基于差分热伏安法和高斯过程回归的锂离子电池健康状态估计

doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2023.141

基于差分热伏安法和高斯过程回归的锂离子电池健康状态估计

朱浩然¹^,², 陈自强^,¹, 杨德庆¹^,²

1.上海交通大学海洋工程国家重点实验室,上海 200240

2.上海交通大学三亚崖州湾深海科技研究院,海南三亚 572024

State of Health Estimation of Li-Ion Batteries Based on Differential Thermal Voltammetry and Gaussian Process Regression

ZHU Haoran¹^,², CHEN Ziqiang^,¹, YANG Deqing¹^,²

1. State Key Laboratory of Ocean Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China

2. SJTU Yazhou Bay Institute of Deepsea SCI-TECH, Shanghai Jiao Tong University, Sanya 572024, Hainan, China

通讯作者: 陈自强,研究员,博士生导师;E-mail:chenziqiang@sjtu.edu.cn.

责任编辑: 李博文

收稿日期: 2023-04-17 修回日期: 2023-07-25 接受日期: 2023-09-18

Received: 2023-04-17 Revised: 2023-07-25 Accepted: 2023-09-18

作者简介 About authors

朱浩然(1999—),硕士生,从事锂离子电池健康状态监测研究.

摘要

锂离子电池在工作过程中会发生容量衰退甚至恶化等现象,实现电池健康状态(SOH)的有效估计是电池管理系统发展的关键挑战.提出一种数据驱动模型与特征参数相融合的锂离子电池健康状态估计方法,使用差分热伏安(DTV)法对锂离子电池实验数据进行预处理,提取6个有用的特征,建立以不同核函数的两步高斯过程回归(GPR)为核心的SOH估计模型.结果表明,建立的模型能在更好地逼近实验值的同时缩短训练和预测时间,SOH估计的平均绝对误差在0.67%~0.97%之间,相比单步GPR降低了20%~30%.因此,该模型对锂离子电池健康状态的估计有较高的鲁棒性和准确性.

关键词： 锂离子电池; 健康状态; 差分热伏安法; 高斯过程回归

Abstract

Lithium-ion batteries experience capacity decline or even deterioration during the working process. Effective estimation of battery health status is a key challenge in the development of battery management systems. This paper proposes a method for estimating the state of health (SOH) of lithium-ion batteries based on the fusion of data-driven models and characteristic parameters. Using differential thermal voltammetry(DTV) to preprocess the experimental data of lithium-ion batteries, this method extracts six useful features, and establishes a SOH estimation model based on two-step Gaussian process regression (GPR) with different kernel functions. The results show that the established model can better approximate the experimental value and shorten the training and prediction time. The average absolute error of SOH estimation is 0.67%—0.97%, which is 20%—30% lower than that of single-step GPR. Therefore, the model has a high robustness and accuracy in estimating the state of health of lithium-ion batteries.

Keywords： lithium-ion battery; state of health (SOH); differential thermal voltammetry (DTV); Gaussian process regression (GPR)

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本文引用格式

朱浩然, 陈自强, 杨德庆. 基于差分热伏安法和高斯过程回归的锂离子电池健康状态估计[J]. 上海交通大学学报, 2024, 58(12): 1925-1934 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2023.141

ZHU Haoran, CHEN Ziqiang, YANG Deqing. State of Health Estimation of Li-Ion Batteries Based on Differential Thermal Voltammetry and Gaussian Process Regression[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2024, 58(12): 1925-1934 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2023.141

随着各种电子产品、电动汽车等新能源工具的快速发展,锂离子电池凭借循环寿命高、能量密度高、低自放电等优点,已成为便携式设备、电动交通工具的主要能量来源^[1-2].同时,在充放电过程中,锂离子电池内部会发生错综复杂的电化学反应,这些反应会导致锂电池正负极及电解液的分解,从而引起电池容量衰减、阻抗上升和安全性急剧下降^[3⇓-5].为表征电池的工作状态,研究人员提出一些可供电池使用、维护参考的指标,如荷电状态(state of charge, SOC)、健康状态(state of health, SOH)、功率状态(state of power, SOP)等^[6⇓-8].电池内部状态及化学反应的发生易受电池运行工况的影响,这使得准确估计电池SOH成为一个挑战^[9].目前,对电池SOH的估计方法主要可分为3类:特征参数法、基于模型的方法和数据驱动法^[10].

