一种分析膜面在积水荷载作用下响应的数值模型

doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.152

一种分析膜面在积水荷载作用下响应的数值模型

王沙沙, 张翔宇, 邱国志^,, 龚景海

上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院,上海 200240

A Numerical Model for Analysing Response of Membrane Surface Under Ponding Load

WANG Shasha, ZHANG Xiangyu, QIU Guozhi^,, GONG Jinghai

School of Naval Architecture, Ocean and Civil Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China

通讯作者: 邱国志,女,副教授,电话(Tel.): 021-34207985;E-mail:qiugz@sjtu.edu.cn.

责任编辑: 陈晓燕

收稿日期: 2021-05-8

基金资助:

国家自然科学基金(51978395)

Received: 2021-05-8

作者简介 About authors

王沙沙(1995-),女,河南省周口市人,硕士生,主要从事膜结构分析研究.

摘要

结合光滑粒子流体动力学(SPH)方法和膜材非线性本构,提出了一种分析膜面在积水荷载作用下响应的数值模型.通过不同应力比的双轴拉伸试验得到膜材的应力-应变响应面,建立膜材的非线性本构模型,并使用SPH粒子模拟水,建立膜面与水的流固耦合数值模型.通过网格收敛性分析确定了文中采用的网格尺寸,分析了加载时长对计算结果的影响.同时分析了膜面的应力和应变的分布规律.结果表明,加载过程随加载时长的增加越来越稳定,且100 s能满足分析需求.将数值模拟结果与平膜积水试验结果进行比较,膜面的最大竖向变形吻合较好,验证了所提方法的可靠性.

关键词： 膜; 积水; 光滑粒子流体动力学; 非线性本构; 数值模型

Abstract

A numerical model to analyze the response of the membrane surface under ponding load is propesed which combines the smoothed particle hydrodynamics (SPH) method and the non-linear constitutive model of the membrane material. According to the stress-strain response surface of the membrane material based on the biaxial tensile test with different stress ratios, a nonlinear constitutive model is established. SPH particles are used to simulate water, and a numerical model of the fluid-solid coupling between the membrane surface and ponding load is established. The mesh size adopted in this paper is determined by verifying the mesh convergence, and the influence of the loading time on the calculation results is analyzed. At the same time, the distribution law of stress and strain of the membrane surface are analyzed. The results show that the loading process becomes increasingly stable with the increase of the loading time, and 100 s can meet the analysis requirements.The numerical simulation results are compared with those of the flat membrane ponding test. It is found that the maximum vertical deformation of the membrane surface is in good agreement, which verifies the reliability of the method proposed in this paper.

Keywords： membrane; ponding water; smoothed particle hydrodynamics (SPH); nonlinear constitutive; numerical model

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本文引用格式

王沙沙, 张翔宇, 邱国志, 龚景海. 一种分析膜面在积水荷载作用下响应的数值模型[J]. 上海交通大学学报, 2022, 56(6): 730-738 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.152

WANG Shasha, ZHANG Xiangyu, QIU Guozhi, GONG Jinghai. A Numerical Model for Analysing Response of Membrane Surface Under Ponding Load[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2022, 56(6): 730-738 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.152

膜结构由于具有轻质、高强、美观等优点而广泛应用于体育馆、游泳馆等建筑^[1].膜结构为柔性结构,在平面外荷载作用下,容易产生较大变形,比一般建筑结构更容易积水,进而产生袋状效应,引起膜面破坏或结构坍塌^[2-3],因此膜结构找形设计时应考虑足够的排水坡度.但对于大跨充气膜结构等,其顶部不可避免地会存在较大平缓段,存在积水安全隐患^[4].所以研究膜面在积水作用下的响应(如变形和应力)对实际工程具有十分重要的意义.

膜材作为一种复合材料,合适的本构模型能有效地反映膜材的力学性能,是膜结构受力分析的关键.目前,主要通过单轴拉伸试验和双轴拉伸试验测量膜材的力学性能.大多数设计指南和规范推荐使用基于平面应力正交各向异性的假设,采用最小二乘法计算弹性参数^[5⇓-7].但随着人们对分析结果要求的提高,单一不变的弹性参数已不能满足使用需求.Gao等^[8⇓-10]通过不同经纬向应力比的双轴拉伸试验数据得到经纬向应力-应变响应面和弹性参数响应面,并通过Abaqus的UMAT子程序实现非线性本构,理论分析模型与实验数据的吻合体现出该方法的优越性.

