六自由度波浪补偿平台的神经网络自适应反馈线性化控制

图1 非对称式液压系统的结构原理图

Fig.1 Schematic diagram of structure of asymmetric hydraulic system

假设四通滑阀为理想对称滑阀,根据已有的液压缸数学模型的研究^[5,16],可利用函数sgn x= $\{\begin{array}{l} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ - 1, & x < 0 \end{array}$ ,将滑阀正向移动(x_v>0)和反向移动(x_v<0)时的负载流量方程合并为

(1)Q_L=C_dwx_v

\sqrt[]{\frac{p_{s} - sgn x_{v} p_{L}}{ρ}}

式中:C_d为节流口流量系数;w为节流口面积梯度;ρ为液压油密度;左右腔室压强差p_L=p₁-p₂.把式(1)与液压缸流量连续方程和液压缸负载力平衡方程^[5]联立,令x₁=x_p, x₂= ${\overset{\cdot}{x}}_{p}$ , x₃=A₁p₁-A₂p₂, u_v=x_v,建立液压系统三阶状态空间方程:

(2)

\begin{array}{l} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = \frac{1}{m_{t}} (- B_{p} x_{2} + x_{3} - F_{L}) \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3} = - K_{1} (x_{1}) x_{2} - K_{2} (x_{1}) p_{L} (x_{3}) - \\ K_{3} (x_{1}) p_{s} + K_{4} (x_{1}) \sqrt[]{\frac{p_{s} - sgn (u_{v}) p_{L} (x_{3})}{ρ}} u_{v} \\ y = x_{1} \end{array}\}

K₁(x₁)= $\frac{A_{1}^{2} β_{e}}{V_{10} + A_{1} x_{1}}$ + $\frac{A_{2}^{2} β_{e}}{V_{20} - A_{2} x_{1}}$

K₂(x₁)= $(\frac{A_{1} β_{e}}{2 V_{10} + 2 A_{1} x_{1}} + \frac{A_{2} β_{e}}{2 V_{20} - 2 A_{2} x_{1}})$ C_ip+ $(\frac{A_{1} β_{e} C_{e 1}}{2 V_{10} + 2 A_{1} x_{1}} - \frac{A_{2} β_{e} C_{e 2}}{2 V_{20} - 2 A_{2} x_{1}})$

K₃(x₁)= $\frac{A_{1} β_{e} C_{e 1}}{2 V_{10} + 2 A_{1} x_{1}}$ - $\frac{A_{2} β_{e} C_{e 2}}{2 V_{20} - 2 A_{2} x_{1}}$

K₄(x₁)= $(\frac{A_{1} β_{e}}{V_{10} + A_{1} x_{1}} + \frac{A_{2} β_{e}}{V_{20} - A_{2} x_{1}})$ C_dw

p_L(x₃)= $\frac{A_{2} - A_{1}}{A_{2} + A_{1}}$ p_s+ $\frac{2}{A_{2} + A_{1}}$ x₃

式中:B_p为黏性阻尼系数;β_e为有效体积弹性模量;C_ip为内泄漏系数;C_e1、C_e2分别为正向、反向外泄漏系数.

反馈线性化需要系统的数学模型连续可微,而式(2)引入的sgn函数在0点间断,不利于反馈线性化的应用,同时不符合液压系统的连续性特征.为解决此问题,本研究引入连续tanh函数代替sgn函数,得到改进后的液压系统非线性数学模型:

(3)

\begin{array}{l} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = \frac{1}{m_{t}} (- B_{p} x_{2} + x_{3} - F_{L}) \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3} = - K_{1} (x_{1}) x_{2} - K_{2} (x_{1}) p_{L} (x_{3}) - \\ K_{3} (x_{1}) p_{s} + K_{4} (x_{1}) \sqrt[]{\frac{p_{s} - tanhu p_{L} (x_{3})}{ρ}} u_{v} \\ y = x_{1} \end{array}\}

设y=h(x),

f(x)= $\{\begin{array}{l} x_{2} \\ \frac{1}{m_{t}} (- B_{p} x_{2} + x_{3} - F_{L}) \\ - K_{1} (x_{1}) x_{2} - K_{2} (x_{1}) p_{L} (x_{3}) - K_{3} (x_{1}) p_{s} \end{array}$ ,

g(x)= $\{\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ K_{4} (x_{1}) \sqrt[]{\frac{p_{s} - tanhu p_{L} (x_{3})}{ρ}} u \end{array}$

其李导数为:L_gh(x)=0, L_gL_fh(x)=0, L_g $L_{f}^{2}$ h(x)≠0 (L_g,L_f为不同阶李导数),因此系统的相对阶数为3.