特征参数法主要通过提取与电池老化过程相关的特征量,建立与SOH之间的关系映射来进行估计.Goh等^[11]将电池电压曲线分为3个阶段,使用曲线曲率大小判断分割点,提取二、三阶段分割点等5个特征量,通过高斯过程回归(Gaussian process regression, GPR)、长短时记忆(long short-term memory, LSTM)和反向传播神经网络(back propagation neural network, BPNN)3种方法建立了特征值到SOH之间的映射,并对比了它们的不同;Maures等^[12]利用电压容量增量分析获得锂电池的充放电容量增量(incremental capacity, IC)曲线,基于IC曲线峰值的变化测量电池的SOH,并通过温度因素来验证方法的有效性;卢地华等^[13]通过在恒流充电末端提取等幅值电压充电时间序列和在恒压充电阶段前端提取等时间差电流平均值序列构建健康因子,并结合改进支持向量回归模型实现电池SOH的在线估计.为描述复杂的电池参数变化及防止单一特征量受工作环境影响变化,通常需提取多个特征参数,与数据处理模型相结合进行SOH的估计^[14].

基于模型的方法是根据电池物理化学原理建立的、能够反映锂电池内部退化机理的模型来描述电池老化过程,获取锂电池的SOH.目前常用的有电化学模型(electrochemical model, EM)、等效电路模型(equivalent circuit model, ECM)等.EM可用于描述电池内部化学反应,能对电池状态进行估计^[15],如Obregon等^[16]使用卷积自编码从电化学阻抗谱中自动提取特征后使用深度神经网络实现电池的SOH估计;ECM具有结构简单、计算效率高、辨识参数少等特点^[17],在电池管理系统(battery management system,BMS)中已得到很好的应用,如Sihvo等^[18]使用复非线性最小二乘法将测量得到的电池阻抗拟合到等效电路模型中,得到ECM参数与电池SOH退化相一致的结论.基于模型的方法能直观地反映电池工作时的电化学原理,但其SOH的估计精度依赖于模型的选择.

数据驱动的方法基于大量实验数据建立到机理模型的近似映射来对锂电池SOH进行估计.目前常用的方法有GPR、支持向量回归(support vector regression, SVR)、神经网络(artificial neural network, ANN)等.李超然等^[19]使用电池恒流-恒压充电过程中的电压、电流和温度曲线作为卷积神经网络的输入,实现电池SOH估计;Sui等^[20]提取不同正极的电的模糊熵(fuzzy entropy, FE)为特征,使用支持向量机(support vector machines, SVM)建立FE与SOH之间的映射,估计的SOH平均绝对百分误差在1.65%以下.数据驱动方法具有较高的实时性,可适应大部分SOH估计场合,但其对输入数据精度的依赖性较高.

目前,使用GPR进行电池SOH预测的方法多集中于单步单核函数,处理大量数据时,计算时间较长且不能根据方差来调整数据权重.融合特征参数法与数据驱动法对锂离子电池的SOH进行估计,提出一种基于两步GPR模型与差分热伏安(differential thermal voltammetry, DTV)法分析的SOH估计方法.使用DTV曲线描述电池特性参数变化,利用高斯滤波器对DTV曲线进行平滑处理,提取出曲线特征,使用皮尔森相关性分析后,选择与电池退化相关的参数.然后训练以带自动相关性确定(automatic relevance determination, ARD)的Matern 函数(Maternard)与各向同性有理二次协方差函数(RQiso)为核函数的两步GPR模型,一步GPR能更好地反映容量曲线的局部变化,初步建立特征参数变化与容量衰退之间的映射;二步GPR基于整体,能使一步GPR的输出在趋势和平滑度上更加逼近实验值,并依据方差调节每步GPR的数据权重,从而实现对电池SOH的估计.利用测试组对构建的两步GPR模型及单步GPR进行测试并对比,结果表明,两步GPR模型可以实现对锂离子电池SOH的精确估计,且精度和效率均高于单步GPR.