膜面的积水过程涉及膜面大变形、水和膜面的耦合作用.一些学者采用理论分析和试验研究了积水作用下的膜面响应,吴明儿等^[2]使用ANSYS软件分析了正方形平面膜和气枕膜的积水承载能力以及不同跨度和矢跨比对积水过程的影响.张影等^[11]基于向量式有限元提出了膜结构的破坏准则,分析了强降雨作用下充气膜结构积水过程的发展和破坏模式.文献[12]将膜结构求解器和体积守恒求解器耦合,给出了整体和分区方法计算给定积水体积下膜结构的静态变形.以上分析均是基于变形和荷载相互影响的迭代算法模拟积水过程,但模拟过程比较复杂.目前Abaqus等商业软件可以同时处理非线性大变形和流固耦合的问题,如显式动力学模块中光滑粒子流体动力学 (SPH) 方法.

为了能够得到膜面在积水荷载作用下更为精确的响应分析结果,本文将SPH方法和膜材非线性本构模型相结合,用光滑粒子模拟水,使用平滑分析步,从而得到一种分析积水荷载作用下膜面响应的数值模型,并将数值分析的最大变形与试验结果进行了对比分析,验证了本文提出的数值模型的适用性和可靠性.

1 非线性本构模型

1.1 双轴拉伸试验

双轴拉伸试验使用Ferrari 1202 S2膜材,试件为十字形,在上海交通大学研制的双轴拉伸试验机上进行^[9].考虑不同应力比的影响,试验选取了9组应力比(1∶1、1∶2、2∶1、1∶3、3∶1、1∶5、5∶1、1∶0、0∶1),每组应力比采用一个全新试件进行单次拉伸直至破坏,加载前设置1.25 kN/m的预应力,保证试件不会松弛.

1.2 应力-应变响应面

使用常用的二元二次多项式对试验数据进行拟合^[8]:

(1)

\begin{array}{l} σ_{w} = z_{1} + a_{1} ε_{w} + b_{1} ε_{f} + c_{1} ε_{w}^{2} + d_{1} ε_{w} ε_{f} + e_{1} ε_{f}^{2} \\ σ_{f} = z_{2} + a_{2} ε_{w} + b_{2} ε_{f} + c_{2} ε_{w}^{2} + d_{2} ε_{w} ε_{f} + e_{2} ε_{f}^{2} \end{array}\}

式中:σ_w、σ_f分别为膜面经向及纬向应力;z₁、a₁、b₁、c₁、d₁、e₁为膜面经向多项式系数;z₂、a₂、b₂、c₂、d₂、e₂为膜面纬向多项式系数;ε_w、ε_f分别为膜面经向及纬向应变.各系数取值如表1所示.经向应力-应变响应面和纬向应力-应变响应面拟合均方差分别为0.987和0.986,拟合结果如图1所示.

表1 应力-应变响应面系数

Tab.1 Stress-strain response surface coefficients

方向	z	a	b	c	d	e
经向	5.18	309.81	83.61	1184.23	-169.8	-575.85
纬向	5.22	46.35	376.96	120.59	1188.5	-727.71

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图1

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图1 应力-应变响应面

Fig.1 Stress-strain response surface

1.3 本构模型

在Abaqus软件中,可使用Abaqus/Standard和Abaqus/Explicit分析模块对膜结构分别进行静力通用分析和动力显式分析.同时Abaqus通过FORTRAN程序接口提供许多用户子程序,其中UMAT和VUMAT是提供给用户自定义材料属性的接口(分别对应Standard和Explicit).根据Newton迭代法的计算原理,UMAT和VUMAT子程序的主要任务是根据Abaqus主程序传入的应变增量更新应力增量,即根据已知t时刻的应力、应变等状态变量得到t+Δt时的应力:

(2)σ^t^+Δ^t=σ^t+dσ=σ^t+Ddε

式中:σ^t^+Δ^t为t+Δt时膜面应力;σ^t为t时膜面应力;dσ、dε分别为Δt时间内膜面的应力增量、应变增量; D=∂Δσ/∂Δε为Jacobian矩阵.膜面采用膜单元时,仅考虑σ=[σ_wσ_fσ_wf]^T,ε=[ε_wε_fε_wf]^T,σ_wf、ε_wf分别为膜面的切应力、切应变.

