infill Structures for Additive Manufacturing Considering Structural Strength

WANG Chen, LIU Yichang, LU Yufan, LAI Zhanglong, ZHOU Mingdong^,

School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China

通讯作者: 周明东,副教授,博士生导师;E-mail:mdzhou@sjtu.edu.cn.

责任编辑: 王一凡

收稿日期: 2022-08-30 修回日期: 2022-10-13 接受日期: 2022-11-10

基金资助:

国家重点研发计划(2021YFB1715400)
国家自然科学基金(52075321)

Received: 2022-08-30 Revised: 2022-10-13 Accepted: 2022-11-10

作者简介 About authors

王辰(1995-),硕士生,从事结构拓扑优化方法研究.

摘要

提出了一种针对给定薄壁外形的内填充结构拓扑优化方法,用于设计具有优化结构强度、满足增材制造几何要求的轻量化多孔填充结构.基于p范数函数计算结构最大应力近似值,并以最小化该值为优化目标,以提升填充结构强度.通过在优化模型中考虑局部体积约束,获得多孔填充构型,并进一步提出局部体积上限动态调整策略,提升优化过程稳定性,避免优化过程约束过强导致结构构型和应力响应突变甚至优化失败.此外,考虑了自支撑约束,保证优化所得填充结构自支撑,且支撑给定薄壁外形的悬空区域.引入了基于两场公式的优化模型,确保优化所得填充结构满足增材制造最小尺寸要求.数值算例表明,所提方法优化结果与以最小化柔度为目标的填充结构拓扑优化结果相比,在相同质量下结构强度得到了显著提升.在此基础上,在优化模型中考虑了柔度约束,讨论了填充结构刚度、强度的相互影响规律.

关键词： 填充结构强度; 拓扑优化; 增材制造; p范数应力

Abstract

A topology optimization approach is proposed to design lightweight and high-strength porous infill structures for additive manufacturing. The maximum stress approximated by the p-norm function is minimized to enhance the structural strength. A local volume constraint is utilized to generate porous infill pattern. A continuation strategy on the upper bound of the local volume fraction is proposed to improve the stability of the optimization process and avoid the sharp rising of stress. An overhang constraint is utilized to make sure that the optimized infill structures are self-supporting and can support the given shell. Besides, two-field-based topology optimization formulations are used to ensure that the optimized infill structures satisfy the minimum length scale for additive manufacturing. The numerical results show that the optimized infill structures can significantly improve the structural strength compared with the optimized design of compliance minimization problem at the same weight. A compliance constraint is further imposed in the optimization model and the relation between stiffness and strength of the infill structures is also discussed.

Keywords： infill structures strength; topology optimization; additive manufacturing; p-norm stress

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本文引用格式

王辰, 刘义畅, 陆宇帆, 赖章龙, 周明东. 考虑增材制造填充结构强度的拓扑优化方法[J]. 上海交通大学学报, 2024, 58(3): 333-341 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2022.333

WANG Chen, LIU Yichang, LU Yufan, LAI Zhanglong, ZHOU Mingdong. Topology Optimization of Infill Structures for Additive Manufacturing Considering Structural Strength[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2024, 58(3): 333-341 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2022.333

随着增材制造技术取得显著进展,更多性能优异但传统难以制造的结构进入人们的视野,其中多孔填充结构由于具有出色的抗屈曲性^[1]、抵抗材料缺陷和外力变化的鲁棒性^[2]等性能,引起了国内外研究学者的广泛关注.填充结构具有承受载荷和支撑外部壳体的重要作用,除结构刚度与轻量化指标外,填充结构设计需要兼顾结构强度,以避免出现应力集中现象所导致的结构断裂失效问题^[3⇓-5].

实际工程应用领域中,填充结构设计首先确定多孔填充几何形式,如直线晶格、蜂窝^[6]等结构,再基于这些结构按照规定体积分数进行均匀填充,得到具有一定结构强度的轻质多孔填充结构.但该设计方法多孔填充几何形式与填充结构体积分数的选取均依赖工程经验,并且内部多孔填充形式在优化过程中不能根据载荷工况进行调整,所得填充结构力学性能有限.与先选型再填充的设计方法相比,结构拓扑优化是在给定设计空间内优化结构材料布局的设计方法,具有更大的设计自由度,能够根据载荷逐点确定材料的分布,得到性能更加优良的填充结构.Wu等^[2]提出了一种考虑局部体积约束的给定壳体填充结构拓扑优化设计方法,能够得到具有优异鲁棒性的轻质多孔填充结构.Liu等^[7]基于Wu等^[2]的工作提出了一种基于密度的自支撑轻量化填充结构拓扑优化设计方法,能够得到刚度优异且满足增材制造支撑条件的轻质填充结构.Qiu等^[8]提出了一种壳-填充结构设计方法,该方法首先在假定填充结构由低强度材料组成的情况下开展壳体优化设计,然后基于优化所得壳体结构,考虑最小尺寸约束实现内填充结构优化设计.Groen等^[9]提出了一种基于正交各向异性填充结构的壳-填充结构拓扑优化设计方法,通过将基于均质化的设计结果投影至更高分辨率,能够在更低的计算成本下得到刚度优化的轻质壳-填充结构.Wadbro等^[10]提出了一种多尺度壳-填充结构拓扑优化方法,能够同时优化宏观壳体与均匀填充的拓扑结构.Wu等^[11]提出了一种包含两组设计变量的参数化方案,能够实现外部壳体和非均匀填充的协同拓扑优化设计,优化结果与相同材料体积下均匀填充结构相比具有更高的结构刚度.Zhou等^[12]基于Wu等^[11]的工作提出一种面向增材制造的自支撑壳-填充结构协同拓扑优化方法,该方法采用一种全新的增材制造自支撑约束,并通过优化结果后处理,能够得到刚度优异且满足增材制造工艺要求的壳-填充结构.上述填充结构拓扑优化方法能够设计具有优异比刚度的填充结构,但在优化过程中均未考虑结构强度,优化后的结构易出现应力集中从而导致结构断裂失效.