1 数据预处理

1.1 电池数据集

使用牛津大学电池退化数据集^[21-22],实验电池负极为石墨,正极为钴酸锂(LCO)与镍钴酸锂(NCO)的混合物,包括一组8个容量为740 mA的软包电池(Cell 1~Cell 8).在40 ℃的环境温度下对电池进行倍率为1C的恒流充放电,每100个周期采集时间、电压、电荷与表面温度4个特征数据,单个充放电循环的电流、电压、SOC与表面温度(θ)的变化如图1(a)所示,8个电池的容量变化曲线如图1(b)所示.由图可知,Cell 5电池容量在最后100个循环急剧下降,Cell 2与Cell 6在实验后期出现不稳定现象,其余电池容量衰减趋势稳定.因此,选择Cell 4和Cell 8为测试组,其余为训练组.

图1

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图1 牛津大学数据集电池循环参数及容量衰减曲线

Fig.1 Cycle parameters and capacity degradation curves of batteries in Oxford dataset

1.2 差分热伏安法

DTV方法在2015年由Wu等^[23]提出,可通过电池恒流充电过程中产生的熵热来追踪电池的老化,其计算公式为

(1)D=

\frac{d T / d t}{d V / d t}

\frac{d T}{d V}

式中:D为DTV的值;T为电池表面温度;V为电池端电压;t为采样时间.

在电池老化过程中,电极物质的相会发生变化,释放相变熵,这个微观过程会反映到电压和电池表面温度等参数上,即电极相变发生的点为DTV曲线的峰位或谷位,这些位置的纵坐标反映相变熵的大小,横坐标反映相变时的电压^[9].

为消除噪声的影响,通过取间隔一段时间的两个采样点的差分来计算k时刻的DTV的近似值.两个采样点的间隔越大,结果受噪声影响越小,但同时会忽略曲线的边缘细节;如间隔过小,则结果受噪声影响严重^[24].因此,依据经验,取S/15作为取样间隔,则

(2)D(k)≈

\frac{T (k) - T (k - S / 15)}{V (k) - V (k - S / 15)}

式中:S为采样点的数量.依据上述公式计算得到的DTV曲线如图2所示.

图2

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图2 Cell 1 DTV曲线

Fig.2 DTV curve of Cell 1

1.3 滤波方法

由图2可知,经过近似计算的DTV仍然保留了一部分噪声干扰,需将数据进一步进行滤波处理.由于DTV曲线的峰值和谷值是重要的特征,所以要保证滤波不会破坏原有曲线的形状.

高斯滤波器以高斯函数为权函数,通过假定数据服从高斯分布,将当前数据邻域,即平滑窗口内的数据进行加权平均,高斯函数公式如下:

(3)G(x)=

\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{a^{2}}{2 σ^{2}}}

式中:G(x)为输出信号;a为输入信号;σ为分布参数,即标准差.

使用高斯滤波方法对DTV曲线进行处理,如图3所示.可以看出高斯滤波后的曲线整体趋势与原曲线大致相同,虽然在图像头尾处有轻微失真,但不影响特征提取.

图3

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图3 DTV曲线及高斯滤波处理

Fig.3 DTV curve and Gaussian filtering process

2 特征提取及相关性分析

图4所示为DTV及特征曲线.特征参数与电池老化的相关程度及变化趋势的稳定与否关系到最终电池SOH估计结果的准确性,依据DTV曲线与电池老化之间的联系提取特征参数,并使用皮尔森相关性分析提取与电池老化相关的特征.

图4

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图4 DTV曲线及特征曲线

Fig.4 DTV curve and filtering process

2.1 特征选取

如图4(a)所示,电池老化过程中,DTV曲线存在较为明显的两个波峰及两个波谷,且波峰波谷的变化有一定趋势.其中,波峰的峰值随循环的进行而逐渐降低,横坐标呈递增趋势;而波谷的谷值逐渐升高,第1个波谷的横坐标呈递减趋势,第2个波谷的横坐标呈递增趋势.另外,在波峰、波谷之间,DTV为零点的横坐标同样呈递增趋势.基于DTV曲线的变化趋势,从DTV曲线中提取10个特征,如图4(b) 所示.分别提取波峰1与波谷1的横纵坐标、波谷1与波峰2之间DTV为零点的横坐标与斜率的绝对值、波峰2和波谷2的横纵坐标为特征参数,即(F₁,F₂)、(F₃,F₄)、(F₅,F₆)、(F₇,F₈)、(F₉,F₁₀),波峰、波谷及D=0点特征提取的数学表达式分别为

