上海交通大学学报

上海交通大学学报, 2023, 57(2): 177-182 doi: 10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.337

船舶海洋与建筑工程

双层Boussinesq水波方程速度公式的修正

刘忠波,1, 韩青亮1, 任双双1, 王彦1, 房克照2

1.大连海事大学 交通运输工程学院, 辽宁 大连 116026

2.大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室, 辽宁 大连 116024

Modification of Velocity Formulations in a Two-Layer Boussinesq-Type Model for Water Waves

LIU Zhongbo,1, HAN Qingliang1, REN Shuangshuang1, WANG Yan1, FANG Kezhao2

1. College of Transportation Engineering, Dalian Maritime University, Dalian 116026, Liaoning, China

2. State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, Liaoning, China

责任编辑: 孙启艳

收稿日期: 2021-09-6   修回日期: 2021-12-10   接受日期: 2021-12-16  

基金资助: 国家自然科学基金(52171247)
国家自然科学基金(51779022)
国家自然科学基金(52071057)

Received: 2021-09-6   Revised: 2021-12-10   Accepted: 2021-12-16  

作者简介 About authors

刘忠波(1976-),副教授,博士生导师,现主要从事波浪水动力研究;E-mail:liuzhongbo@dlmu.edu.cn.

摘要

为提高Boussinesq水波方程中的速度精度,以最高空间导数为2的双层Boussinesq方程为研究对象,提出增加带有常系数的三阶项以修正速度公式.适用水深在0<kh<8(k为波数,h为静水深)范围内,以方程的水平速度和垂向速度与Stokes线性波速度解析解的积分误差最小为目标,优化系数取值.在1%误差内,改进公式水平速度和垂向速度的适用水深kh分别为7.34和7.83,均比原计算公式适用范围大.利用数值模型对稳态波和聚焦波演化进行计算,将最大波峰下的水平速度分别与流函数解析解和试验结果进行对比,发现改进后的吻合程度更高,验证了改进公式的有效性.研究表明,改进公式的速度精度有较大幅度提高,该方法可为其他Boussinesq模型的速度场改进提供重要参考.

关键词： Boussinesq水波方程; 速度公式; 解析解; 数值模拟

Abstract

In order to improve the accuracy of velocity formulation in a Boussinesq-type wave model, with a two-layer Boussinesq-type model with the highest spatial derivative of 2 being chosen as the research object, a third-order term with constant coefficient is proposed to modify the velocity formulation. The coefficient is optimized by minimizing the error between the summation of the integration of horizontal and vertical velocities of the equation and that of the analytical linear Stokes wave velocity components in the range of 0<kh< 8 (where k is wave number, h is still water depth). At a 1% tolerance error, the applicable water depths of the modified formulations for horizontal and vertical velocities are up to kh=7.34 and kh=7.83, respectively, which are larger than those of the original formulations. The evolution of the steady-state wave and the focused wave is numerically simulated by using the numerical model. The horizontal velocity under the maximum surface elevation crest is in good agreements with the analytical solution of stream function and published experimental data, which verifies the effectiveness of the modified formulations. The studies show that the velocity accuracy of the improved equation is greatly improved. This method provides an important reference for the improvement of velocity field of other Boussinesq-type models.

Keywords： Boussinesq-type equation; velocity formulation; analytical solution; numerical simulation

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本文引用格式

刘忠波, 韩青亮, 任双双, 王彦, 房克照. 双层Boussinesq水波方程速度公式的修正[J]. 上海交通大学学报, 2023, 57(2): 177-182 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.337

LIU Zhongbo, HAN Qingliang, REN Shuangshuang, WANG Yan, FANG Kezhao. Modification of Velocity Formulations in a Two-Layer Boussinesq-Type Model for Water Waves[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2023, 57(2): 177-182 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.337

波浪是近岸水域重要的水动力之一,波浪力是海洋(海岸)工程结构设计中必须考虑的环境荷载,精准预报这一波浪条件是工程设计的前提.水平波浪力是波浪压力沿水深方向的积分,与波浪波面下的速度分布息息相关,因此对速度场的研究具有重要的学术和工程应用价值.