自Duysinx等^[13]提出考虑应力的连续体结构拓扑优化研究以来,应力相关拓扑优化问题备受关注,考虑应力的结构拓扑优化主要存在两项关键难点.首先是应力分布奇异性问题^[14],当拓扑优化设计变量趋于某一临界值时,部分密度较低的单元仍具有较高的应力值,导致优化问题无法稳定收敛.目前已有多种应力约束松弛方法能够解决应力分布奇异性问题,如ε-松弛方法^[13,15]、二次规划(QP)松弛方法^[16]和应力惩罚方法^[14]等.另一项关键难点是应力高度非线性特性问题^[14],应力的大小和分布受填充结构密度变化影响较为明显,这种现象在应力梯度较大的区域如高曲率结构边界处更为严重,采用适当的优化公式和求解算法^[17]能够有效提高拓扑优化应力响应的收敛稳定性^[4,18].

目前针对实体结构的应力相关优化方法已较为成熟,但针对多孔填充结构的应力相关优化方法研究相对较少.Yu等^[19]提出了一种考虑应力约束的壳-填充结构拓扑优化设计方法,通过对壳体与填充结构分别施加不同的强度准则,实现了最大应力可控的壳体与均匀多孔填充结构协同拓扑优化.然而该方法在给定多孔填充形式的基础上优化填充密度,优化过程中填充结构形式无法根据载荷条件进行调整,力学性能存在提升空间.与给定多孔填充形式的优化结果相比,采用非均匀多孔填充的优化结果具有更加优异的力学性能^[11],但目前尚未开展考虑非均匀多孔填充结构强度的拓扑优化方法研究.

本文针对非均匀多孔填充形式,提出了一种考虑增材制造填充结构强度的拓扑优化设计方法.该方法采用p范数应力近似表示结构最大应力值,并通过最小化该值提升填充结构强度;使用局部体积约束获得轻质多孔填充构型,通过提出局部体积约束变上限优化策略,提高了填充结构优化过程中应力响应的收敛稳定性;采用自支撑约束保证填充结构满足自支撑条件并能够为给定薄壁外壳提供良好支撑;引入两场模型控制优化结果的最小尺寸,避免出现无法增材制造的单节点连接结构.本文所提方法能够得到满足增材制造工艺要求且有效控制最大应力的内填充结构,所得优化结果与最小化柔度的填充结构优化结果相比,在相同体积分数情况下能够显著提升结构强度.

1 填充结构参数化模型

本文所采用的参数化模型如图1所示.设计空间共分为3部分:薄壁外壳外部区域Ω₀、给定薄壁外壳Ω₁以及薄壁外壳内部区域Ω.其中Ω₀为非设计域,在优化过程中始终为空材料;Ω₁同样为非设计域,在优化过程中始终为实体结构;Ω为填充结构设计域.采用平面单元进行优化,但优化后的结构代表平面单元沿垂直于平面方向拉伸所得结构,其边缘部分由平面内的结构边界拉伸所组成.

图1

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图1 给定薄壁外壳填充结构参数化模型

Fig.1 Parametrization of infill structures with a given shell

设计空间各区域均离散为相同大小的正方形单元,每个单元通过物理变量 $\bar{ρ}$ 表示该处有结构( ${\bar{ρ}}_{e}$ =1)或无结构( ${\bar{ρ}}_{e}$ =0).为避免出现棋盘格和网格依赖现象,设计变量ρ经过密度过滤^[20]得到中间变量场 $\tilde{ρ}$ ,密度过滤公式如下:

(1)

{\tilde{ρ}}_{i}

\frac{\sum_{j \in B_{i, r}} H_{i j} ρ_{j}}{\sum_{j \in B_{i, r}} H_{i j}}

, i∈Ω

式中:B_i_,_r={j: $‖x_{j} - x_{i}‖$ ≤r, j∈Ω∪Ω₁}表示与单元i距离不超过r的单元j的集合;r为密度过滤半径;x_i为单元i的坐标;H_i_,_j=max{r- $‖x_{j} - x_{i}‖$ , 0}为权重函数.

为得到更加清晰的拓扑结构,中间变量场 $\tilde{ρ}$ 经过投影^[21]得到物理变量场 $\bar{ρ}$ ,投影公式如下:

(2)

{\bar{ρ}}_{i}

\frac{t a n h (β η) + t a n h [β ({\tilde{ρ}}_{i} - η)]}{t a n h (β η) + t a n h [β (1 - η)]}

式中: ${\bar{ρ}}_{i}$ 为单元i的物理变量;η=0.5为投影阈值,中间变量场 $\tilde{ρ}$ 中大于投影阈值的单元倾向于投影为1(有结构),小于投影阈值的单元则倾向于投影为0(无结构);β为控制投影锐度的参数,为保证优化过程平稳收敛,投影锐度参数β由初始值连续变化至最大值.

