基于扰动块的柔性臂分布式滚动时域估计

doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.186

基于扰动块的柔性臂分布式滚动时域估计

徐晨辉, 俞芳慧, 何德峰^,

浙江工业大学信息工程学院, 杭州 310023

Disturbance-Blocking-Based Distributed Receding Horizon Estimation of Flexible Joint Robots

XU Chenhui, YU Fanghui, HE Defeng^,

College of Information Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China

通讯作者: 何德峰,男,教授,博士生导师,电话(Tel.):0571-88320367;E-mail:hdfzj@zjut.edu.cn.

责任编辑: 石易文

收稿日期: 2021-06-2

基金资助:

国家自然科学基金(61773345)
浙江省高校基本科研业务费项目(RF-C2020003)

Received: 2021-06-2

作者简介 About authors

徐晨辉(1996-),男,浙江省宁波市人,博士生,研究方向为鲁棒滚动时域估计.

摘要

针对柔性机械臂因在实际运动过程中易发生变形而需进行状态监测的问题,提出一种基于扰动块的分布式滚动时域估计算法.在分布式一致性滚动时域估计的基础上,通过设计扰动块并将其应用于估计窗口内的过程扰动序列,减少了与优化相关的变量,从而降低了算法的计算量,实现快速性.通过分析算法在最大分块长度下的可行性与收敛性,建立了保证算法的优化问题存在等价解的假设条件,并将结果推广到了过程扰动任意分块的情况.仿真结果表明:与不加扰动块的算法相比,所提算法能在不影响估计误差的前提下有效缩短计算时间.

关键词： 柔性机械臂; 状态估计; 滚动时域估计; 分布式估计; 扰动块

Abstract

Considering the state monitoring problem of flexible joint robots (FJRs) caused by the easy deformation in practice, a distributed receding horizon estimation algorithm based on disturbance blocks is proposed. Based on distributed consistent receding horizon estimation, the proposed algorithm reduces the computational amount and achieves rapidity by designing the disturbance block and applying it to the process disturbance sequence in the estimation window to reduce the variables related to optimization. By analyzing the feasibility and convergence of the proposed algorithm based on the maximum block length, the assumptions are made under which the existence of equivalent solution to the optimization problem of the algorithm is guaranteed, and the results are extended to the case that the process disturbance can be divided into arbitrary blocks. The simulation results show that the proposed algorithm can effectively shorten the computation time without affecting the estimation error compared with the algorithm without disturbance blocks.

Keywords： flexible joint robots (FJRs); state estimation; receding horizon estimation; distributed estimation; disturbance blocks

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本文引用格式

徐晨辉, 俞芳慧, 何德峰. 基于扰动块的柔性臂分布式滚动时域估计[J]. 上海交通大学学报, 2022, 56(7): 868-876 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.186

XU Chenhui, YU Fanghui, HE Defeng. Disturbance-Blocking-Based Distributed Receding Horizon Estimation of Flexible Joint Robots[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2022, 56(7): 868-876 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.186

近年来,柔性机械臂由于质量轻、可操作性强、安全性好等优点,引起了研究人员的高度关注^{[1⇓⇓⇓-5]},在航空^[6]、医疗^[7]、车载^[8]等多个领域得到了广泛应用.由于其自身材质等原因,柔性机械臂在运动过程中易产生弯曲、剪切等变形情况,进而会影响精度.所以在实际应用(尤其是航空、医疗等安全性要求极高的应用)中有必要对柔性机械臂的状态进行监测,通常可利用传感器测量来获得柔性臂的各个状态.然而传感器往往带有测量噪声,进而降低测得信息的准确度.此外,运行过程中产生的振动、移位等因素都会对系统造成不确定扰动,进而影响真实状态的测量.

处理上述问题的一种常用方法是状态估计,目前大量研究针对柔性臂设计了多种不同的观测器^[9⇓-11].文献[9]提出了一种扰动观测器,用于估计柔性臂电机侧的不确定性.文献[10]针对柔性臂存在不确定性和控制器所需状态不可测的问题,研究了基于径向基函数神经网络的观测器来估计系统的控制变量.柔性臂由于硬件设计方面的原因通常带有物理约束,然而上述观测器均没有考虑此类约束问题.近年来,滚动时域估计(MHE)由于可充分利用约束条件中包含的系统扰动信息和状态信息,成为了处理约束下动态系统估计问题的一种有效方法^[12].考虑具有多采样速率的移动机器人,文献[13]提出了一种基于滚动时域的机器人状态估计算法.文献[12] 和[14]针对系统不同类型的时延问题,提出了相应的滚动时域估计算法.

与集中式滚动时域估计^{[12⇓⇓⇓⇓⇓-18]}相比,分布式滚动时域估计凭借运算速度快、可伸缩性强、容错能力好等优点, 成为了估计领域的重点研究对象之一^{[19⇓⇓⇓⇓-24]}.在分布式框架下,相邻的局部估计器之间可通过信息交互来提升各自的估计性能.文献[19]通过对相邻节点的先验估计进行融合,提出了一种分布式滚动时域估计算法.在弱可观测条件下,该算法中所有节点的估计均可收敛于实际值.文献[20]在文献[19]的基础上通过对到达成本进行多步融合,保证了局部估计误差的一致性,提高了估计的瞬态性和稳定性.文献[22-23]研究了分布式滚动时域估计在传感器网络中的共识策略.文献[24]提出了处理网络时延和丢包问题的分布式滚动时域估计算法.

目前,绝大多数分布式滚动时域估计的研究都围绕整个系统模型展开,导致算法的计算量高度依赖于系统模型的复杂度.当系统规模扩大时,算法每个时刻的计算量也会随之增加.另一方面,基于滚动优化原理的模型预测控制也存在同样的问题.文献[25]发现通过引入“块”技术,可有效减少模型预测控制算法中优化变量的数量,进而降低算法的计算复杂度,减少在线计算占用的资源.文献[26]提出了输入分块(IB)、偏移量分块(OB)、增量输入分块(DIB)、增量偏移分块(DOB)等多种“块”策略.文献[27-28]设计了新的块结构与约束条件,从而保证了块策略下模型预测控制算法的可行性与稳定性.文献[29]成功将带有块策略的模型预测控制算法应用到实际生产过程中.