2 控制策略

并联机器人是多输入多输出(MIMO)系统,各液压缸运动相互耦合,难以协同控制.本研究参考已有文献,通过反解将上平台位姿解耦成独立的六缸伸缩运动^[13],使其成为单输入单输出(SISO)系统,从而对每个缸单独控制.SISO系统的状态方程可表示为^[8]

(4)

\begin{array}{l} x (k + 1) = f (x (k), u (k)) \\ y (k) = h (x (k)) \end{array}\}

式中:x(k)∈Rⁿ;y(k)、u(k)∈R; f(*)、h(*)∈C^∞; f(*): Rⁿ×R→Rⁿ; h(*): Rⁿ→R.当f(0, 0)=0时,系统的初始状态平衡.f(*)、h(*)未知且为光滑函数,可以通过大量的x(k)、y(k)测量数据对f(*)、h(*)进行反演逼近,以此将式(4)中唯一的未知量u(k)解出,从而得到液压系统的精确控制量,完成系统的控制工作.已有的研究证实这种方式具有相当的可靠性^[17^-^21].

2.1 系统辨识

在系统平衡状态的某一邻域Φ内,可以用自回归滑动平均模型(NARMA)来表示式(4)中SISO系统^[21]:

(5)y(k+d)=F(y(k), y(k-1), …, y(k-n+1), u(k), u(k-1), …, u(k-n+1))

式中:y(k+d)为系统的输出量;d(1≤d<∞)为系统的输出延迟;连续函数F(*)为输入输出信号与输出信号预测值之间的映射;n为系统的阶数, 由前文可知非线性液压系统阶数为3.控制目的是求出当前控制量u(k),使得系统的输出等于系统的输入期望y'(k+d),即y(k+d)=y'(k+d).由本文第1节可知六自由度波浪补偿平台非对称液压系统相对阶数存在且控制梯度 $\frac{\partial F}{\partial u}$ ≠0, u(k)的计算公式可表示为^[17]

(6)u(k)=G(y(k), y(k-1), …, y(k-n+1),y'(k+d), u(k-1), …, u(k-n+1))

这里连续函数G(*): Rⁿ→R.则u(k)的求解就变成根据输入输出信号的观测值估计映射G(*).G(*)可以用神经网络进行逼近,但由于计算量大,运算缓慢,不能对系统有效实时控制^[17],故需要对式(6)进行改进.将NARMA模型在邻域内平衡点进行泰勒展开,便可导出改进自回归滑动平均模型(NARMA_L2)方程^[17]:

(7)y(k+d)=f₀(Y, U)+g₀(Y, U)u(k)

Y=y(k), y(k-1), …, y(k-n+1)

U=u(k-1), …, u(k-n+1)

式中:(Y, U)∈R_Y×R_U,R_Y×R_U是Rⁿ×Rⁿ的有界紧集.由于连续函数在紧集中有界,故只要能够合适取R_U,就能够使NARMA_L2方程足够精确^[17].需要用两个神经网络辨识模型N₁、N₂分别辨识f₀(*)、h₀(*).宋学伟等^[12]已证实了RBFNN高精度快速收敛的优势,因此本研究引入RBFNN对f₀(*)、h₀(*)进行辨识,得到神经网络辨识模型:

(8)

\hat{y}

(k+d)=

{\hat{f}}_{0}

(Y,U)+

{\hat{g}}_{0}

(Y,U)u(k)

式中: ${\hat{f}}_{0}$ 、 ${\hat{g}}_{0}$ 分别为式(7)中f₀和g₀的辨识结果.系统的基于径向基神经网络辨识的改进自回归滑动平均(RBFNNNARMA_L2)模型如图2所示.图中:TDL为时延;W_ij为权重;b_ij为阈值,i,j∈N^*.

图2

图2 RBFNNNARMA_L2辨识模型

Fig.2 Identification model of RBFNN NARMA_L2

2.2 控制器设计

由本文1.2节得知n=3,故取d=2.利用RBFNN辨识系统的动态特性,得到六自由度波浪补偿平台非对称液压系统的NARMA_L2模型:

(9)

\hat{y}

(k+2)=

{\hat{f}}_{0}

(y(k), y(k-1), y(k-2), u(k), u(k-1), u(k-2))+

{\hat{g}}_{0}

(y(k), y(k-1), y(k-2), u(k), u(k-1), u(k-2))u(k+1)

式中: $\hat{y}$ (k+2)为RBFNNNARMA_L2模型的输出;y(k)为系统实际输出; ${\hat{f}}_{0}$ (*)、 ${\hat{g}}_{0}$ (*)由两个结构相同的RBFNN实现,输入为y(k)、y(k-1), y(k-2)、u(k)、u(k-1)及u(k-2),隐层激活函数为高斯函数,输出层为一个神经元,激活函数为线性函数.取 10000 组时间间隔为[0.001, 1] s的随机波形样本进行训练,为了避免陷入局部极小点,辨识时采用最小均方(Least Mean Square,LMS)法代替梯度下降法.训练结束后,用一部分样本检验训练效果,达到要求即结束,否则重复上述过程.根据NARMA_L2模型得到控制律:

(10) u(k+1)=

\frac{- {\hat{f}}_{0} (*)}{{\hat{g}}_{0} (*)}

\frac{y' (k + 2)}{{\hat{g}}_{0} (*)}

式中:y'(k+2)为系统期望输出.