2 拓扑优化模型

2.1 全局应力响应

引入插值格式η_s( ${\bar{ρ}}_{i}$ )对单元von Mises应力 $σ_{i}^{v M}$ =[( $σ_{i}^{0}$ )^TV $σ_{i}^{0}]^{\frac{1}{2}}$ 进行惩罚^[14],以避免出现应力奇异性问题,其中单元应力 $σ_{i}^{0}$ =DBu_i,D为弹性矩阵,B为应变矩阵,u_i为第i个单元对应的节点位移向量,V为von Mises应力系数矩阵,

(3)V=

[\begin{array}{l} 1 & - 1 / 2 & 0 \\ - 1 / 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}]

代入插值格式η_s( ${\bar{ρ}}_{i}$ ),单元von Mises应力插值表达式可表示为

(4)σ_i=η_s(

{\bar{ρ}}_{i}

)

σ_{i}^{v M}

{\bar{ρ}}_{i}^{p_{s}} σ_{i}^{v M}

式中:p_s为物理变量插值的幂指数,取p_s=0.5.考虑到最大值函数不可微,采用所有单元插值应力σ_i的p范数σ_p近似表示全局最大应力:

(5)σ_p=(

\overset{N}{\sum_{i = 1}} σ_{i}^{p})^{\frac{1}{p}}

\overset{N}{\sum_{i = 1}}

(

{\bar{ρ}}_{i}^{p_{s}} σ_{i}^{v M}

)^p

]^{\frac{1}{p}}

式中:N为单元总数;p为应力范数的幂指数,用于控制p范数与实际最大值之间的近似程度,当p→∞时,σ_p趋近于实际的最大应力值,但p值过高会导致优化算法求解困难,而p值过小将导致p范数无法准确近似结构的最大应力,根据文献[14]取p=8.

2.2 自支撑约束

采用一种基于增材过滤器(AM filter)的自支撑约束^[22],保证内填充结构满足自支撑条件并能够从结构内部支撑给定薄壁外壳.给定薄壁外壳的外部是否满足支撑条件并非本文研究内容,因此假设给定薄壁外壳的外部已由支撑结构提供良好支撑.

增材过滤器的基本原理如图2所示^[12,23],定义单元(i,j)下方相邻3个坐标为(i-1,j-1)、(i-1,j)、(i-1,j+1)的单元为该单元的支撑区域.如果单元(i,j)支撑区域的3个单元中至少一个单元为实体结构,单元(i,j)即满足自支撑条件.如果单元(i,j)不满足支撑条件,那么增材过滤器将移除该单元材料,通过自下而上逐层使用增材过滤器,最终能够实现满足自支撑条件的结构设计.增材过滤器的公式如下:

(6)θ_ij=

\{\begin{array}{l} s_{m i n} [μ_{i j}, s_{m a x} (θ_{i - 1, j - 1}, θ_{i - 1, j}, θ_{i - 1, j + 1})], & i > 1 \\ μ_{i j}, & i = 1 \end{array}

(7)s_min(a,b)=

\frac{1}{2}

{a+b-[(a-b)²+ε]⁰^.⁵+ε⁰^.⁵}

(8)s_max(a,b,c)=(a^P+b^P+c^P

)^{\frac{1}{Q}}

式中:μ_ij为增材过滤之前的单元;θ_ij为增材过滤之后的单元;根据文献[22],增材过滤器参数取为ε=10^-4,P=40,Q=P+lg 3/lg 0.5.

图2

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图2 支撑区域示意图^[12,23]

Fig.2 Illustration of the support regions^[12,23]

自支撑约束思路如图3所示.为满足给定薄壁外壳的外部已由支撑结构提供良好支撑这一假设条件,首先按下式将物理变量场 $\bar{ρ}$ 的薄壁外壳外部非设计域全部取1置为实体得到变量场μ:

(9)μ_e=

\{\begin{array}{l} 1, & e \in Ω_{0} \\ {\bar{ρ}}_{e}, & e \in Ω ⋃ Ω_{1} \end{array}

图3

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图3 自支撑约束示意图

Fig.3 Illustration of the self-supporting constraint

变量场μ经过增材过滤后删除所有不满足自支撑条件的单元,得到变量场θ.变量场μ与θ的差值μ-θ表示不满足自支撑条件的单元,通过限制这部分单元的体积,即可实现自支撑约束:

(10)G(μ)=∫_Ωmax{(μ_e-θ_e),0}²dV=max{(μ^T-θ^T),0^T}²IV_e≤ε_r

式中:I为单位向量;V_e为单元体积;ε_r=2×10^-5I^TI ${V_{e}}^{}$ ^[12].

2.3 局部体积约束

多孔填充结构与实体填充相比,在抵抗材料缺陷和外力变化时具有优异的鲁棒性,本文通过使用局部体积约束实现多孔形式的填充结构设计^[2],单元i的局部体积分数定义为

(11)ϕ_i=

\frac{\sum_{j \in B_{i, R}} {\bar{ρ}}_{j}}{\sum_{j \in B_{i, R}} 1}

式中:B_i_,_R={j: $‖x_{j} - x_{i}‖$ ≤R, j∈Ω}表示与单元i距离不超过R的单元j的集合;R为局部体积约束过滤半径.通过限制所有单元的最大局部体积分数小于一定值,即可得到局部体积约束表达式:

(12)

\underset{i \in Ω}{m a x}

ϕ _i≤α

式中:α为局部体积约束的上限值.

采用可微形式的局部体积分数p范数 $\bar{V}$ 近似表示所有单元中最大的局部体积分数:

(13)

\bar{V}

{(\frac{1}{N} \sum_{i \in Ω} ϕ_{i}^{P_{1}})}^{\frac{1}{P_{1}}}

≤α

式中:P₁为局部体积分数p范数的幂指数,取P₁=8.

当优化过程中投影锐度参数β增加时,单元密度发生变化使得局部体积超出约束上限α,为满足局部体积约束,优化算法将会删除部分结构以降低局部体积分数,这将导致应力分布发生突变进而影响优化过程收敛稳定性.针对该问题,本文提出了一种优化过程中变局部体积约束上限α的优化策略,优化初始阶段α取为较小值,在投影锐度参数β增加至8、16、32时,局部体积约束上限α分别增加0.02,最终达到初始给定的局部体积约束上限,通过在优化过程中局部体积超出上限时适当提高约束值,实现优化过程的稳定收敛.