波浪速度的研究多采用理论分析、数值模型模拟和物理模型试验模拟等方法,其中数值模型模拟省时且成本低,是最常用的方式.作为一种典型的势流模型,多数Boussinesq方程将复杂的三维水波问题简化为二维问题,大大降低了模型求解难度,促使这类方程在海岸波浪水动力研究中得以长足发展.Boussinesq模型的理论发展经历了从弱非线性到强非线性等过程,最新方程的适用水深已得到大幅度拓展[1-2],甚至在Liu等[2]的研究中已完全摆脱了水深限制.文献[1]首次对两层水体中间位置的水平和垂直方向速度沿垂向坐标z做泰勒(Taylor)展开,进而利用计算速度取代中间位置处的速度,最终推导出最大空间导数为3的双层Boussinesq方程,该方程在1%误差内的最大适用水深达kh=53.1(k为波数,h为静水深);文献[2]进一步将文献[1]拓展成多层,并给出空间导数为2和5的多层Boussinesq水波方程,4层空间导数为5的方程在1%误差下的适用水深达kh=7600.关于Boussinesq水波方程在理论性能、数值格式和数值应用的研究进展可参见文献[3⇓-5].Madsen等[6]的最新研究认为多数高阶Boussinesq水波方程因色散精度不足,存在波谷不稳定的缺点,并证明了文献[2]最高导数为3的4层水波方程的稳定范围最大.

Liu等[7]分析了最高空间导数为2的多层Boussinesq水波方程的线性和非线性性能,1%误差内,2层模型色散适用水深(相速度)可达kh=19.7,而沿水深分布的水平速度的适用水深仅为kh=5.1,前者是后者的3.86倍;3层和4层色散适用水深分别是其水平速度的3.65倍和2.57倍,可见多层模型速度的适用水深远小于相速度,这一现象也存在于多数常用Boussinesq水波方程中.林鹏程等[8]针对不同非线性、不同水深情况和线性入射条件,研究了最高空间导数为3的单层Boussinesq水波方程垂向分布的速度特征,得出的速度分布与Stokes线性波、二阶波和三阶波解析解存在一定的差异;刘必劲等[9]采用单层Boussinesq水波方程模拟聚焦波和稳态波,发现单层Boussinesq水波方程能够胜任波面的模拟,但无法给出精确的速度轮廓.文献[8-9]采用的单层Boussinesq水波方程是文献[1]双层模型的简化版,相关模拟结果也说明单层Boussinesq水波方程的速度精度远小于色散精度.

最高空间导数为2的N层Boussinesq水波方程[2]的色散关系是Stokes波色散关系式的Padé[4N-2, 4N]型展开,对色散关系做泰勒展开则可确定相速度精确到kh的8N-4~8N次幂,而每一层速度沿水深分布的表达式中z的幂次仅为2,因此N层方程的速度最多可精确到kh的4N次幂,可见色散精度远高于速度精度.保持方程表达形式不变的情况下,如何弥补这一结果带来的差异,历史文献没有给出明确答案.因此,本文选择文献[2]中最高导数为2的双层Boussinesq水波方程作为研究对象,尝试提高速度表达式中z的幂次,以获得精度更高的速度场.

1 速度公式的修正

文献[2]将垂向水体分为2层,推导了最高导数为2的双层Boussinesq方程.在立面二维情况下,速度表达式分为从自由表面到静水位、从静水位到连接面以及连接面到水底共3段.

从静水位到连接面的速度场为

u(z)= u1*- 12(z-zα1)2-16(α1h)2u1xx*+(z-zα1)zα1xu1x*+(z-zα1) w1x*+ -13(z-zα1)α1h+(z-zα1)2zα1xw1xx*
w(z)= w1*- 12(z-zα1)2-16(α1h)2w1xx*+(z-zα1)zα1xw1x*-(z-zα1) u1x*- -13(z-zα1)α1h+(z-zα1)2zα1xu1xx*

式中:u, w为水平、垂向速度;z为垂向坐标,0点起始置于静水位处,向上为正;u1*, w1*为上层水体的水平、垂向计算速度,其与真实速度存在一个明确的数学表达关系式,引入计算速度的核心目的是改善方程的色散性能;下标x为对x求1次导,下标xx为对x求2次导;zα1=-α1h, zα2=-(2α1+α2)h,α1和α2是色散参数,满足α1+α2=0.5.

从连接面到水底的速度场为

u(z)= u2*- 12(z-zα2)2-16(α2h)2u2xx*+(z-zα2)zα2xu2x*+(z-zα2) w2x*+[- 13(z-zα2)α2 h(1- 2α12α1+α2)+(z-zα2)2]zα2xw2xx*
w(z)= w2*- 12(z-zα2)2-16(α2h)2w2xx*+(z-zα2)zα2xw2x*-(z-zα2) u2x*-[- 13(z-zα2)α2 h(1- 2α12α1+α2)+(z-zα2)2]zα2xu2xx*

式中:u2*, w2*为下层水体的水平和垂向速度.

从自由表面到静水位的速度场为

u(z)=u10+zw10x- 12z2u10xx
w(z)=w10-zu10x- 12z2w10xx

式中:u10, w10分别为静水位处的水平和垂向速度.