受上述研究启发,本文通过将块策略和分布式滚动时域估计结合,提出了一种基于扰动块的快速分布式滚动时域估计算法,并将其应用于柔性机械臂的状态监测过程.主要贡献有:① 将块策略应用于滚动估计窗口的过程扰动序列,减少了与优化问题相关的扰动变量,从而降低了计算量;② 基于系统状态方程,通过设计新的约束条件,建立了保证所提算法的优化问题具有等价解的假设条件,并将结果推广到了扰动任意分块的情况;③ 与未加入块结构的算法相比,所提算法可以有效缩短计算时间,同时不改变其在估计误差方面的性能.

1 问题描述

考虑如图1所示的单自由度柔性机械臂,其中:q₁,q₂分别为对应两个连接点的转角角度;m为连杆质量;L为连杆质心到关节的长度;J_L为柔性臂转动惯量;K为关节刚度系数;J_R为转子转动惯量.取 x=[q₁ ${\overset{\cdot}{q}}_{1}$ q₂ ${\overset{\cdot}{q}}_{2}$ ]^T为状态变量,u为已知控制输入,柔性机械臂线性状态方程可表示为^[1]

$\overset{\cdot}{x}$ =Ax+Bu

(1)

式中:A为系统状态矩阵;B为输入矩阵.

图1

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图1 单自由度柔性机械臂

Fig.1 Single-freedom flexible joint robot

考虑运动过程中带有的不确定性扰动w∈R⁴,R^a为a维实数集,采用一阶前向差分法对式(1)进行离散化,可得如下带有过程噪声的离散线性状态方程:

x_t₊₁=A'x_t+B'u_t+w_t

(2)

式中:

A'=

$[\begin{array}{l} 1 & T_{s} & 0 & 0 \\ (- m g L - K) T_{s} / J_{L} & 1 & K T_{s} / J_{L} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & T_{s} \\ K T_{s} / J_{R} & 0 & - K T_{s} / J_{R} & 1 \end{array}]$

B'=

$[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ T_{s} / J_{R} \end{array}]$

T_s为系统离散化周期,g为重力加速度;t为时刻;u_t为t时刻的控制输入;w_t为逆协方差矩阵为Q的高斯白噪声.x_t和w_t满足约束条件 x_t∈X, w_t∈W,X和W为已知紧凸集.

考虑使用M个传感器测量柔性臂的状态,传感器之间通过网络相连.传感器网络的通信拓扑可由(E, ε) 表示,其中E={1, 2, …, M}为拓扑中传感器节点的集合, ε⊆E×E为拓扑中连接传感器节点的边的集合.对于传感器i,E_i为其邻居传感器集合.传感器节点i∈E在t时刻的测量模型如下所示:

$y_{t}^{i}$ =Cⁱx_t+

$v_{t}^{i}$

(3)

式中: $y_{t}^{i}$ ∈R为t时刻第i个传感器的测量输出;Cⁱ为已知测量矩阵; $v_{t}^{i}$ ∈R为t时刻第i个传感器的测量噪声,同时假设其为逆协方差矩阵为γⁱ的高斯白噪声.对于所有i∈E,测量噪声 $v_{t}^{i}$ 与过程扰动w_t不相关,且满足约束条件 $v_{t}^{i}$ ∈V,V为已知紧凸集.

关于柔性臂的分布式状态估计问题可描述为在t时刻,每个传感器节点i∈E基于本地测量值 $y_{0}^{i}$ , $y_{1}^{i}$ , …, $y_{t}^{i}$ ,以及从所有邻居传感器节点j∈E_i处接收到的信息,估计系统状态x_t.

2 主要结果

以传感器节点i为例,基于分布式全信息估计(DFIE)的柔性臂系统状态估计问题可表示为以下二次规划问题:

$\underset{{\tilde{x}}_{0}^{i}, {{\tilde{w}}_{k}^{i}}_{k = 0}^{t - 1}}{m i n} φ_{t}^{i}$

${‖{\tilde{x}}_{0}^{i} - {\bar{x}}_{0}‖}_{P_{0}}^{2}$

$\overset{t}{\sum_{k = 0}} {‖{\tilde{v}}_{k}^{i}‖}_{γ^{i}}^{2}$

$\sum_{j \in E_{i}} \overset{t}{\sum_{k = 0}} {‖{\tilde{v}}_{k}^{j}‖}_{γ^{j}}^{2}$

$\overset{t - 1}{\sum_{k = 0}} {‖{\tilde{w}}_{k}^{i}‖}_{Q}^{2}$

(4)

s.t.

${\tilde{x}}_{k + 1}^{i}$

=A'

${\tilde{x}}_{k}^{i}$

+B'u_k+

${\tilde{w}}_{k}^{i}$

∈X

${\tilde{v}}_{k}^{j}$ =

$y_{k}^{j}$ -C^j

${\tilde{x}}_{k}^{i}$ ∈V,j∈E_i∪{i}, k∈I_0:_t

${\tilde{w}}_{k}^{i}$

∈W, k∈I_0:_t_-1

(5)

式中:正定矩阵P₀为先验状态 ${\bar{x}}_{0}$ 的逆协方差矩阵;I_a_:_b为整数集合{n|a≤n≤b}; ${\tilde{x}}_{0}^{i}$ 和 ${\tilde{w}}_{k}^{i}$ 分别为传感器节点i对系统状态x₀和过程扰动w_k的估计; ${\tilde{v}}_{k}^{j}$ 为传感器节点j的测量噪声 $v_{k}^{j}$ 的估计值;( ${\bar{x}}_{0}$ ,P₀)为传感器节点i对系统状态x₀的先验信息.则( ${\tilde{x}}_{0}^{i^{*}}$ , { ${\tilde{w}}_{k}^{i^{*}}}_{k = 0}^{t - 1}$ )为式(4)在t时刻的最优解.基于最优解和式(2),可获得最优状态估计序列{ ${\tilde{x}}_{k}^{i^{*}}}_{k = 0}^{t}$ .