对于传统线性材料模型,Jacobian矩阵均为确定的值,但膜材属于非线性材料,Jacobian矩阵与此时的应力(应变)水平相关.以Ferrari 1202 S2膜材为例,根据1.2节中经纬向应力的表达式(1)可以得到Jacobian矩阵的表达式:

(3)D=

\frac{\partial Δ σ}{\partial Δ ε}

[\begin{array}{l} \frac{\partial Δ σ_{w}}{\partial Δ ε_{w}} & \frac{\partial Δ σ_{w}}{\partial Δ ε_{f}} & 0 \\ \frac{\partial Δ σ_{f}}{\partial Δ ε_{w}} & \frac{\partial Δ σ_{f}}{\partial Δ ε_{f}} & 0 \\ 0 & 0 & G_{w f} \end{array}]

[\begin{array}{l} a_{1} + 2 c_{1} ε_{w} + d_{1} ε_{f} & b_{1} + 2 e_{1} ε_{f} + d_{1} ε_{w} & 0 \\ a_{2} + 2 c_{2} ε_{w} + d_{2} ε_{f} & b_{2} + 2 e_{2} ε_{f} + d_{2} ε_{w} & 0 \\ 0 & 0 & G_{w f} \end{array}]

式中:G_wf为切变模量,取工程经验值200 kN/m.在VUMAT子程序中获取t时刻的应变计算Jacobian矩阵D,然后根据式(2),实现应力的更新.

2 膜面积水数值模拟

2.1 SPH方法原理

SPH方法是一种无网格、拉格朗日性质的质点方法,在有限元分析中不需要定义节点和元素,只需要一个点集合表示给定的主体.它本质上与有限元方法相似,是求解偏微分方程组的离散化方法,使用插值方法近似域内任意一点的常变量,一个质点上的值可以用一组临近粒子的贡献的累加来近似^[13-14].SPH方法仅可在Abaqus的显式动力学分析中实现.

2.2 有限元模型

在Abaqus有限元软件中,建立边长为9 m的膜面分析模型,四边铰接,并在经纬向分别施加 3.1 kN/m 和3.5 kN/m的预应力(结合经纬向应力比为1∶1时的膜材双轴拉伸试验,由膜材的裁剪尺寸计算所得),在膜面中央正上方设置圆柱形水柱,将水和膜面之间的法向接触设置为硬接触,切向接触设置为光滑,有限元模型如图2所示.在重力作用下,水与膜接触,加载过程中膜影响水的形状,水使膜变形.

图2

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图2 膜面积水有限元模型

Fig.2 Finite element model of membrane under ponding water

膜采用四结点四边形膜单元(M3D4R)模拟.膜的材料属性采用1.3节中的非线性本构模型,并通过VUMAT子程序进行定义,同时定义瑞丽阻尼减少膜面振动.

水荷载采用Abaqus动力显式分析步中SPH方法模拟,具体方法为先用八结点线性六面体单元(C3D8R)对一定体积的水柱进行网格划分,然后将每个单元转化为一个粒子,用粒子模拟水荷载.在水的加载过程中,水的流动近似为不可压缩和黏性层流的流动.采用线性Us-Up的Mie-Gruneisen状态方程描述水的压力:

(4)p=ρ₀

c_{0}^{2}

式中:ρ₀=1000 kg/m³为扰动前水的密度;c₀=1500 m/s为冲击波波速;η=1-ρ₀/ρ为名义体积压缩应变, ρ为扰动引起变化的流体密度.采用牛顿黏性剪切模型定义剪切响应^[15-16]:

(5)S=2μ

\overset{\cdot}{e}

式中:S为偏应力;μ=0.001 N·s/m²为动力黏度系数; $\overset{\cdot}{e}$ 为偏应变率.