利用式(1)~(6)可以计算整个水体内的速度,而控制方程的表达形式保持不变[2,7],以下简称为文献[2]公式.为提高速度精度,在表达式(1)~(4)中引入乘以常数的3阶项,速度表达式可改写为

u(z)= u1*- 12(z-zα1)2-16(α1h)2u1xx*+(z-zα1)zα1xu1x*+(z-zα1) w1x*+ -13(z-zα1)α1h+(z-zα1)2zα1xw1xx*-β 16(z-zα1)3-16(α1h)2(z-zα1)w1xxx*
w(z)= w1*- 12(z-zα1)2-16(α1h)2w1xx*+(z-zα1)zα1xw1x*-(z-zα1) u1x*- -13(z-zα1)α1h+(z-zα1)2zα1xu1xx*+β 16(z-zα1)3-16(α1h)2(z-zα1)u1xxx*
u(z)= u2*- 12(z-zα2)2-16(α2h)2u2xx*+(z-zα2)zα2xu2x*+(z-zα2) w2x*+[- 13(z-zα2)α2 h(1- 2α12α1+α2)+(z-zα2)2]zα2xw2xx*-β 16(z-zα2)3-16(α2h)2(z-zα2)w2xxx*
w(z)= w2*- 12(z-zα2)2-16(α2h)2w2xx*+(z-zα2)zα2xw2x*-(z-zα2) u2x*-[- 13(z-zα2)α2 h(1- 2α12α1+α2)+(z-zα2)2]zα2xu2xx*+β 16(z-zα2)3-16(α2h)2(z-zα2)u2xxx*

式中:β为常系数,其取值需通过与速度解析解做优化获取.式(7)~(10)中最后一项是3阶导数项的修正,此3阶项可在方程推导过程中直接得到.当速度位于z=zα1,z=zα2时,该项自动为0;当不在这两处时,乘以β后相当于修正.式(5)~(10)简称为改进公式.

Sun等[10]研究发现,当色散参数α1取值范围在0.13~0.25时,方程的相速度、变浅性、二阶非线性和三阶非线性等性能在0<kh<10间,均具有较高精度.不失一般性,本文选用Liu等[7]给出的系数值α1=0.172,相应的α2=0.328.为确定新的系数,将方程速度场与Stokes线性波速度场做比较,以水深范围0<kh<(kh)max内垂向速度误差Fw(kh)与水平速度误差Fu(kh)的和最小为标准,即

Fv((kh)max)= 1(kh)max∫0(kh)max  [(Fu(kh))2+ (Fw(kh))2]d(kh)

水平速度误差和垂直速度误差采用Liu等[2]给出的表达式

Fu(kh)=1h∫-h0u(z)-us(z)us(0)2dzFw(kh)=1h∫-h0w(z)-ws(z)ws(0)2dz

式中:us(0)和ws(0) 为静水位处的水平和垂向速度;us(z)和 ws(z)为Stokes线性波速度场.取 0<kh<8,利用上式可优化得到β=0.78.

将本文的改进公式与文献[2]中的公式计算结果比较,如图1和图2所示. 由图可见,误差在1%内,改进公式的水平速度和垂向速度的最大适用水深分别为kh=7.34和kh=7.83,均超过文献[2]中公式的最大适用水深kh=5.1(水平速度)和kh=4.5(垂向速度),表明改进公式在理论层面上是有效的.

图1

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图1   水平速度的积分误差

Fig.1   Integrated error of horizontal velocity along water depth


图2

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图2   垂向速度的积分误差

Fig.2   Integrated error of vertical velocity along water depth


为进一步对比文献[2]中公式和改进公式的差异,给出kh=3.0,6.0,9.0时,沿垂向的速度分布与Stokes线性波速度解析解,如图3所示.伴随水深kh的增大,改进公式与文献[2]公式的差异也会越来越明显,解析解与本文改进公式的结果吻合程度更高.

图3

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图3   水平和垂向速度与Stokes线性波解析解比较

Fig.3   Comparisons of velocity profiles between numerical results and Stokes linear wave solution


2 数值模型及验证

2.1 数值模型

本文数值模型依赖的方程和文献[2]中原始方程相同,对应的数值模型在时间差分格式上采用了混合4阶Adams-Bashforth-Moulton的时间步进格式,空间差分格式采用中心差分格式,边界点上采用偏差公式.根据实际计算情况,可考虑在入射边界上采用线性边界造波技术、边界松弛造波技术或在域内采用内部造波技术,在传出边界上采用海绵边界层吸收波浪.具体过程可参考文献[2,7,11].

2.2 与流函数波浪速度场的比较

图3仅给出了线性波条件的速度解析对比,对于较强非线性情况下的速度场是否能够胜任,还需通过数值模拟加以印证.以流函数波浪速度为比较对象,利用解析解验证改进前后计算结果的差异,进一步验证本文公式的有效性.