全信息估计利用从初始时刻到当前时刻所有的测量数据生成状态估计,其计算量会随时间持续增大,因此这种估计方法被称为计算难解.为避免全信息估计带来的计算负担,通过使用滚动窗口中的信息替换过去的“完整信息”^[12],滚动时域估计将计算范围限制在了离当前时刻最近的固定时域内.然而MHE的计算量仍然与系统模型维度成正相关,且随窗口长度增大而增大.

针对此问题,本文引入“块”策略,通过在估计窗口的过程扰动估计序列中设计扰动块结构,令块结构内的扰动值相等以减少优化变量个数,降低计算量.t时刻传感器节点i估计窗口内基于块结构的扰动示意图如图2所示.其中:估计窗口内第N个扰动 ${\hat{w}}_{t - 1}^{i}$ 单独为一块,而前N-1个扰动可任意分块;S为前N-1个扰动的分块总数,满足S∈I_1:_N_-1;l_n为估计窗口内第n个扰动块,n∈I_1:_S;d_n为扰动块长度,满足d_n∈I_1:_N_-1. ${\hat{w}}_{t}^{i, n}$ 为同个扰动块内的优化变量值,其值相等;{ ${\bar{w}}_{t}^{i}$ ,}为估计窗口内分块后的扰动序列,={ $\otimes$ , $\otimes$ , …, $\otimes$ },1_a为由a个1构成的行向量; $\otimes$ 为克罗内克积.由此,将估计窗口内每一时刻需要求解的扰动变量个数减少至原来的(S+1)/N,降低了计算量.特别地, S=N-1等价于未分块的情况.

图2

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图2 基于块结构的扰动示意图

Fig.2 Diagram of blocking-based disturbance

通过将“块”结构引入分布式滚动时域估计,可得如下带有扰动块的分布式滚动时域估计:

$\underset{{\hat{x}}_{t - N}^{i}, {{\hat{w}}_{t}^{i, n}}_{n = 1}^{S}, {\hat{w}}_{t - 1}^{i}}{m i n} Φ_{t}^{i}$

$F_{t}^{i}$

$\overset{t - 1}{\sum_{k = t - N}} {‖{\hat{w}}_{k}^{i}‖}_{Q}^{2}$

$\overset{t}{\sum_{k = t - N}} {‖{\hat{v}}_{k}^{i}‖}_{γ^{i}}^{2}$

$\overset{t}{\sum_{k = t - N}}$

$\sum_{j \in E_{i}} {‖{\hat{v}}_{k}^{j}‖}_{γ^{j}}^{2}$

s.t.

${\hat{x}}_{k + 1}^{i}$

=A'

${\hat{x}}_{k}^{i}$

+B'u_k+

${\hat{w}}_{k}^{i}$

, k∈I_t_-_N_:_t_-1

${\hat{x}}_{t - 1}^{i}$

∈X,

${\hat{x}}_{t}^{i}$

∈X, i∈E

(6)

{

${\hat{w}}_{k}^{i}}_{k = t - N}^{t - 1}$ }={

${\bar{w}}_{t}^{i}$ ,

${\hat{w}}_{t - 1}^{i}$ },

${\hat{w}}_{t - 1}^{i}$ ∈W

${\hat{v}}_{k}^{j}$

$y_{k}^{j}$

-C^j

${\hat{x}}_{k}^{i}$

∈V,k∈I_t_-1:_t, j∈E_i∪{i}

(7)

式中: ${\hat{x}}_{k}^{i}$ ,{ ${\hat{w}}_{t}^{i, n}}_{n = 1}^{S}$ 和 ${\hat{w}}_{t - 1}^{i}$ 分别为k时刻系统状态估计和时域[t-N, t-1]内扰动的估计( ${\tilde{x}}_{k}^{i}$ 和 ${\hat{x}}_{k}^{i}$ 都表示状态估计,区别是求解的算法不同); $F_{t}^{i}$ 为到达代价,定义如下^[20]:

$F_{t}^{i}$ =

$\sum_{j \in E_{i} ⋃ {i}}$ πⁱ^,^j

${‖{\hat{x}}_{t - N}^{i} - {\bar{x}}_{t - N}^{j}‖}_{P_{t - N}^{j}}^{2}$

(8)

其中: ${\bar{x}}_{t - N}^{j}$ 和 $P_{t - N}^{j}$ 总结了传感器节点j在t-N时刻之前的历史信息,并将其概括为对t-N时刻系统状态的先验估计 ${\bar{x}}_{t - N}^{j}$ 及其逆协方差矩阵 $P_{t - N}^{j}$ ;πⁱ^,^j为共识权重,满足:

$\sum_{j \in E_{i} ⋃ {i}}$ πⁱ^,^j=1, π ⁱ^,^j≥0,∀i∈E, j∈E_i∪{i}

(9)

用于融合传感器节点i及其所有邻居传感器节点的到达代价.参考文献[20]的共识策略,在每个估计时刻对到达代价进行多次加权融合,以扩展信息的交换.

本文将分析加入扰动块与新约束后分布式滚动时域估计算法的可行性和收敛性,并给出先验估计 ${\bar{x}}_{t - N}^{i}$ 和逆协方差矩阵 $P_{t - N}^{i}$ 的迭代方程.

基于已有研究,未加入扰动块的分布式滚动时域估计算法的稳定性分析可参考文献[20].然而在估计窗口内引入块结构,并强制令块内的扰动值相等后,算法的可行性与收敛性便难以保证.本文所设扰动块结构中,对于估计窗口内前N-1个扰动可任意分块,通过加入新约束,设计与未加入块结构时等价的最优解来保证其估计性能,令估计窗口内最后一个过程扰动单独不分块,保证当前时刻状态的可行性.首先分析最大分块长度情况(S=1),即估计窗口内前N-1个扰动为1块,第N个扰动为1块,基于最大分块长度块结构的扰动示意图如图3所示.之后,将最大分块长度的分析结果推广至前 N-1个扰动可任意分块的情况.