2.4 考虑两场的最小化应力拓扑优化模型

优化结果中可能出现无法制造的单节点连接结构,采用两场模型控制最小尺寸可避免该问题^[7].除式(2)所示物理场 $\bar{ρ}$ 之外,中间变量场 $\tilde{ρ}$ 按阈值η^ero=0.7投影可得到腐蚀变量场 ${\bar{ρ}}^{e r o}$ :

(14)

{\bar{ρ}}_{i}^{e r o}

\frac{t a n h (β η^{e r o}) + t a n h [β ({\tilde{ρ}}_{i} - η^{e r o})]}{t a n h (β η^{e r o}) + t a n h [β (1 - η^{e r o})]}

相关研究表明^[21,23],在引入腐蚀变量场 ${\bar{ρ}}^{e r o}$ 的情况下,如果优化目标选为腐蚀场与物理场的目标响应中更差的一项,约束响应选为腐蚀场与物理场的约束响应中倾向于更不满足约束的一项,腐蚀变量场 ${\bar{ρ}}^{e r o}$ 与物理变量场 $\bar{ρ}$ 的拓扑结构将相同,进而能够控制物理结构最小尺寸,避免优化结果中出现单节点连接结构.

基于两场模型提出了一种面向增材制造的填充结构最小化应力拓扑优化模型:

(15)$ \begin{array}{ll} & \min _{\rho} \sigma=\sigma_{p}(\overline{\boldsymbol{\rho}})+\sigma_{p}\left(\overline{\boldsymbol{\rho}}^{\text {ero }}\right) \\ & \text { s.t. } V_{\mathrm{g}}(\overline{\boldsymbol{\rho}}) \leqslant V^{*} \\ & \bar{V}(\overline{\boldsymbol{\rho}}) \leqslant \alpha \\ & G(\boldsymbol{\mu})+G\left(\boldsymbol{\mu}^{\text {ero }}\right) \leqslant 2 \varepsilon_{\mathrm{r}} \\ & 0 \leqslant \rho_{e} \leqslant 1, \quad e \in \Omega \\ & K \boldsymbol{U}=\boldsymbol{F} \\ & \boldsymbol{K}^{\text {ero }} \boldsymbol{U}^{\text {ero }}=\boldsymbol{F} \end{array}$

式中:由于两场p范数应力之间没有明确的大小关系,优化过程中需同时考虑两场应力,本文将两场p范数应力相加组成目标函数;σ_p( $\bar{ρ}$ )是求解有限元方程KU=F所得的p范数应力,其中K、U和F是物理结构的刚度矩阵、位移向量和载荷向量;σ_p( ${\bar{ρ}}^{e r o}$ )是求解有限元方程K^eroU^ero=F所得的p范数应力,其中K^ero和U^ero是腐蚀场对应结构的刚度矩阵和位移向量;整体体积约束与局部体积约束均考虑两场中体积更大的物理变量场 $\bar{ρ}$ ,其中V_g为整体体积分数,V^*是整体体积约束上限值; $\bar{V}$ 为填充结构物理场的局部体积分数.为避免优化结果的物理结构出现单节点连接单元,自支撑约束施加在腐蚀变量场 ${\bar{ρ}}^{e r o}$ 上,此外为同时满足物理结构的自支撑条件,物理变量场 $\bar{ρ}$ 也需添加自支撑约束,因此将两场自支撑约束函数G相加组成两场自支撑约束^[7],根据式(16),变量场μ^ero由腐蚀变量场 ${\bar{ρ}}^{e r o}$ 的薄壁外壳外部非设计域全部取1所得:

(16)

μ_{e}^{e r o}

\{\begin{array}{l} 1, & e \in Ω_{0} \\ {\bar{ρ}}_{e}^{e r o}, & e \in Ω ⋃ Ω_{1} \end{array}

物理场与腐蚀场均采用带有惩罚的固体各向同性材料(SIMP)法对弹性模量进行插值:

(17)E_i=E_min+

{\bar{ρ}}_{i}^{p_{e}}

(E-E_min)

(18)

E_{i}^{e r o}

=E_min+

{\bar{ρ}}_{i}^{e r o p_{e}}

(E-E_min)

式中:E_i和 $E_{i}^{e r o}$ 分别为物理场与腐蚀场单元i的弹性模量;E为固体材料的弹性模量;E_min为避免有限元分析中的奇异性问题而采用的非零小量;p_e=3为SIMP法的惩罚因子.

2.5 拓扑优化流程

拓扑优化流程如图4所示,具体的优化求解过程如下.

图4

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图4 拓扑优化流程

Fig.4 Workflow of topology optimization

步骤1 设置设计域Ω、给定薄壁外壳非设计域Ω₁以及空白的非设计域Ω₀,初始化设计变量ρ与投影锐度参数β.

步骤2 通过密度过滤与投影,构造物理变量场 $\bar{ρ}$ 与腐蚀变量场 ${\bar{ρ}}^{e r o}$ .

步骤3 求解有限元分析方程并计算设计响应.

步骤4 计算各设计响应的灵敏度.

步骤5 通过移动渐近线(MMA)算法^[24]更新设计变量.

步骤6 判断投影锐度参数β的连续变化条件:① 投影锐度参数β<β_max;② 目标函数连续5次迭代变化量小于0.2%;③ 当前β已至少进行50次迭代;④ 所有约束函数均满足.如果4个条件全部满足,则投影锐度参数β增加并转至步骤2,否则转至步骤7.

步骤7 检查收敛性.如果满足4个条件(① 目标函数连续5次迭代变化量小于0.2%;② 投影锐度参数β=β_max;③ 当前β已至少进行50次迭代;④ 所有约束函数均满足),则转至步骤8,否则重复步骤2~6.

步骤8 优化结束.