本文采用动力显式分析,水的初始状态为置于膜上表面的水柱(水柱半径设置为1 m),分析结果表明水在瞬时重力作用下加载于膜面时,膜面会发生上下往复运动,且很难稳定.这是因为膜的外力功(水柱的重力势能)有一部分转化为动能,而没有全部转化为内能.一般在动力分析中为了使位移荷载加载过程为准静态,采用加载速度和加速度均光滑的平滑分析步施加位移荷载,如图3所示.因此,为了避免重力荷载加载过程中产生过多动能,以平滑分析步的方式施加重力荷载,即荷载幅值A在加载时间段[t_i,t_i₊₁]满足:

(6)A=A_i+(A_i₊₁-A_i)ξ³(10-15ξ+6ξ²)

式中:A_i为t_i时刻的荷载幅值;ξ=(t-t_i)/(t_i₊₁-t_i)为无量纲中间量.

图3

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图3 平滑分析步

Fig.3 Smooth analysis step

2.3 准静态加载过程分析

2.3.1 网格尺寸

通过分析不同网格尺寸的有限元模型验证收敛性.网格尺寸越小,计算结果越精确,但是计算时间成本将会增加.结果表明,计算结果与膜面网格与水柱网格尺寸的比例(下文简称为网格尺寸比例)及网格尺寸的大小有关.以4.5 t水荷载为例,分析不同网格尺寸比例和不同网格尺寸大小的有限元模型.

将膜面网格尺寸设置为0.1 m,分别研究 1∶2、1∶1、1.5∶1、2∶1、3∶1共5种不同网格尺寸比例对计算结果的影响.结果表明,当网格尺寸比例大于2∶1时,随着网格尺寸比例的增加,应力和变形变化不明显,如表2所示,表中σ_s为膜面最大 Mises 应力;y_max为膜面最大竖向变形.保持网格比例为2∶1不变,研究5种网格尺寸(膜面网格尺寸分别为0.4、0.3、0.2、0.1、0.05 m)对计算结果的影响.结果表明,当膜面网格尺寸小于0.1 m时,随着网格尺寸减小,应力和变形变化不明显,如表3所示.因此本文后续的膜面积水有限元模型采用网格尺寸比例为2∶1,膜面网格尺寸为0.1 m,水柱网格尺寸为 0.05 m.整个膜面由 8100 个大小相同的网格单元组成,每个膜单元的面积为0.01 m²,水柱网格(SPH粒子)密度约为 9603 个/m³.

表2 不同网格尺寸比例下膜面的最大Mises应力和最大竖向变形

Tab.2 Maximum Mises stress and vertical deformation of membrane surface at different mesh size ratios

网格尺寸比例		σ_s/(kN·m^-1)	y_max/m
1∶	2	网格扭曲	网格扭曲
1∶	1	14.68	0.948
1.5∶	1	14.23	0.935
2∶	1	14.03	0.928
3∶	1	13.98	0.924

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表3 不同网格尺寸下膜面的最大Mises应力和最大竖向变形

Tab.3 Maximum Mises stress and vertical deformation of membrane surface at different mesh sizes

网格尺寸/m	σ_s/(kN·m^-1)	y_max/m
0.4	14.74	0.957
0.3	14.49	0.950
0.2	14.18	0.936
0.1	14.03	0.928
0.05	13.96	0.923

注:本文提到的网格尺寸为在Abaqus软件中划分网格时设置部件种子的近似全局尺寸.

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2.3.2 加载时长

为了研究加载时长对分析结果的影响,以4.5 t积水荷载为例,建立3种不同加载时长(t=1,10,100 s)的有限元模型,并在加载步后设置5 s的稳定阶段,观察膜面的响应.加载过程及稳定阶段的σ_s、y_max与分析进程(t/t_tot,t_tot为分析所用总时间)变化曲线如图4所示.可以看出,当加载时长为1 s时,加载过程中膜面的最大Mises应力和最大竖向变形一直增大,但加载完毕后的5 s内,两者发生上下往复的波动,最大Mises应力在 2.5~38 kN/m变化,最大竖向变形在 -0.1~-1.6 m(负号表示变形方向向下)范围变化.当加载时长为10 s时,整个过程中膜面的最大Mises应力和最大竖向变形总的趋势是一直增大的,但在后半段加载过程及加载完毕后的5 s内,两者会发生上下往复的波动,最终最大Mises应力的上下变化幅度稳定在5 kN/m左右,最大竖向变形的上下变化幅度稳定在0.1 m左右.当加载时长为100 s时,加载过程中膜面的最大Mises应力和最大竖向变形一直平滑增加,最终最大Mises应力稳定在 12.5 kN/m 左右,最大竖向变形稳定在0.9 m左右,且两者的曲线形状与平滑分析步的形状相似.因此可以得出加载时间为100 s时,分析过程可视为静态分析,满足分析要求.