图3

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图3 基于最大分块长度块结构的扰动示意图

Fig.3 Diagram of disturbance based on maximum blocking

最大分块长度下的分布式滚动时域估计问题可描述为以下二次规划问题:

$\underset{{\hat{x}}_{t - N}^{i}, {\hat{w}}_{t}^{i, 1}, {\hat{w}}_{t - 1}^{i}}{m i n} Φ_{t}^{i}$

$F_{t}^{i}$

$\overset{t - 1}{\sum_{k = t - N}} {‖{\hat{w}}_{k}^{i}‖}_{Q}^{2}$

$\overset{t}{\sum_{k = t - N}} {‖{\hat{v}}_{k}^{i}‖}_{γ^{i}}^{2}$

$\overset{t}{\sum_{k = t - N}}$

$\sum_{j \in E_{i}}$

${‖{\hat{v}}_{k}^{j}‖}_{γ^{j}}^{2}$

s.t.

${\hat{x}}_{k + 1}^{i}$

=A'

${\hat{x}}_{k}^{i}$

+B'u_k+

${\hat{w}}_{k}^{i}$

,k∈I_t_-_N_:_t_-1

(10)

${\hat{x}}_{t - 1}^{i}$

∈X,

${\hat{x}}_{t}^{i}$

∈X, i∈E}

${\hat{w}}_{k}^{i}}_{k = t - N}^{t - 1}$ ={

$1_{d_{1}}$

$\otimes$

${\hat{w}}_{t}^{i, 1}$ ,

${\hat{w}}_{t - 1}^{i}$ },

${\hat{w}}_{t - 1}^{i}$

∈W

${\hat{v}}_{k}^{j}$

$y_{k}^{j}$

-C^j

${\hat{x}}_{k}^{i}$

∈V,k∈I_t_-1:_t, j∈E_i∪{i}

(11)

在进一步讨论式(10)描述的优化问题之前,先给出下列定义和假设.

定义1 当t>N时,对满足约束的 ${\tilde{x}}_{t - N}$ ∈X,{ ${\tilde{w}}_{k}}_{k = t - N}^{t - 2}$ ∈W,若存在 ${\hat{x}}_{t - N}$ ∈X和{ ${\hat{w}}_{k}}_{k = t - N}^{t - 2}$ ,使等式 ${\tilde{x}}_{t - 1}$ =A^N^-1 ${\tilde{x}}_{t - N}$ + $\overset{t - 2}{\sum_{k = t - N}}$ A^t^-^k^-1 ${\tilde{w}}_{k}$ =A^N^-1 ${\hat{x}}_{t - N}$ + $\overset{t - 2}{\sum_{k = t - N}}$ A^t^-^k^-1 ${\hat{w}}_{k}$ 成立,则称( ${\hat{x}}_{t - N}$ , { ${\hat{w}}_{k}}_{k = t - N}^{t - 2}$ )为等价于( ${\tilde{x}}_{t - N}$ , { ${\tilde{w}}_{k}}_{k = t - N}^{t - 2}$ )的满足约束的系统等价解.

假设1 式(2)描述的柔性臂系统中,状态矩阵A' 满足:

rank ( $\overset{t - 2}{\sum_{k = t - N}}$ (A')^t^-^k^-1| $\overset{t - 2}{\sum_{k = t - N}}$ (A')^t^-^k^-1w_k)=rank( $\overset{t - 2}{\sum_{k = t - N}}$ (A')^t^-^k^-1)≤rank(A')

式中:扰动序列{w_k $}_{k = t - N}^{t - 2}$ ∈W.

假设2 式(2)描述的系统满足全局能观要求,即(C,A')可观,其中C=col(Cⁱ; i∈E).

假设3 传感器网络拓扑(E, ε)为强连接,即任意两个传感器节点i, j∈E之间均存在有向路径.

基于上述假设,定理1给出了最大分块长度下分布式滚动时域估计的可行性与收敛性分析.

定理1 若假设1~3成立,则式(10)描述的优化问题可行且收敛.

证明当t≤N时,分布式全信息估计存在可行解 ${\tilde{x}}_{0}^{i}$ ,{ ${\tilde{w}}_{k}^{i}}_{k = 0}^{N - 1}$ ,可得状态估计序列{ ${\tilde{x}}_{k}^{i}}_{k = 0}^{N}$ ∈X.当t>N时,未分块的分布式滚动时域估计存在可行解 ${\tilde{x}}_{t - N}^{i}$ ∈X和{ ${\tilde{w}}_{k}^{i}}_{k = t - N}^{t - 1}$ ∈W,可得t时刻状态估计 ${\tilde{x}}_{t}^{i}$ ∈X.考虑式(10),估计窗口内前N-1个扰动分为一块,满足 ${\hat{w}}_{t - N}^{i}$ = ${\hat{w}}_{t - N + 1}^{i}$ =…= ${\hat{w}}_{t - 2}^{i}$ ,第N个扰动 ${\hat{w}}_{t - 1}^{i}$ 单独不分块,基于假设1,式(10)描述的优化问题可找到等价解:

${\hat{x}}_{t - N}^{i}$ = ${\tilde{x}}_{t - N}^{i}$ ∈X

$\overset{t - 2}{\sum_{k = t - N}}$ (A')^t^-^k^-1 ${\hat{w}}_{k}^{i}$ = $\overset{t - 2}{\sum_{k = t - N}}$ (A')^t^-^k^-1 ${\tilde{w}}_{k}^{i}$

{ ${\hat{w}}_{k}^{i}}_{k = t - N}^{t - 2}$ ∈W

进而可得:

${\hat{x}}_{t - 1}^{i}$ =(A')^N^-1 ${\tilde{x}}_{t - N}^{i}$ + $\overset{t - 2}{\sum_{k = t - N}}$ (A')^t^-^k^-1 ${\tilde{w}}_{k}^{i}$ =

(A')^N^-1 ${\hat{x}}_{t - N}^{i}$ + $\overset{t - 2}{\sum_{k = t - N}}$ (A')^t^-^k^-1 ${\hat{w}}_{k}^{i}$ ∈X