3 数值算例结果与分析

通过二维平面的数值算例讨论所提填充结构拓扑优化方法有效性,所有算例中的实体与空材料弹性模量分别取为 210 GPa和1×10^-9 MPa,泊松比均取为0.3.设计域为图5所示的L型梁填充区域.该结构尺寸为长L=300 mm,高H=300 mm,设计域长度L_d=120 mm,设计域高度 H_d=120 mm,L型梁薄壁外壳左上固定,对于右端呈正方形分布的相邻9个节点,每点均施加竖直向下、大小F=1 N的载荷.投影锐度参数β初始取1,如果所有约束均满足且在当前β条件下已至少迭代50步,则投影锐度参数β按如下规则递增:当β<32时,β由1连续翻倍直至达到32;当β≥32时,β逐次加8直至达到最大值64.

图5

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图5 L型梁设计域与边界条件示意图

Fig.5 Illustration of the designable domain and the boundary condition for the L-bracket

3.1 优化结果及优化过程展示

取整体体积约束上限为0.55,局部体积约束上限为0.7,r=3,R=10,通过求解最小化应力的优化模型(式(15)),最小化应力优化结果如图6所示,该优化结果的最大应力为1.899 MPa,柔度为0.091 mJ,整体体积分数为0.55.由应力云图可知,在L型梁易出现应力集中的转角处,应力分布较为平均,显著缓解了优化结果的应力集中现象.

图6

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图6 最小化应力优化结果和应力云图

Fig.6 Optimization result for minimizing stress and stress contour

优化过程中不同迭代步数对应的填充结构如图7所示,最小化应力优化模型的设计响应收敛曲线如图8所示.如图8(a)所示,目标函数即应力响应在投影锐度参数变化时会发生突变并逐步恢复稳定,当达到第180迭代步之后应力开始平稳下降,收敛稳定且并未出现明显波动.图8(d)所示为物理变量场与腐蚀变量场不满足自支撑条件的单元体积之和,这一数量在投影锐度参数β增加时发生突变,但是能够逐渐下降直至低于约束值,最终优化结果的所有约束函数值均满足约束条件.

图7

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图7 优化过程中的填充结构

Fig.7 Infill structures during the iterative optimization process

图8

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图8 不同设计响应的收敛曲线

Fig.8 Convergence curves for different design responses

3.2 结果对比与方法讨论

为对比最小化应力与最小化柔度的优化结果,建立最小化柔度问题优化模型,其约束函数与最小化应力优化模型(式(15))完全相同,仅将式(15)所示优化模型的目标函数改为腐蚀变量场的柔度,即可得到给定薄壁外壳填充结构的最小化柔度拓扑优化模型:

(19)c^ero=U^eroTK^eroU^ero=

\overset{N}{\sum_{i = 1}} E_{i}^{e r o} u_{i}^{e r o T}

k₀

u_{i}^{e r o}

式中: $u_{i}^{e r o}$ 为单元i的腐蚀场位移向量;k₀为单元刚度矩阵.优化模型参数与3.1节相同,最小化柔度的优化结果如图9所示,最大应力为3.126 MPa,结构柔度为0.081 mJ,整体体积分数为0.55.通过图6与图9所示优化结果对比可得,最小化应力优化结果(见图6)与柔度优化结果(见图9)相比,虽然柔度略有增大,但最大应力值由3.126 MPa降低为1.899 MPa,降幅达39.25%,表明本文所提方法能够有效地限制结构的最大应力.并且由应力云图可以得到,最小化柔度优化结果应力云图(见图9(b))在L型梁转角处颜色差别显著,出现较为明显的应力集中现象,而最小化应力的结果能够显著降低应力集中现象带来的影响,整体应力分布较为平均.

图9

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图9 最小化柔度优化结果和应力云图

Fig.9 Optimization result for minimizing compliance and stress contour

此外,为对比局部体积约束固定上限与变上限策略对优化过程收敛稳定性的影响(见图10),固定局部体积上限为0.7,其余优化参数与3.1节相同,优化结果如图10(b)右侧所示.由目标函数收敛曲线可知,从第377次迭代开始,固定局部体积约束上限的目标函数即应力响应突然增大,这是由于投影锐度参数β在第376步由32翻倍至64,结构发生明显变化导致局部体积分数超出当前约束值,为满足局部体积约束,部分结构消失从而导致整体应力响应发生振荡,最终优化结果中出现断开的结构,优化结果的最大应力为2.470 MPa.考虑变局部体积上限的优化结果如图10(b)左侧所示,优化参数均与3.1节相同,由目标函数收敛曲线可知,变局部体积上限的优化结果目标函数收敛稳定,应力响应并未随β翻倍而出现明显波动,与固定上限的优化结果相比,最大应力由2.470 MPa降至 2.010 MPa.通过图10所示的优化结果对比可以看出,采用局部体积约束变上限的优化策略,可以避免最终优化结果出现断开的结构,这是由于当投影锐度参数β增加时,适当提高局部体积约束值能够避免β增加后的局部体积超出约束上限,进而避免优化算法为满足局部体积约束而删除部分结构,有效地提高应力优化问题的收敛稳定性.

图10

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图10 不同局部体积约束策略的目标函数和局部体积分数收敛曲线

Fig.10 Convergence curves of the objective function and the local volume fraction for different local volume constraint strategies

3.3 考虑柔度约束的填充结构优化设计

根据3.1节的最小化应力优化结果可知,所提方法能够有效地降低优化结果的最大应力,降低应力集中的影响,但上述优化结果仅考虑结构强度而并未考虑结构刚度,对此在式(15)最小化应力优化模型基础上添加柔度约束:

(20)c^ero≤c^*

研究了不同柔度约束情况下优化结果的应力变化规律.为控制优化结果的最小尺寸,柔度约束施加于腐蚀变量场.