(4)

\begin{array}{l} V_{p e a k} = V_{i} |_{\frac{d D}{d V_{i}} = 0, f (V_{i}) \geq f (V_{k}), V_{k} \in (V_{i - 1}, V_{i + 1})} \\ D_{p e a k} = g (V_{p e a k}) \end{array}\}

(5)

\begin{array}{l} V_{v a l l e y} = V_{i} |_{\frac{d D}{d V_{i}} = 0, f (V_{i}) \leq f (V_{k}), V_{k} \in (V_{i - 1}, V_{i + 1})} \\ D_{v a l l e y} = g (V_{v a l l e y}) \end{array}\}

(6)

\begin{array}{l} V_{D = 0} = V_{i} |_{|f (V_{i})| \leq |f (V_{k})|, V_{k} \in (V_{v a l l e y 1}, V_{p e a k 2})} \\ J = |\frac{d D}{d V_{D = 0}}| \end{array}\}

式中:函数g为电池电压与DTV之间的映射:V_i_-1和V_i₊₁分别为取样点前一个和后一个的采样电压;J为DTV曲线斜率.

特征F₁~F₁₀随电池容量衰退的变化见图 4(c)~4(e).由图可知,由于原数据集去掉了一些采集失误的数据点,再加上电池老化后期采样点较少,在电池衰退后期特征参数出现随机性增大的现象.除却这些因素,提取的特征参数呈现较为明显的随电池容量变化的趋势,F₁、F₄、F₅、F₇、F₉、F₁₀与电池容量呈负相关,F₂、F₃、F₆、F₈与电池容量呈正相关,其中特征F₃、F₅、F₇、F₁₀的变化趋势更为平滑、稳定,拟合可逼近直线.

2.2 相关性分析

从GPR的求解方法可以推出,GPR通过核函数将非线性数据映射到高维空间转化为线性问题,因此在合适的参数下,GPR可用来实现线性回归.使用皮尔森相关系数对提取的F₁~F₁₀特征进行分析.皮尔森相关系数介于 -1 和1之间,越接近0相关性越低,用于衡量两个变量之间线性相关性的强弱和方向,是判断两个变量之间相关性的常用方法.皮尔森相关系数在数学上的定义为两个变量之间的协方差与标准差之积的商,公式如下:

(7)r=

\frac{c o v (X, Y)}{σ_{X} σ_{Y}}

\frac{\overset{n}{\sum_{i = 1}} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\overset{n}{\sum_{i = 1}} (X_{i} {- \bar{X})}^{2}} \sqrt{\overset{n}{\sum_{i = 1}} (Y_{i} {- \bar{Y})}^{2}}}

式中:cov(X,Y)为协方差函数;σ_X、σ_Y分别为两个变量的标准差; $\bar{X}$ 、 $\bar{Y}$ 分别为两个变量的均值;n为样本数量.Cell 2、Cell 3、Cell 6、Cell 7这4个电池的特征与容量相关性矩阵如图5所示,红色代表正相关,蓝色代表负相关,椭圆越扁说明相关性越强.由图可知,F₁、F₂、F₅、F₇、F₈、F₁₀与电池容量的衰退有较强的相关性, 因此选择这6个特征输入学习模型进行电池SOH估计.

图5

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图5 DTV曲线特征与电池容量相关性矩阵

Fig.5 Correlation matrix of DTV curve characteristics and battery capacity

3 数据处理方法

3.1 高斯过程回归

高斯过程是一系列服从高斯分布的随机数据的集合,GPR是1995由William等^[25]提出,使用高斯过程先验对输入的数据进行回归分析.GPR由一个均值函数和一个协方差函数唯一确定,如下式所示:

(8)

\begin{array}{l} m (x) = E (f (x)) \\ K (x, z) = \\ E [(f (x) - m (x)) (f (z) - m (z))] \end{array}\}

式中:f(x)为目标输出;x为输入的多个w维向量,文中为电池容量与特征参数组成的7维向量;E(·)为数学期望.