根据定义1,可得式(10)的解等价于未分块时分布式滚动时域估计的优化问题的解.进一步,当 t>N,对任意i∈E,先验估计 ${\bar{x}}_{t - N}^{i}$ 和加权矩阵 $P_{t - N}^{i}$ 的迭代方程可参考文献[20],即

${\bar{x}}_{t - N}^{i}$ =A'

${\hat{x}}_{t - N - 1}^{i *}$

(12)

$P_{t - N}^{i}$ =

$\frac{α}{8}$ [A'(

$Ω_{t - N - 1}^{i}$ )^-1(A')^T+ϑ^-1]^-1

(13)

其中:

$\begin{aligned} \boldsymbol{\Omega}_{t-N}^{i}=& \pi_{j \in E}^{i, j} \boldsymbol{P}_{t-N}^{j}+\boldsymbol{\Lambda}^{i} \\ \boldsymbol{\Lambda}^{i}=&\left(\boldsymbol{L}^{i}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\psi}^{i} \boldsymbol{L}^{i}-\\ &\left(\boldsymbol{L}^{i}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\psi}^{i} \boldsymbol{H}^{i}\left[\left(\boldsymbol{H}^{i}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\psi}^{i} \boldsymbol{H}^{i}+2 \tilde{\boldsymbol{\omega}}\right]^{-1}\left(\boldsymbol{H}^{i}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\psi}^{i} \boldsymbol{L}^{i} \\ \boldsymbol{\psi}^{i}=& \operatorname{diag}(\underbrace{\left(\boldsymbol{\gamma}^{i}, \boldsymbol{\gamma}^{i}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}^{i}\right)}_{N+1}\\ \tilde{\boldsymbol{\omega}}=& \operatorname{diag}(\underbrace{\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{Q}, \boldsymbol{Q}}_{N}) \end{aligned}$

Hⁱ= $[\begin{array}{l} 0 & 0 & \dots & 0 \\ C^{i} & 0 & \dots & 0 \\ C^{i} A' & C^{i} & \dots & 0 \\ ︙ & ︙ & ︙ \\ C^{i} {(A')}^{N - 1} & C^{i} {(A')}^{N - 2} & \dots & C^{i} \end{array}]$

Lⁱ=[ $\begin{array}{l} C^{i} & C^{i} A' & \dots & C^{i} {(A')}^{N} \end{array}$ ]^T

式中: ${\hat{x}}_{t - N - 1}^{i *}$ 为t-1时刻的状态最优解;α为区间(0, 1)的标量;矩阵ϑ为正定矩阵; 0为合适维度的零矩阵;初始矩阵 $P_{0}^{i}$ 正定.取估计误差 $e_{t - N}^{i}$ =x_t_-_N- ${\hat{x}}_{t - N}^{i}$ ,由文献[20]可得, $e_{t - N}^{i}$ 一致有界,即存在一常数ζ >0,使得‖ $e_{t}^{i}$ ‖≤ζ, ∀i∈E, t≥0.特别地,若 w_t=0, $v_{t}^{i}$ =0,则 $\underset{t \to \infty}{l i m}$ ‖ $e_{t}^{i}$ ‖=0, i∈E.综上可得,式(10)的优化问题可行且收敛.

在定理1的基础上,将分析结果推广到过程扰动任意分块的情况,如推论1所示.

推论1 基于假设1~3,若将估计窗口内前N-1个扰动分为S块,S∈I_1:_N_-1,则式(6)的优化问题可行且收敛.

证明当S=1时,由定理1可得式(6)的优化问题可行且收敛.由块结构的原理可得,当S=1时,式(6)的解可作为S=2, 3, …, N-1时的一组可行解,即当S=2, 3, …, N-1时,式(6)至少存在一组可行解.参考定理1的证明过程可得,当S=2, 3, …, N-1时,式(6)可行且收敛.

综上所述,算法1总结了基于扰动块的分布式滚动时域估计的步骤.

算法1

(1) 初始化.在t=0时所有传感器节点存储先验估计 ${\bar{x}}_{0}$ 和逆协方差矩阵P₀,并设定估计窗口长度N、扰动块总数S及每块长度d_n,其中S∈I_1:_N_-1,n∈I_1:_S, $\sum_{n = 1}^{S}$ d_n=N-1.

(2) 当1≤t≤N,窗口长度N=t,所有传感器节点运行分布式全信息估计算法,求解式(4);当t>N时,传感器节点运行基于块结构的分布式滚动时域估计算法,求解式(6).

(3) 基于最优解以及式(2),计算t时刻的最优状态估计.

(4) 当t>N,所有传感器节点根据式(12)和(13)计算下一时刻的逆协方差矩阵 $P_{t - N + 1}^{i}$ 和先验估计 ${\bar{x}}_{t - N + 1}^{i}$ .

3 仿真验证

结合式(2)的单自由度柔性机械臂系统模型,取m=1 kg,g=9.8 m/s²,K=100 N·m,L=1 m,J_L=J_R=1 kg·m²,T_s=0.3 s,可以得到如下所示的4阶系统:

$[\begin{array}{l} x_{t + 1}^{1} \\ x_{t + 1}^{2} \\ x_{t + 1}^{3} \\ x_{t + 1}^{4} \end{array}]$ = $[\begin{array}{l} 0.1645 & 0.09992 & 0.5980 & 0.1712 \\ 6.2326 & 0.1645 & - 7.2043 & 0.5980 \\ 0.5980 & 0.1712 & 0.2231 & 0.1159 \\ - 7.2043 & 0.5980 & 5.5266 & 0.2231 \end{array}] [\begin{array}{l} x_{t}^{1} \\ x_{t}^{2} \\ x_{t}^{3} \\ x_{t}^{4} \end{array}]$ + $[\begin{array}{l} 0.0183 \\ 0.1712 \\ 0.0260 \\ 0.1159 \end{array}]$ u_t+ $[\begin{array}{l} w_{t}^{1} \\ w_{t}^{2} \\ w_{t}^{3} \\ w_{t}^{4} \end{array}]$

采用常规模型预测控制算法设计控制输入u,使得状态分量x¹,x³的轨迹跟踪周期为240、幅值为20的余弦曲线.因运行过程中考虑扰动,扰动由协方差Q^-1=diag[0.0012 0.038 0.0012 0.038]的高斯白噪声表示,且满足约束-2≤w^c≤2,c=1, 2, 3, 4.系统初始状态x₀=[20 0 20 0]^T,状态满足约束-22≤x¹≤22,-22≤x³≤22.到达代价的初始协方差 $P_{0}^{- 1}$ =100I₄(I₄为4×4维的单位矩阵),先验初始状态 ${\bar{x}}_{0}$ 服从均值为x₀、协方差为 $P_{0}^{- 1}$ 的正态分布.