考虑柔度约束的最小化应力优化模型参数与3.1节相同,图11所示为柔度约束c^*分别为0.090、0.088、0.086 mJ的填充结构优化结果.根据3.1节的优化结果,不考虑柔度约束情况下最大应力值为1.899 MPa,柔度值为0.091 mJ.图11所示结果表明,随着柔度约束逐渐收紧,优化结果的最大应力值逐渐增大.此外通过图11所示各结构柔度值对比可得,各优化结果柔度值均严格满足柔度约束,表明该方法能够有效实现给定柔度限制下的最小化应力设计,得到综合考虑结构强度与结构刚度的轻量化内填充结构.

图11

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图11 不同柔度约束c^*的最小化应力优化结果

Fig.11 Optimization results for minimizing stress with different compliance constraint c^*

4 结论

提出了一种考虑增材制造填充结构强度的拓扑优化设计方法,能够设计满足增材制造工艺要求的轻质高强填充结构.该方法提出局部体积约束变上限优化策略,避免优化过程中由于局部体积约束过紧出现应力响应振荡问题,显著改善了优化过程收敛稳定性.最小化应力优化结果表明,该方法所得优化结果与最小化柔度优化结果相比显著降低了结构最大应力,有效地减轻了应力集中效应.在此基础上,通过在最小化应力优化模型中添加柔度约束,能够实现兼具刚度与强度的填充结构设计.在工程应用中,本文方法能够针对考虑强度的给定薄壁外壳填充结构设计提供一定指导.但薄壁外壳分布可变的填充结构同样具有优化潜力,其力学性能存在提升空间,考虑结构强度的壳体与填充结构协同拓扑优化方法有待开展进一步研究.

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Exploiting additive manufacturing infill in topology optimization for improved buckling load

2016

... 随着增材制造技术取得显著进展,更多性能优异但传统难以制造的结构进入人们的视野,其中多孔填充结构由于具有出色的抗屈曲性^[1]、抵抗材料缺陷和外力变化的鲁棒性^[2]等性能,引起了国内外研究学者的广泛关注.填充结构具有承受载荷和支撑外部壳体的重要作用,除结构刚度与轻量化指标外,填充结构设计需要兼顾结构强度,以避免出现应力集中现象所导致的结构断裂失效问题^[3⇓-5]. ...

Infill optimization for additive manufacturing-approaching bone-like porous structures

2018

... 实际工程应用领域中,填充结构设计首先确定多孔填充几何形式,如直线晶格、蜂窝^[6]等结构,再基于这些结构按照规定体积分数进行均匀填充,得到具有一定结构强度的轻质多孔填充结构.但该设计方法多孔填充几何形式与填充结构体积分数的选取均依赖工程经验,并且内部多孔填充形式在优化过程中不能根据载荷工况进行调整,所得填充结构力学性能有限.与先选型再填充的设计方法相比,结构拓扑优化是在给定设计空间内优化结构材料布局的设计方法,具有更大的设计自由度,能够根据载荷逐点确定材料的分布,得到性能更加优良的填充结构.Wu等^[2]提出了一种考虑局部体积约束的给定壳体填充结构拓扑优化设计方法,能够得到具有优异鲁棒性的轻质多孔填充结构.Liu等^[7]基于Wu等^[2]的工作提出了一种基于密度的自支撑轻量化填充结构拓扑优化设计方法,能够得到刚度优异且满足增材制造支撑条件的轻质填充结构.Qiu等^[8]提出了一种壳-填充结构设计方法,该方法首先在假定填充结构由低强度材料组成的情况下开展壳体优化设计,然后基于优化所得壳体结构,考虑最小尺寸约束实现内填充结构优化设计.Groen等^[9]提出了一种基于正交各向异性填充结构的壳-填充结构拓扑优化设计方法,通过将基于均质化的设计结果投影至更高分辨率,能够在更低的计算成本下得到刚度优化的轻质壳-填充结构.Wadbro等^[10]提出了一种多尺度壳-填充结构拓扑优化方法,能够同时优化宏观壳体与均匀填充的拓扑结构.Wu等^[11]提出了一种包含两组设计变量的参数化方案,能够实现外部壳体和非均匀填充的协同拓扑优化设计,优化结果与相同材料体积下均匀填充结构相比具有更高的结构刚度.Zhou等^[12]基于Wu等^[11]的工作提出一种面向增材制造的自支撑壳-填充结构协同拓扑优化方法,该方法采用一种全新的增材制造自支撑约束,并通过优化结果后处理,能够得到刚度优异且满足增材制造工艺要求的壳-填充结构.上述填充结构拓扑优化方法能够设计具有优异比刚度的填充结构,但在优化过程中均未考虑结构强度,优化后的结构易出现应力集中从而导致结构断裂失效. ...

... [2]的工作提出了一种基于密度的自支撑轻量化填充结构拓扑优化设计方法,能够得到刚度优异且满足增材制造支撑条件的轻质填充结构.Qiu等^[8]提出了一种壳-填充结构设计方法,该方法首先在假定填充结构由低强度材料组成的情况下开展壳体优化设计,然后基于优化所得壳体结构,考虑最小尺寸约束实现内填充结构优化设计.Groen等^[9]提出了一种基于正交各向异性填充结构的壳-填充结构拓扑优化设计方法,通过将基于均质化的设计结果投影至更高分辨率,能够在更低的计算成本下得到刚度优化的轻质壳-填充结构.Wadbro等^[10]提出了一种多尺度壳-填充结构拓扑优化方法,能够同时优化宏观壳体与均匀填充的拓扑结构.Wu等^[11]提出了一种包含两组设计变量的参数化方案,能够实现外部壳体和非均匀填充的协同拓扑优化设计,优化结果与相同材料体积下均匀填充结构相比具有更高的结构刚度.Zhou等^[12]基于Wu等^[11]的工作提出一种面向增材制造的自支撑壳-填充结构协同拓扑优化方法,该方法采用一种全新的增材制造自支撑约束,并通过优化结果后处理,能够得到刚度优异且满足增材制造工艺要求的壳-填充结构.上述填充结构拓扑优化方法能够设计具有优异比刚度的填充结构,但在优化过程中均未考虑结构强度,优化后的结构易出现应力集中从而导致结构断裂失效. ...