2.3 在线修正

因现实环境中系统运行过程中物理参数和外界环境的变化可能导致辨识系统不再准确,为了提高控制性能,需要在线修正神经网络模型,从而实现控制律的自适应.取e_k+d=y(k+d)- $\hat{y}$ (k+d), 设计误差函数J= $\frac{1}{2} \sum_{P}$ ( ${e_{k + d}}^{2}$ )_P,P表示第P个样本.设η_v和η_w为学习效率,N1和N2的权值阵(包括阈值)分别为集合W={w_i},V={v_i},i∈N^*,调整过程:

(11)

\begin{array}{l} W (k + 1) = W (k) + Δ W (k) \\ V (k + 1) = V (k) + Δ V (k) \end{array}\}

Δw_i(k)=-η_w $\frac{\partial J}{\partial w_{i} (k)}$ , Δv_i(k)=-η_v $\frac{\partial J}{\partial v_{i} (k)}$ ,代入式 (9)、(10)和误差函数J得:

(12)

\begin{array}{l} Δ w_{i} (k) = - η_{w} \frac{g_{0} (T)}{{\hat{g}}_{0} (T)} \frac{\partial {\hat{f}}_{0} (T)}{\partial w_{i} (k)} e (k + 2) \\ Δ v_{i} (k) = \\ - η_{v} \frac{g_{0} (T)}{{\hat{g}}_{0} (T)} \frac{\partial {\hat{g}}_{0} (T)}{\partial v_{i} (k)} e (k + d) u (k + 1) \end{array}\}

用sgn{g₀(T)}代替式(12)中g₀(T),得到最终的在线修正公式:

(13)

\begin{array}{l} Δ w_{i} (k + 1) = Δ w_{i} (k) - \\ η_{w} \frac{sgn {g_{0} (T)}}{{\hat{g}}_{0} (T)} \frac{\partial {\hat{f}}_{0} (T)}{\partial w_{i} (k)} e (k + 2) \\ Δ v_{i} (k + 1) = Δ v_{i} (k) - \\ η_{v} \frac{sgn {g_{0} (T)}}{{\hat{g}}_{0} (T)} \frac{\partial {\hat{g}}_{0} (T)}{\partial v_{i} (k)} e (k + 2) u (k + 1) \end{array}\}

自适应控制系统的框图如图3所示.

图3

图3 RBFNN反馈线性化自适应控制系统框图

Fig.3 Block diagram of RBFNN feedback linearized adaptive control system

3 仿真与对比

用MATLAB/Simulink进行阶跃干扰和五级海浪干扰仿真,并与PID控制和滑模控制结果进行比较分析.其中PID参数按照文献[6]的“继电器反馈Z-N整定法”选取:P=6.016,I=5.199,D=0.019;滑模控制率为u_s= $\frac{v - L_{f}^{3} h (x)}{L_{g} L_{f}^{2} h (x)}$ (v为控制器输入),参考文献[7]指数趋近率选取滑模面s: $\overset{\cdot}{s}$ =-εsgn(s)-ks,系数ε取289,系数k取178.

3.1 阶跃干扰仿真

液压系统的参数取值如表1所示.取步长为0.001 s,对液压系统施加阶跃信号并进行跟踪,在 t=3 s时加入随机干扰力,3种控制方式跟随曲线和误差如图4所示,图中:D_es为位移;E_rr为跟踪误差;t为时间.可以发现,阶跃干扰下相比于传统的PID控制和滑模控制,新型控制方式几乎没有超调现象,三者的相对误差分别为2.9%、1.1%及0.3%.由于新型控制方式能够根据误差自适应调节参数,收到外界干扰后能够更快更高精度地跟踪信号,故相对误差要明显低于其他控制方式.新型控制方式稳性强,在超调方面以及抵抗干扰和信号跟踪上展现出一定的优势,为波浪补偿装备的安全运行提供了保障.

图4

图4 阶跃干扰信号跟随和误差曲线

Fig.4 Curves of step interference signal tracking and error

3.2 五级海浪干扰仿真

根据已有研究,海浪可利用海浪谱进行反演.本研究选取国际拖曳水池会议(ITTC)双参谱进行波普模拟,海浪等级为五级、有义波高h_1/3=2 m、特征周期T₁=8 s,与全国水动力学研讨会所展示的海浪谱^[22]相吻合.利用海浪谱反演出海浪波形曲线,如图5所示.