采用如图4所示的传感器网络拓扑,其中:箭头方向表示传感器间信息可传递的路径;传感器1~4分别测量状态分量x¹~x⁴.测量模型如下所示:

$y_{t}^{1}$ =[ $\begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}$ ]x_t+ $v_{t}^{1}$

$y_{t}^{2}$ =[ $\begin{array}{l} 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}$ ]x_t+ $v_{t}^{2}$

$y_{t}^{3}$ =[ $\begin{array}{l} 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}$ ]x_t+ $v_{t}^{3}$

$y_{t}^{4}$ =[ $\begin{array}{l} 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}$ ]x_t+ $v_{t}^{4}$

其中:测量噪声vⁱ为协方差γⁱ=1的高斯白噪声.1号传感器可接收4号传感器的测量数据,故1号传感器可获得关于状态分量x¹和x⁴的信息;同理,2号、3号、4号传感器可分别获得关于状态分量x¹和x²、x²和x³、x³和x⁴的信息.

图4

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图4 传感器网络

Fig.4 Sensor network

取滚动时域窗口长度N=6,采用以下3种基于不同扰动块的分布式滚动时域估计算法.

算法 I 将估计窗口内每个扰动单独分块(S=N-1),其等价于不加入块结构的分布式滚动时域估计算法.

算法 II 将估计窗口内的扰动分为3块(S=2),每块长度分别取d₁=3,d₂=2,d₃=1,分块方式满足本文所设条件.

算法 III 将估计窗口内的扰动分为2块(即最大分块长度情况S=1),最后一个扰动单独为1块,前N-1个扰动为1块.

首先以算法 III 为例,仿真验证了本文所提算法的有效性.其次,结合上述3种算法,仿真对比了不同分块形式对算法估计性能和计算时间的影响.所有仿真均由MATLAB R2016b完成,搭配MS Windows 10 操作系统、2.4 GHz Intel(R) Core(TM) i5-4210U CPU及4 GB内存.

图5和6分别为基于算法III的柔性臂状态轨迹估计和估计误差,其中: e^c为状态分量x^c的估计误差.表1所示为各个传感器节点对各个状态分量估计的均方根误差(RMSE).由图5和6可以看出,基于算法 III,每个传感器节点能有效估计柔性臂的各个状态分量,且估计误差保持在固定范围内.由表1可知,针对同个状态分量,所有传感器节点的估计误差趋向于一致,这得益于所提算法采用的共识策略,即式(5)和(6).通过在每个时刻对到达代价进行多次融合,本地传感器节点可间接获得非邻居传感器节点的估计信息,进而提高估计的一致性.

图5

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图5 状态轨迹估计

Fig.5 Estimates of state trajectory

图6

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图6 估计误差

Fig.6 Estimation errors

表1 基于算法Ⅲ状态分量估计的均方根误差

Tab.1 RMSEs of state component estimation based on algorithm III

状态分量	传感器1 误差	传感器2 误差	传感器3 误差	传感器4 误差
x¹	0.2332	0.2239	0.2266	0.2324
x²	1.5689	1.2659	1.2533	1.5555
x³	0.2277	0.2402	0.2441	0.2301
x⁴	1.2241	1.4518	1.4605	1.2418

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对比算法 I、算法 II 和算法 III 各自所需计算时间及其估计性能,仿真结果如图7和8所示,其中: $e_{a}^{j}$ 为传感器对状态分量x^j的平均估计误差;t'为每个传感器节点的平均计算时间.表2所示为不同算法下状态估计的均方根误差以及每个传感器节点的平均计算时间(ACT).

图7

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图7 不同算法下状态分量平均估计误差对比

Fig.7 Comparison of average estimation errors of state component based on different algorithms

图8

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图8 不同算法平均计算时间对比

Fig.8 Comparison of ACTs of different algorithms

表2 不同算法平均计算时间与均方根误差对比

Tab.2 Comparison of ACTs and RMSEs of different algorithms

算法	传感器1 ACT/s	传感器2 ACT/s	传感器3 ACT/s	传感器4 ACT/s	RMSE
I	1.0101	1.0272	1.0222	1.0062	0.8318
II	0.4327	0.4382	0.4374	0.4373	0.8318
III	0.3093	0.3072	0.3051	0.3041	0.8318

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结合图7和表2的RMSE值可以发现,基于不同分块形式的分布式滚动时域估计算法的平均估计误差基本相同,这是因为本文所提算法的优化问题的解与未分块的具有等价性.通过对比图8和表2中算法所需的平均计算时间可知,分块形式对算法的计算时间有显著影响.在计算时间方面,算法 I>算法 II>算法 III,这是由于算法 I 将每个扰动单独分为1块,从而每一时刻需求解28个变量;算法 II 将扰动分为3块,从而每一时刻需求解16个变量;算法 III 将最后一个扰动单独分为1块,其余扰动为另一块,从而每一时刻只需求解12个变量.这使得在每一时刻的计算量方面,算法 I>算法 II>算法 III.由此, 说明了算法估计窗口中扰动分块的数量越少,每一时刻需求解的变量就越少,所需计算时间就越短.结合图7、8和表2可以发现,与未分块的分布式滚动时域估计算法相比,本文所提算法可以在不增大估计误差的基础上有效缩短计算时间,从而提高计算效率.