设计静水深h分别为50 m和70 m的两个工况,流函数波浪周期为T=6 s、波高H=5 m.数值模拟中,L为流函数波浪对应的非线性波长,计算区域采用10L,空间步长采用L/32,时间步长采用0.05 s.改进公式和文献[2]公式计算结果与解析解的比较如图4所示,其中c为流函数波浪的相速度.与文献[2]公式相比,改进公式计算得到的速度场与解析解吻合程度更佳,特别是在水深为70 m时,波浪流函数的波长为60.171 m,反算得出kh=7.31.结合图1,当kh=7.31时,文献[2]公式的水平速度积分误差为1.83%,远大于改进公式的积分误差0.99%.数值结果表明,改进的速度场计算结果明显优于文献[2]公式的结果.

图4

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图4   计算波峰面下的速度场与波浪流函数解析速度场比较

Fig.4   Comparison of computed velocity profile with analytical solution of wave stream function under wave crest


2.3 聚焦波最大波峰面下的水平速度剖面

Baldock等[12]进行了深水聚焦波演化试验的研究,将最大和最小周期分为29份,每个频率的波幅取值相同,其中B组为宽谱,T=0.6~1.4 s,kh=1.568~7.825;D组为窄谱,T=0.8~1.2 s,kh=2.026~4.403.

为了模拟聚焦波生成的全过程,在入射边界处引入与试验类似的线性叠加方式,将整个数值计算域设为24 m,空间步长为0.04 m,时间步长为 0.01 s,末端设置4 m的海绵边界层以消波,总模拟时间为40 s,设定聚焦波峰面为55 mm的B组与D组进行数值模拟.Liu等[7]已建立了2层、3层和4层水波模型,模拟了文献[12]中D55和B55这两组非线性较强的工况,因波面计算结果仍与文献结果保持一致,故不再重复给出相关结果,本文重点比较改进公式和文献[2]公式的计算结果与这两组工况的试验结果,如图5~6所示.

图5

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图5   文献[2]公式和改进公式的计算水平速度剖面与D55工况试验结果的比较

Fig.5   Comparisons of calculated horizontal velocity profiles from the present formula and the original formula with D55 experimental data


图6

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图6   文献[2]公式和改进公式的计算水平速度剖面与B55工况试验结果的比较

Fig.6   Comparisons of calculated horizontal velocity profiles from the present formula and the original formula with B55 experimental data


由图可见,改进公式优于文献[2]公式的计算结果.D55窄谱情况下,波数范围在kh= 2.026~4.403之间,结合图1结果可知,文献[2]中水平速度在1%误差内适用的最大水深为kh=5.1,表明文献[2]公式也能满足所有频率的垂向积分误差都低于1%.因此,针对D55工况,改进前后的计算结果不存在明显差异.B55宽谱情况下,波数范围在kh=1.568~7.825之间,结合图1结果可知,在1%误差内,文献[2]中水平速度计算公式不能涵盖全部频域,kh=7.825的误差约为2%,本文水平速度在1%误差内适用的最大水深为kh=7.34,kh=7.825的误差约为1.14%,可见改进公式的多数频率范围的误差均能控制在1%左右,因此得到的速度剖面更为精确.在自由表面(波面)附近的结果比试验结果大,一方面数值模拟中的衰减现象比物理模型试验中的衰减现象弱;另一方面,物理模型试验中的测量方法很难精确捕捉到自由表面处的速度,其他一些学者采用势流理论模型进行求解也得到类似结果.在水底附近数值模拟的水平速度与试验结果存在一定差异,主要是数值模拟采用Boussinesq水波方程,其在物理机制上与物理模型试验中的衰减现象并不完全一致.

3 结论

提出一种改进方程速度精度的方法,即在双层Boussinesq水波方程的速度公式基础上,引入带有常系数β的三阶项,不改变原始Boussinesq水波方程,利用新的公式即可获取更高精度的速度场.通过理论分析和数值验证,主要得出以下结论:

(1) 双层Boussinesq水波方程的速度场可以在一定程度上得到改进,常系数β=0.78时,在1%误差内,水平速度和垂向速度的最大适用水深得到了较大幅度改进,其中水平速度由原来的kh=5.1提高到kh=7.34,垂向速度由原来的kh=4.5提高到kh=7.83.

(2) 利用模型模拟强非线性聚焦波和流函数波浪(稳态波)演化,发现改进的水平速度剖面与试验结果的吻合度更高,从数值角度展示了理论改进方式的有效性.

此外,本文的改进方法可为其他Boussinesq水波方程改进提供重要参考,有关详细的分析与讨论有待更深入的研究.

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