... 多孔填充结构与实体填充相比,在抵抗材料缺陷和外力变化时具有优异的鲁棒性,本文通过使用局部体积约束实现多孔形式的填充结构设计^[2],单元i的局部体积分数定义为 ...

Topology optimization for minimum weight with compliance and stress constraints

2012

Shape equilibrium constraint: A strategy for stress-constrained structural topology optimization

2013

... 自Duysinx等^[13]提出考虑应力的连续体结构拓扑优化研究以来,应力相关拓扑优化问题备受关注,考虑应力的结构拓扑优化主要存在两项关键难点.首先是应力分布奇异性问题^[14],当拓扑优化设计变量趋于某一临界值时,部分密度较低的单元仍具有较高的应力值,导致优化问题无法稳定收敛.目前已有多种应力约束松弛方法能够解决应力分布奇异性问题,如ε-松弛方法^[13,15]、二次规划(QP)松弛方法^[16]和应力惩罚方法^[14]等.另一项关键难点是应力高度非线性特性问题^[14],应力的大小和分布受填充结构密度变化影响较为明显,这种现象在应力梯度较大的区域如高曲率结构边界处更为严重,采用适当的优化公式和求解算法^[17]能够有效提高拓扑优化应力响应的收敛稳定性^[4,18]. ...

A novel p-norm correction method for lightweight topology optimization under maximum stress constraints

2016

Evaluation of the effect of infill pattern on mechanical strength of additively manufactured specimen

2017

Topology optimization of self-supporting infill structures

2021

... 优化结果中可能出现无法制造的单节点连接结构,采用两场模型控制最小尺寸可避免该问题^[7].除式(2)所示物理场

\bar{ρ}

之外,中间变量场

\tilde{ρ}

按阈值η^ero=0.7投影可得到腐蚀变量场

{\bar{ρ}}^{e r o}

: ...

... 式中:由于两场p范数应力之间没有明确的大小关系,优化过程中需同时考虑两场应力,本文将两场p范数应力相加组成目标函数;σ_p(

\bar{ρ}

)是求解有限元方程KU=F所得的p范数应力,其中K、U和F是物理结构的刚度矩阵、位移向量和载荷向量;σ_p(

{\bar{ρ}}^{e r o}

)是求解有限元方程K^eroU^ero=F所得的p范数应力,其中K^ero和U^ero是腐蚀场对应结构的刚度矩阵和位移向量;整体体积约束与局部体积约束均考虑两场中体积更大的物理变量场

\bar{ρ}

,其中V_g为整体体积分数,V^*是整体体积约束上限值;

\bar{V}

为填充结构物理场的局部体积分数.为避免优化结果的物理结构出现单节点连接单元,自支撑约束施加在腐蚀变量场

{\bar{ρ}}^{e r o}

上,此外为同时满足物理结构的自支撑条件,物理变量场

\bar{ρ}

也需添加自支撑约束,因此将两场自支撑约束函数G相加组成两场自支撑约束^[7],根据式(16),变量场μ^ero由腐蚀变量场

{\bar{ρ}}^{e r o}

的薄壁外壳外部非设计域全部取1所得: ...

An evolutionary design approach to shell-infill structures

2020

Homogenization-based stiffness optimization and projection of 2D coated structures with orthotropic infill

2019

Multiscale design for additive manufactured structures with solid coating and periodic infill pattern

2019

Minimum compliance topology optimization of shell-infill composites for additive manufacturing

2017

... [11]的工作提出一种面向增材制造的自支撑壳-填充结构协同拓扑优化方法,该方法采用一种全新的增材制造自支撑约束,并通过优化结果后处理,能够得到刚度优异且满足增材制造工艺要求的壳-填充结构.上述填充结构拓扑优化方法能够设计具有优异比刚度的填充结构,但在优化过程中均未考虑结构强度,优化后的结构易出现应力集中从而导致结构断裂失效. ...

... 目前针对实体结构的应力相关优化方法已较为成熟,但针对多孔填充结构的应力相关优化方法研究相对较少.Yu等^[19]提出了一种考虑应力约束的壳-填充结构拓扑优化设计方法,通过对壳体与填充结构分别施加不同的强度准则,实现了最大应力可控的壳体与均匀多孔填充结构协同拓扑优化.然而该方法在给定多孔填充形式的基础上优化填充密度,优化过程中填充结构形式无法根据载荷条件进行调整,力学性能存在提升空间.与给定多孔填充形式的优化结果相比,采用非均匀多孔填充的优化结果具有更加优异的力学性能^[11],但目前尚未开展考虑非均匀多孔填充结构强度的拓扑优化方法研究. ...

Concurrent topology optimization of shells with self-supporting infills for additive manufacturing

2022

... 增材过滤器的基本原理如图2所示^[12,23],定义单元(i,j)下方相邻3个坐标为(i-1,j-1)、(i-1,j)、(i-1,j+1)的单元为该单元的支撑区域.如果单元(i,j)支撑区域的3个单元中至少一个单元为实体结构,单元(i,j)即满足自支撑条件.如果单元(i,j)不满足支撑条件,那么增材过滤器将移除该单元材料,通过自下而上逐层使用增材过滤器,最终能够实现满足自支撑条件的结构设计.增材过滤器的公式如下: ...

... 式中:μ_ij为增材过滤之前的单元;θ_ij为增材过滤之后的单元;根据文献[22],增材过滤器参数取为ε=10^-4,P=40,Q=P+lg 3/lg 0.5.