4 结语

本文研究了基于扰动块的快速分布式滚动时域估计算法及其在约束柔性机械臂系统中的应用.基于分布式一致性滚动时域估计算法,通过对估计窗口内的过程扰动序列进行分块,且强制令同一块内的扰动变量值相等,减少了每一时刻需求解的扰动变量个数,降低了算法的计算量.进一步,通过分析建立了假设条件,使得基于块结构的优化问题的解等价于未分块的优化问题的解,以此保证所提算法的可行性与稳定性.仿真结果表明,与未加入扰动块的分布式估计算法相比,基于扰动块的分布式滚动时域估计算法能在不影响估计精度的前提下有效缩短计算时间,从而提高估计效率.

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Modeling and control of elastic joint robots

1987

... 近年来,柔性机械臂由于质量轻、可操作性强、安全性好等优点,引起了研究人员的高度关注^{[1⇓⇓⇓-5]},在航空^[6]、医疗^[7]、车载^[8]等多个领域得到了广泛应用.由于其自身材质等原因,柔性机械臂在运动过程中易产生弯曲、剪切等变形情况,进而会影响精度.所以在实际应用(尤其是航空、医疗等安全性要求极高的应用)中有必要对柔性机械臂的状态进行监测,通常可利用传感器测量来获得柔性臂的各个状态.然而传感器往往带有测量噪声,进而降低测得信息的准确度.此外,运行过程中产生的振动、移位等因素都会对系统造成不确定扰动,进而影响真实状态的测量. ...

... 考虑如图1所示的单自由度柔性机械臂,其中:q₁,q₂分别为对应两个连接点的转角角度;m为连杆质量;L为连杆质心到关节的长度;J_L为柔性臂转动惯量;K为关节刚度系数;J_R为转子转动惯量.取 x=[q₁

${\overset{\cdot}{q}}_{1}$

q₂

${\overset{\cdot}{q}}_{2}$

]^T为状态变量,u为已知控制输入,柔性机械臂线性状态方程可表示为^[1] ...

Model-free friction observers for flexible joint robots with torque measurements

2019

Adaptive fuzzy tracking control of flexible-joint robots based on command filtering

2020

Full-state tracking control for flexible joint robots with singular perturbation techniques

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一种面向航天需求的仿生柔性机械臂的设计

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Extended high-gain observer based adaptive control of flexible-joint surgical robot

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车载柔性机械臂系统轨迹跟踪补偿控制研究

2016

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2016

Disturbance-observer-based PD control of flexible joint robots for asymptotic convergence

2015

... 处理上述问题的一种常用方法是状态估计,目前大量研究针对柔性臂设计了多种不同的观测器^[9⇓-11].文献[9]提出了一种扰动观测器,用于估计柔性臂电机侧的不确定性.文献[10]针对柔性臂存在不确定性和控制器所需状态不可测的问题,研究了基于径向基函数神经网络的观测器来估计系统的控制变量.柔性臂由于硬件设计方面的原因通常带有物理约束,然而上述观测器均没有考虑此类约束问题.近年来,滚动时域估计(MHE)由于可充分利用约束条件中包含的系统扰动信息和状态信息,成为了处理约束下动态系统估计问题的一种有效方法^[12].考虑具有多采样速率的移动机器人,文献[13]提出了一种基于滚动时域的机器人状态估计算法.文献[12] 和[14]针对系统不同类型的时延问题,提出了相应的滚动时域估计算法. ...

... .文献[9]提出了一种扰动观测器,用于估计柔性臂电机侧的不确定性.文献[10]针对柔性臂存在不确定性和控制器所需状态不可测的问题,研究了基于径向基函数神经网络的观测器来估计系统的控制变量.柔性臂由于硬件设计方面的原因通常带有物理约束,然而上述观测器均没有考虑此类约束问题.近年来,滚动时域估计(MHE)由于可充分利用约束条件中包含的系统扰动信息和状态信息,成为了处理约束下动态系统估计问题的一种有效方法^[12].考虑具有多采样速率的移动机器人,文献[13]提出了一种基于滚动时域的机器人状态估计算法.文献[12] 和[14]针对系统不同类型的时延问题,提出了相应的滚动时域估计算法. ...

Neuro-adaptive observer based control of flexible joint robot

2018

... ]提出了一种扰动观测器,用于估计柔性臂电机侧的不确定性.文献[10]针对柔性臂存在不确定性和控制器所需状态不可测的问题,研究了基于径向基函数神经网络的观测器来估计系统的控制变量.柔性臂由于硬件设计方面的原因通常带有物理约束,然而上述观测器均没有考虑此类约束问题.近年来,滚动时域估计(MHE)由于可充分利用约束条件中包含的系统扰动信息和状态信息,成为了处理约束下动态系统估计问题的一种有效方法^[12].考虑具有多采样速率的移动机器人,文献[13]提出了一种基于滚动时域的机器人状态估计算法.文献[12] 和[14]针对系统不同类型的时延问题,提出了相应的滚动时域估计算法. ...

Model-free friction observers for flexible joint robots with torque measurements

2019

Moving horizon estimation for networked time-delay systems under round-robin protocol

2019

... ]提出了一种基于滚动时域的机器人状态估计算法.文献[12] 和[14]针对系统不同类型的时延问题,提出了相应的滚动时域估计算法. ...

... 与集中式滚动时域估计^{[12⇓⇓⇓⇓⇓-18]}相比,分布式滚动时域估计凭借运算速度快、可伸缩性强、容错能力好等优点, 成为了估计领域的重点研究对象之一^{[19⇓⇓⇓⇓-24]}.在分布式框架下,相邻的局部估计器之间可通过信息交互来提升各自的估计性能.文献[19]通过对相邻节点的先验估计进行融合,提出了一种分布式滚动时域估计算法.在弱可观测条件下,该算法中所有节点的估计均可收敛于实际值.文献[20]在文献[19]的基础上通过对到达成本进行多步融合,保证了局部估计误差的一致性,提高了估计的瞬态性和稳定性.文献[22-23]研究了分布式滚动时域估计在传感器网络中的共识策略.文献[24]提出了处理网络时延和丢包问题的分布式滚动时域估计算法. ...