图4

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图4 不同加载时长时膜面的最大Mises应力和最大竖向变形

Fig.4 Maximum Mises stress and vertical deformation of membrane surface at different loading times

2.3.3 加载过程

采用平滑分析步的方式将重力从0缓慢增加到设定值,使水荷载的加载变得平缓,水粒子之间的约束使水柱在加载过程中始终为一个整体.当加载时长为100 s,随着重力的增加,水往下运动,膜面缓慢变形.同时水柱下表面与膜面形状始终保持一致,上部的水粒子不断向下、向周围扩散,约40 s时水柱的上表面边缘与膜面接触,而后重力继续增加,膜面的变形也不断增加,100 s时重力加载完毕,膜面和水荷载达到静态平衡,如图5所示.

图5

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图5 水荷载加载过程

Fig.5 Loading process of water load

3 数值模拟结果分析

3.1 膜面变形

为了验证采用SPH方法与膜材非线性本构结合进行数值分析的可靠性,将数值模拟得到的膜面变形与试验测得的膜面变形进行比较.

3.1.1 平膜积水试验模型

试验模型为正方形Ferrari 1202 S2平膜,由6片单层Ferrari膜片焊接而成,通过铝夹和螺栓固定于边长为9 m的支撑结构上,如图6所示,调整支撑结构使膜面保持水平.通过悬挂于膜面上方的水管施加水荷载,并使用带有刻度的水桶控制加载.为研究膜面在积水荷载作用下的变形发展过程及应力变化,使用分级加载方式,将0~8.4 t水共分为11级.为了测量膜结构的几何形状,每次加载完后停留2 min,待膜面变形稳定后,将3D激光扫描仪固定于归心盘后置于地面,进行扫描测量膜面形状.激光扫描仪可以准确记录膜面各点的三维坐标,以此获得膜面形状.

图6

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图6 平膜积水试验

Fig.6 Test of flat membrane at ponding load

3.1.2 膜面变形结果分析

图7所示为8.4 t积水荷载作用下膜面的竖向变形y.可以看出数值模拟得到的膜面变形形状与试验结果接近,膜面中心的等高线呈圆形,随着等高线的增高逐渐发展为方形.图8所示为各级荷载作用下膜面的最大竖向变形y_max与积水荷载g_w的关系曲线,将数值模拟结果与试验结果进行对比.结果表明,膜面的最大竖向变形在加载过程中呈现明显的非线性变化.积水荷载小于4 t时,数值模拟得到的变形略大于试验结果;积水荷载大于4 t时,数值模拟得到的变形略小于试验结果.积水荷载为0.2 t时,膜面的最大竖向变形的相对误差最大,为6.8%.积水荷载为8.4 t时,最大变形的差值最大,为0.047 m,此时膜面的最大竖向变形约为1.2 m,最大矢跨比(竖向变形与膜面边长的比)为2/15,大于一般膜面的挠度限值1/15.因此,膜面积水的过程为显著大变形过程.将膜面的最大竖向变形与积水荷载的关系进行曲线拟合,可得

(7)y_max=1.412-0.24

e^{- g_{w} / 0.339}

-1.14

e^{- g_{w} / 5.09}

图7

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图7 8.4 t积水荷载作用下膜面的竖向变形

Fig.7 Deformation of membrane surface at a 8.4 t ponding load

图8

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图8 各级荷载作用下膜面的最大竖向变形

Fig.8 Maximum vertical deformation of membrane surface at various loads

3.2 膜面应力和应变分布

图9、10分别为各级荷载作用下膜面的最大应力σ_max和最大应变ε_max与积水荷载g_w的关系曲线,图中ε_pri为主应变.从图9可以看出,随着积水荷载增加,最大Mises应力及最大经纬向应力逐渐增大,且纬向应力始终大于经向应力,两者差值由自重作用下的0.4 kN/m增加到3.2 t积水荷载作用下的0.9 kN/m,而后逐渐减小到了8.4 t积水荷载作用下的0.5 kN/m.Mises 应力数值介于经向应力和纬向应力之间,从 3.3 kN/m 增加到19.1 kN/m.将膜面的最大Mises应力与积水荷载的关系进行曲线拟合,可得