10.16183/j.cnki.jsjtu.2022.333.F0002

图2 支撑区域示意图<sup>[<xref ref-type="bibr" rid="b12">12</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="b23">23</xref>]</sup> Illustration of the support regions<sup>[<xref ref-type="bibr" rid="b12">12</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="b23">23</xref>]</sup>

Fig.2

自支撑约束思路如图3所示.为满足给定薄壁外壳的外部已由支撑结构提供良好支撑这一假设条件,首先按下式将物理变量场 $\bar{ρ}$ 的薄壁外壳外部非设计域全部取1置为实体得到变量场μ: ...

... [12,23]Fig.2

... 式中:I为单位向量;V_e为单元体积;ε_r=2×10^-5I^TI

{V_{e}}^{}

^[12]. ...

Topology optimization of continuum structures with local stress constraints

1998

... [13,15]、二次规划(QP)松弛方法^[16]和应力惩罚方法^[14]等.另一项关键难点是应力高度非线性特性问题^[14],应力的大小和分布受填充结构密度变化影响较为明显,这种现象在应力梯度较大的区域如高曲率结构边界处更为严重,采用适当的优化公式和求解算法^[17]能够有效提高拓扑优化应力响应的收敛稳定性^[4,18]. ...

Stress-based topology optimization for continua

2010

... [14]等.另一项关键难点是应力高度非线性特性问题^[14],应力的大小和分布受填充结构密度变化影响较为明显,这种现象在应力梯度较大的区域如高曲率结构边界处更为严重,采用适当的优化公式和求解算法^[17]能够有效提高拓扑优化应力响应的收敛稳定性^[4,18]. ...

... [14],应力的大小和分布受填充结构密度变化影响较为明显,这种现象在应力梯度较大的区域如高曲率结构边界处更为严重,采用适当的优化公式和求解算法^[17]能够有效提高拓扑优化应力响应的收敛稳定性^[4,18]. ...

... 引入插值格式η_s(

{\bar{ρ}}_{i}

)对单元von Mises应力

σ_{i}^{v M}

=[(

σ_{i}^{0}

)^TV

σ_{i}^{0}]^{\frac{1}{2}}

进行惩罚^[14],以避免出现应力奇异性问题,其中单元应力

σ_{i}^{0}

=DBu_i,D为弹性矩阵,B为应变矩阵,u_i为第i个单元对应的节点位移向量,V为von Mises应力系数矩阵, ...

... 式中:N为单元总数;p为应力范数的幂指数,用于控制p范数与实际最大值之间的近似程度,当p→∞时,σ_p趋近于实际的最大应力值,但p值过高会导致优化算法求解困难,而p值过小将导致p范数无法准确近似结构的最大应力,根据文献[14]取p=8. ...

Epsilon-relaxed approach in structural topology optimization

1997

On an alternative approach to stress constraints relaxation in topology optimization

2008

Stress-based topology optimization

1996

Evolutionary topology optimization of continuum structures with stress constraints

2019

Stress-constrained shell lattice infill structural optimisation for additive manufacturing

2020

Topology optimization of non-linear elastic structures and compliant mechanisms

2001

... 设计空间各区域均离散为相同大小的正方形单元,每个单元通过物理变量

\bar{ρ}

表示该处有结构(

{\bar{ρ}}_{e}

=1)或无结构(

{\bar{ρ}}_{e}

=0).为避免出现棋盘格和网格依赖现象,设计变量ρ经过密度过滤^[20]得到中间变量场

\tilde{ρ}

,密度过滤公式如下: ...

On projection methods, convergence and robust formulations in topology optimization

2011

... 为得到更加清晰的拓扑结构,中间变量场

\tilde{ρ}

经过投影^[21]得到物理变量场

\bar{ρ}

,投影公式如下: ...

... 相关研究表明^[21,23],在引入腐蚀变量场

{\bar{ρ}}^{e r o}

的情况下,如果优化目标选为腐蚀场与物理场的目标响应中更差的一项,约束响应选为腐蚀场与物理场的约束响应中倾向于更不满足约束的一项,腐蚀变量场

{\bar{ρ}}^{e r o}

与物理变量场

\bar{ρ}

的拓扑结构将相同,进而能够控制物理结构最小尺寸,避免优化结果中出现单节点连接结构. ...

An additive manufacturing filter for topology optimization of print-ready designs

2017

... 采用一种基于增材过滤器(AM filter)的自支撑约束^[22],保证内填充结构满足自支撑条件并能够从结构内部支撑给定薄壁外壳.给定薄壁外壳的外部是否满足支撑条件并非本文研究内容,因此假设给定薄壁外壳的外部已由支撑结构提供良好支撑. ...

... 式中:μ_ij为增材过滤之前的单元;θ_ij为增材过滤之后的单元;根据文献[22],增材过滤器参数取为ε=10^-4,P=40,Q=P+lg 3/lg 0.5. ...

Length scale and manufacturability in density-based topology optimization

2016

... 式中:μ_ij为增材过滤之前的单元;θ_ij为增材过滤之后的单元;根据文献[22],增材过滤器参数取为ε=10^-4,P=40,Q=P+lg 3/lg 0.5.

10.16183/j.cnki.jsjtu.2022.333.F0002

Fig.2

... ,23]Fig.2

... 相关研究表明^[21,23],在引入腐蚀变量场

{\bar{ρ}}^{e r o}

的情况下,如果优化目标选为腐蚀场与物理场的目标响应中更差的一项,约束响应选为腐蚀场与物理场的约束响应中倾向于更不满足约束的一项,腐蚀变量场

{\bar{ρ}}^{e r o}

与物理变量场

\bar{ρ}

的拓扑结构将相同,进而能够控制物理结构最小尺寸,避免优化结果中出现单节点连接结构. ...

The method of moving asymptotes—A new method for structural optimization

1987

... 步骤5 通过移动渐近线(MMA)算法^[24]更新设计变量. ...

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