对于给定的输入集合x,输出f(x)符合高斯分布,可表示为

(9)f(x)~GP(m(x), K(x, z))

均值函数一般使用常数0,而由于协方差函数K(x, z)在GPR建模过程有极为重要的作用,所以被称为核函数.使用Maternard函数为第1步GPR的核函数,使用RQiso函数为第2步GPR的核函数,Maternard函数与RQiso函数的数学表达式分别为

(10)

\begin{array}{l} K_{M a t e r} = \frac{2^{1 - ν}}{Γ (ν)} {(\sqrt{2 ν} r)}^{ν} K_{ν} (\sqrt{2 ν} r) \\ r = \sqrt{{(x - z)}^{T} P_{M a t e r}^{- 1} (x - z)} \end{array}\}

(11)K_RQiso=

σ_{R Q i s o}^{2} {[1 + \frac{{(x - z)}^{T} P_{R Q i s o}^{- 1} (x - z)}{2 α}]}^{α}

式中:Г为伽马函数;K_ν为贝塞尔函数;P_Mater为对角线为ARD参数的矩阵,维度与输入x向量的元素数量相同;ν为非负参数,该核函数的超参数为ARD参数与标准差σ_Mater的对数;σ_RQiso为标准差;P_RQiso为单位矩阵;α为RQiso协方差函数的形状参数,故该核函数的超参数为σ_RQiso、P_RQiso的维度及α的对数.

由于输出值不可避免会受到噪声干扰,故需要在模型中添加高斯噪声:

(12)y=f(x)+ε, ε~N(0, σ²)

此时,观测值y的先验分布为

(13)y~N(m(x), K(x, z)+σ²I)

式中:ε为高斯噪声;I为单位矩阵.

通过高斯似然函数进行回归并使用共轭梯度法求出超参数的最优解,建立下式所示GPR模型:

(14)G(x)=

\frac{1}{\sqrt{2} σ_{G}^{2}}

exp

(- \frac{x - \bar{x}}{2 σ_{G}^{2}})

式中:σ_G为标准差.此时,可代入新数据进行预测,假设新数据为x^*,预测输出为y^*,则预测值与训练观测值的先验联合分布为

(15)

[\begin{array}{l} y \\ y^{*} \end{array}]

= N

(0, [\begin{array}{l} K (x, x) + σ^{2} I & K (x, x^{*}) \\ K (x^{*}, x) & K (x^{*}, x^{*}) \end{array}])

根据联合先验分布推出的后验分布为

(16)

\begin{array}{l} p (y^{*} | x, y, x^{*}) ~ N ({\bar{y}}^{*}, c o v (y^{*})) \\ {\bar{y}}^{*} = K (x^{*}, x) (K (x, x) + σ^{2} {I)}^{- 1} y \\ c o v (y^{*}) = K (x^{*}, x^{*}) - K (x^{*}, x) \times \\ [K (x^{*}, x) (K (x, x) + σ^{2} {I)}^{- 1}] K (x, x^{*}) \end{array}\}

式中:p(y^*|x, y, x^*)为条件概率密度.

3.2 模型训练

选择Cell 4及Cell 8为测试组,其余数据为训练组,将提取到的不同电池的特征参数F₁、F₂、F₅、F₇、F₈、F₁₀随机打乱后,通过两步GPR输出的方差对两组数据的比例分为S1和S2.根据经验,两步GPR的数据分配比例在1∶4~1∶3范围内能实现较为良好的SOH估计.

首先,使用S1及对应的容量训练Maternard核函数的GPR模型,建立特征参数到电池容量之间的映射,Maternard函数通过设置ARD参数来控制模型对对应参数的敏感性,能较好地反映参数的局部变化;其次,将S2输入到训练后的第一步GPR中,得到S2对应容量的估计值;最后,将其作为输入参数放到RQiso函数的GPR模型中,进行第二步回归得到最终结果.RQiso函数相对Maternard函数更着眼于整体变化趋势,能让结果更加平滑地逼近实验值.

GPR的训练和测试时间与输入参数数量和需要预测的参数数量直接相关,分别表示为T_train~o(h³)、T_test~o(h²h^*),其中h为输入训练参数的数量,h^*为输入预测参数的数量.在两步GPR中,预测参数数量h^*与单步GPR相同,但输入参数h₁、h₂的数量均小于GPR,因此两步GPR能减少训练和测试时间.