(8)σ_s=107.8-5.365

e^{- g_{w} / 1.67}

-99.32

e^{- g_{w} / 74.2}

图9

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图9 各级荷载作用下膜面的最大应力

Fig.9 Maximum stress of membrane surface at various loads

图10

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图10 各级荷载作用下膜面的最大应变

Fig.10 Maximum strain of membrane surface at various loads

从图10中可以看出,随着积水荷载的增加,最大主应变及最大经纬向应变逐渐增大,由0增加到3.8%左右,且最大主应变曲线与最大纬向应变曲线重合,纬向应变始终大于经向应变,两者的差值由0增加到0.1%.

图11、 12分别为2.2 t和8.4 t积水荷载作用下膜面的应力分布和应变分布的数值模拟结果,图中σ为Mises应力.可以看出,在加载过程中,膜面高应力和高应变的区域类似,均位于膜面中心与膜面各边中点的连线上,且具有一定宽度.高应力和高应变区域首先从膜面中心处开始发展,然后逐渐扩展至膜面边缘中点处,宽度和面积不断增大.经仔细观察后发现,膜面经向和纬向的应力和应变分布略有不同,膜面的经纬向的高应力区域的梭形中间区域更宽,两端更尖,且始终保持梭形.但经纬向高应变区域的两端尺寸逐渐增大,中间逐渐减小.同时发现切应力和切应变的分布几乎一样.以上两种现象是本文的膜材属性采用经纬向非线性本构,而切变模量为常量导致的.

图11

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图11 2.2 t和8.4 t积水荷载作用下膜面的应力分布

Fig.11 Stress distribution on membrane surface at 2.2 t and 8.4 t ponding loads

图12

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图12 2.2 t和8.4 t积水荷载作用下膜面的应变分布

Fig.12 Strain distribution on membrane surface at 2.2 t and 8.4 t ponding loads

4 结论

本文提出一种分析膜面在积水荷载作用下响应的数值模型,结合SPH方法和膜材的非线性本构模型,研究平膜在积水荷载作用下的变形和应力分布,并与试验结果进行了比较,主要结论有:

(1) 根据9个不同经纬向应力比下的双轴拉伸试验得到应力-应变响应面,由此计算Jacobian矩阵,并借助Abaqus的UMAT和VUMAT子程序构建了与应力水平相关的膜材非线性本构模型,实现了有限元计算中每一应变增量步的应力和应变的更新.

(2) 使用SPH粒子模拟水可以自动考虑水与膜的相互作用,使用平滑分析步的方式使膜面的积水过程更接近准静态加载.结合SPH方法和膜材的非线性本构对膜面的积水过程进行了分析.通过网格收敛性分析确定了本文采取的网格尺寸;通过不同加载时长的模型分析,得到随着加载时长的增加,积水的加载过程变得越来越平滑,100 s能满足分析要求.

(3) 由数值模拟与试验实测结果可以看出,膜面的最大竖向变形呈非线性变化,最大竖向变形约为1.2 m,最大矢跨比为2/15,大于一般膜面的挠度限值1/15.最大竖向变形的相对误差在6.8%以内,验证了本文所提方法的准确性和适用性.

(4) 膜面的高应力区域和高应变区域均集中在膜面中心与各边中点的连线区域,膜面应力和应变的最大值出现在膜面中心处,8.4 t积水荷载作用时,膜面最大应力为19 kN/m,最大应变为3.8%.

本文因未进行膜材剪切试验,所以未考虑膜材的切变模量的非线性,而采用经验值.这将作为下一步的研究内容.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

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董石麟, 邢栋, 赵阳.

现代大跨空间结构在中国的应用与发展

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