图5

图5 五级海浪波形曲线

Fig.5 Wave curve of five-level wave

船体对波浪的响应可以解耦为6个自由度,分别为横摇、纵摇、艏摇、纵荡、横荡及垂荡,如图6所示.海浪对船舶运动状态的影响主要转化为海浪等级以及海浪与船舶之间的攻击角两方面因素.海浪传播方向与船舶航向所成夹角被称为遭遇角,用χ表示.任意自由度响应(R_es)可通过幅值响应算子(RAO)、海浪谱及海浪正弦波功率代入到海浪响应正弦波形公式并将其各个频率相互叠加来求得^[23]:

(14)R_es=

\overset{n}{\sum_{i}} \sqrt[]{2} {|R_{ζ} (ω_{i}, χ, S)|}^{2}

\sqrt[]{σ^{2} (ω_{1, i}, ω_{2, i})}

sin(ω_e_{, i}t+φ_i)

图6

图6 船体的六自由度和遭遇角

Fig.6 6-DOF and angle of encounter of hull

式中:R_ζ为海浪干扰作用下船舶对于海浪的幅频响应算子;ω_i为第i个分波的海浪频率;S为船速;σ²(ω_{1, i}, ω_{2, i})为第i个分波的功率;ω_e_{, i}为第i个分波的频率;φ_i为第i个分波的初相位.

船舶在90° 遭遇角下的艏摇和横荡最大,船舶的海浪响应也最剧烈,因此对这种工况下船舶的海浪响应进行仿真研究.RAO数据来源于中国船舶及海洋工程设计研究院对S-175型集装箱船的船模实验.根据实验数据,对频率位于[0.2, 2] rad/s的19个分波(n=19)进行计算,通过式(14)转换为船体对海浪的六自由度响应,如图7所示,图中θ为3个旋转自由度的角度.

图7

图7 船体在五级海浪下90° 遭遇角时的海浪响应

Fig.7 Wave response at 90° angle of encounter and level 5 waves of hull

根据船体的六自由度响应,可对波浪补偿平台进行运动学反解,通过计算得到液压杆伸缩量的解析解.取步长为0.001 s,将反解得到的曲线作为液压系统的跟踪信号,并施加干扰,跟踪曲线和误差如图8所示.在五级海浪及干扰下,PID控制的最大误差达到了87.2 mm,平均误差36.5 mm,精度低,动态性能十分差.滑动模态控制的平均误差为11.8 mm,有很大提升,且具有一定的抗干扰能力.而本文提出的控制策略平均误差只有2.3 mm,是3种控制方式中唯一将跟随误差能够保持在10^-3 m级别的控制方式.由此可知,在五级海浪以及外力干扰下,大长径比液压系统参数变化大、补偿距离长、速度快,动态性能相对较差的PID无法及时控制,虽然滑模控制的跟踪速度快,误差也比较小,但在幅值接近3 m的补偿中还是无法做到迅速高精度跟随.新型控制方式的系统辨识精确度高、控制率精准且能够自适应参数变化,因此能够紧贴期望信号,无论是跟踪速度还是精度都大大提高,能够实现速度快、跨度大的信号跟踪,满足六自由度并联平台在深海区海浪补偿任务要求.

图8

图8 五级海浪信号跟踪误差曲线

Fig.8 Curves of signal tracking error of level 5 wave

4 结语

以深海区工况下六自由度并联平台所采用的大长径比液压系统为研究对象,在有关对液压系统控制领域研究的基础上,针对性地提出了基于RBFNN辨识的自适应反馈线性化控制策略,以改善大长径比液压系统在深海区海洋环境下伸缩量大、速度快及难以跟踪的问题.以S-175型集装箱船为算例,利用MATLAB/Simulink,在船舶受到90°遭遇角的五级海浪作用和阶跃干扰下开展仿真分析,证实了新型控制策略在深海区高速大跨度的波浪补偿任务和恶劣海浪环境的干扰下,依旧可以保持良好的控制精度和较强的稳健性,可为六自由度波浪补偿平台控制系统设计提供参考.

虽然提出的控制策略实现了抗干扰、低误差和快速跟踪,在仿真中满足六自由度波浪补偿平台液压系统的控制需求,但在控制过程中会出现跟踪轨迹在期望值附近来回抖动的现象.需通过不断的参数调整以及对神经网络进行训练,抖振方可控制在可接受的运行范围内,但依然无法完全消除,离线辨识也不利于工程应用.在未来的研究工作中,将尝试改进控制策略,深入探究抖振机理并尝试实现系统整体在线辨识和六缸协同控制,以改善控制效果.

(本文编辑:陈晓燕)

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