分别以Cell 4、Cell 8的特征参数向量作为输入,代入一步GPR中,将得到的中间输出再输入到两步GPR中得到最终结果,训练过程如图6所示.图中,使用K_M和K_RQ分别作为一步GPR和二步GPR的核函数;[x₁ $x_{1}^{*}$ y₁ $y_{1}^{*}$ ]和[x₂ $x_{2}^{*}$ y₂₁ $y_{2}^{*}$ ]分别为一步GPR和二步GPR的核函数的输入和输出.

图6

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图6 基于DTV和GPR的SOH估计框架

Fig.6 Framework of SOH estimation based on DTV and GPR

3.3 误差分析

采用绝对误差、平均绝对误差(Mean Absolute Deviation, MAE)和均方根误差(Root Mean Squared Error, RMSE)对估计数据进行误差分析,计算公式分别为

(17)α_error=

|u_{i, e s t} - u_{i, t r u e}|

(18)α_MAE=

\frac{1}{n} \overset{n}{\sum_{i = 1}} |u_{i, e s t} - u_{i, t r u e}|

(19)α_RMSE=

\sqrt{\frac{1}{n} \overset{n}{\sum_{i = 1}} (u_{i, e s t} - u_{i, t r u e})^{2}}

式中:u_i,_est为估计值;u_i,_true为实际值.

4 结果与讨论

基于牛津大学电池退化数据集,建立基于Maternard与RQiso为核函数的两步GPR模型,实现DTV特征参数到电池SOH间的映射.使用 Cell 4 与Cell 8的老化数据作为测试数据,对建立的两步GPR模型进行验证,证明该模型具有SOH的准确估计能力.

两步GPR模型及Maternard单核GPR模型对SOH的估计值如图7(a)、7(b)所示.由图可知,两种GPR模型在电池老化前期的估计精度大于老化后期,这与老化后期参数采集次数较小及电池数据不稳定有关.对比来看,两种模型都能较好地实现SOH的估计,但两步GPR的估计结果对真实值曲线的离散更小且更加精确.

图7

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图7 SOH估计及误差分析

Fig.7 Estimation and error analysis of SOH

不同模型误差的MAE、RMSE如图7(c)所示,Cell 4与Cell 8的两步GPR模型SOH估计值的MAE、RMSE分别为0.677%、0.549%与0.964%、0.709%,单步GPR模型的MAE、RMSE分别为1.033%、0.767%与1.173%、0.829%,分别降低了34.5%、28.4%和17.8%、14.5%.箱线图可以更为直观地表现两个电池在不同GPR模型下SOH估计的误差分布,如图7(d)所示,两步GPR模型的SOH估计误差更小且误差随机性更低.Cell 4的误差及误差随机性小于Cell 8,表明两步GPR与单步GPR一样,对于输入参数内插的数据估计有着较高的精度,而对外扩的数据估计则精度较低.

不同GPR模型下计算时间对比如图7(e)所示,图中单步GPR使用英特尔7代i5处理器,与MATLAB计算单步GPR和两步GPR的计算时间并进行对比.由于受到输入参数数量和数据准确性的影响,两步GPR的训练和测试时间相对单步GPR有着很明显的缩短,计算效率有很大提升.

5 结语

针对单步GPR存在计算量大、计算时间长及不能利用方差进行调节等问题,提出一种基于DTV分析和两步GPR的SOH估计方法.基于牛津大学退化数据集,计算得到的电池DTV曲线在经过高斯滤波后提取了包括峰值坐标在内的10个曲线特征;通过皮尔森相关性分析后,选择DTV曲线第1个波峰位置电压等6个与电池容量变化有较高线性相关性的特征,建立并训练以Maternard和 RQiso 为核函数的两步GPR模型,通过GPR的方差调节每步训练数据比例.将该方法与Maternard单核函数GPR进行对比,结果表明,两步GPR的RMSE和MAE相较单步GPR有较为明显的降低.因此,提出的锂离子电池SOH估计方法能为准确可靠的电池系统管理提供参考.

参考文献

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WANG

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Lithium battery state-of-health estimation via differential thermal voltammetry with Gaussian process regression

[J]. IEEE Transactions on Transportation Electrification, 2021, 7(1): 16-25.