... 全信息估计利用从初始时刻到当前时刻所有的测量数据生成状态估计,其计算量会随时间持续增大,因此这种估计方法被称为计算难解.为避免全信息估计带来的计算负担,通过使用滚动窗口中的信息替换过去的“完整信息”^[12],滚动时域估计将计算范围限制在了离当前时刻最近的固定时域内.然而MHE的计算量仍然与系统模型维度成正相关,且随窗口长度增大而增大. ...

Moving horizon estimation for mobile robots with multirate sampling

2017

Receding horizon estimation for linear discrete-time systems with multi-channel observation delays

2019

Reset moving horizon estimation for quantized discrete time systems

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网联车辆协同巡航系统快速滚动时域状态估计

2021

网联车辆协同巡航系统快速滚动时域状态估计

2021

带丢包和量化的参数不确定系统滚动时域估计

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带丢包和量化的参数不确定系统滚动时域估计

2020

测量数据丢失的随机不确定系统滚动时域估计

2021

测量数据丢失的随机不确定系统滚动时域估计

2021

Distributed moving horizon estimation for linear constrained systems

2010

... .在分布式框架下,相邻的局部估计器之间可通过信息交互来提升各自的估计性能.文献[19]通过对相邻节点的先验估计进行融合,提出了一种分布式滚动时域估计算法.在弱可观测条件下,该算法中所有节点的估计均可收敛于实际值.文献[20]在文献[19]的基础上通过对到达成本进行多步融合,保证了局部估计误差的一致性,提高了估计的瞬态性和稳定性.文献[22-23]研究了分布式滚动时域估计在传感器网络中的共识策略.文献[24]提出了处理网络时延和丢包问题的分布式滚动时域估计算法. ...

... ]在文献[19]的基础上通过对到达成本进行多步融合,保证了局部估计误差的一致性,提高了估计的瞬态性和稳定性.文献[22-23]研究了分布式滚动时域估计在传感器网络中的共识策略.文献[24]提出了处理网络时延和丢包问题的分布式滚动时域估计算法. ...

Distributed moving-horizon estimation with arrival-cost consensus

2019

... ]通过对相邻节点的先验估计进行融合,提出了一种分布式滚动时域估计算法.在弱可观测条件下,该算法中所有节点的估计均可收敛于实际值.文献[20]在文献[19]的基础上通过对到达成本进行多步融合,保证了局部估计误差的一致性,提高了估计的瞬态性和稳定性.文献[22-23]研究了分布式滚动时域估计在传感器网络中的共识策略.文献[24]提出了处理网络时延和丢包问题的分布式滚动时域估计算法. ...

... 式中:

${\hat{x}}_{k}^{i}$

${\hat{w}}_{t}^{i, n}}_{n = 1}^{S}$

和

${\hat{w}}_{t - 1}^{i}$

分别为k时刻系统状态估计和时域[t-N, t-1]内扰动的估计(

${\tilde{x}}_{k}^{i}$

和

${\hat{x}}_{k}^{i}$

都表示状态估计,区别是求解的算法不同);

$F_{t}^{i}$

为到达代价,定义如下^[20]: ...

... 用于融合传感器节点i及其所有邻居传感器节点的到达代价.参考文献[20]的共识策略,在每个估计时刻对到达代价进行多次加权融合,以扩展信息的交换. ...

... 基于已有研究,未加入扰动块的分布式滚动时域估计算法的稳定性分析可参考文献[20].然而在估计窗口内引入块结构,并强制令块内的扰动值相等后,算法的可行性与收敛性便难以保证.本文所设扰动块结构中,对于估计窗口内前N-1个扰动可任意分块,通过加入新约束,设计与未加入块结构时等价的最优解来保证其估计性能,令估计窗口内最后一个过程扰动单独不分块,保证当前时刻状态的可行性.首先分析最大分块长度情况(S=1),即估计窗口内前N-1个扰动为1块,第N个扰动为1块,基于最大分块长度块结构的扰动示意图如图3所示.之后,将最大分块长度的分析结果推广至前 N-1个扰动可任意分块的情况. ...

Distributed moving horizon state estimation of two-time-scale nonlinear systems

2017

Distributed receding horizon estimation for sensor networks with improved consensus strategy

2014

... ]的基础上通过对到达成本进行多步融合,保证了局部估计误差的一致性,提高了估计的瞬态性和稳定性.文献[22-23]研究了分布式滚动时域估计在传感器网络中的共识策略.文献[24]提出了处理网络时延和丢包问题的分布式滚动时域估计算法. ...

Distributed moving horizon estimation with pre-estimating observer

2020

... -23]研究了分布式滚动时域估计在传感器网络中的共识策略.文献[24]提出了处理网络时延和丢包问题的分布式滚动时域估计算法. ...

Distributed moving horizon state estimation: Simultaneously handling communication delays and data losses

2015

... ]研究了分布式滚动时域估计在传感器网络中的共识策略.文献[24]提出了处理网络时延和丢包问题的分布式滚动时域估计算法. ...

Improving computational efficiency of model predictive control algorithm using wavelet transformation

1995

... 目前,绝大多数分布式滚动时域估计的研究都围绕整个系统模型展开,导致算法的计算量高度依赖于系统模型的复杂度.当系统规模扩大时,算法每个时刻的计算量也会随之增加.另一方面,基于滚动优化原理的模型预测控制也存在同样的问题.文献[25]发现通过引入“块”技术,可有效减少模型预测控制算法中优化变量的数量,进而降低算法的计算复杂度,减少在线计算占用的资源.文献[26]提出了输入分块(IB)、偏移量分块(OB)、增量输入分块(DIB)、增量偏移分块(DOB)等多种“块”策略.文献[27-28]设计了新的块结构与约束条件,从而保证了块策略下模型预测控制算法的可行性与稳定性.文献[29]成功将带有块策略的模型预测控制算法应用到实际生产过程中. ...

Move blocking strategies in receding horizon control

2007

Optimal move blocking strategies for model predictive control

2015

Move blocked model predictive control with improved optimality using semi-explicit approach for applying time-varying blocking structure

2020

Move blocking strategy applied to re-entrant manufacturing line scheduling

2015

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