基于线性矩阵不等式的线性/非线性切换自抗扰控制系统的稳定性分析

doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.203

基于线性矩阵不等式的线性/非线性切换自抗扰控制系统的稳定性分析

万慧, 齐晓慧^,, 李杰

陆军工程大学无人机工程系,石家庄 050003

Linear Matrix Inequality Based Stability Analysis of Linear/Nonlinear Switching Active Disturbance Rejection Control System

WAN Hui, QI Xiaohui^,, LI Jie

Department of Unmanned Aerial Vehicle Engineering, Army Engineering University, Shijiazhuang 050003, China

通讯作者: 齐晓慧,女,教授,博士生导师;E-mail:qi-xh@163.com.

责任编辑: 陈晓燕

收稿日期: 2021-06-11

基金资助:

陆军工程大学石家庄校区科研创新发展基金(校教(2019)71号)

Received: 2021-06-11

作者简介 About authors

万慧(1991-),女,河北省秦皇岛市人,博士生,从事自抗扰控制研究.

摘要

针对一类连续线性标称多输入多输出(MIMO)系统,设计基于线性/非线性切换自抗扰控制(SADRC )的解耦控制器.介绍系统模型,并针对设计的SADRC解耦控制器提出一种基于线性矩阵不等式(LMI)技术的绝对稳定性分析方法,最后通过数值仿真验证了该方法的有效性.

关键词： 线性/非线性切换自抗扰控制; 多输入多输出; 连续线性标称系统; 解耦控制; 稳定性分析

Abstract

A decoupling controller based on linear/nonlinear switching active disturbance rejection control (SADRC) is designed for a class of continuous linear nominal multi-input multi-output (MIMO) system. The system model is introduced and a linear matrix inequality (LMI) based absolute stability analysis approach is proposed for the designed SADRC decoupling controller. Finally, the effectiveness of the proposed method is verified by numerical simulations.

Keywords： linear/nonlinear switching active disturbance rejection control (SADRC); multi-input multi-output (MIMO); continuous linear nominal system; decoupling control; stability analysis

PDF (1537KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

万慧, 齐晓慧, 李杰. 基于线性矩阵不等式的线性/非线性切换自抗扰控制系统的稳定性分析[J]. 上海交通大学学报, 2022, 56(11): 1491-1501 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.203

WAN Hui, QI Xiaohui, LI Jie. Linear Matrix Inequality Based Stability Analysis of Linear/Nonlinear Switching Active Disturbance Rejection Control System[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2022, 56(11): 1491-1501 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2021.203

韩京清^[1]于1998年正式提出了自抗扰控制(Active Disturbance Rejection Control, ADRC).早期的自抗扰控制器为非线性结构,参数较多,整定相对困难,给理论分析带来了不便,因此发展较为缓慢.但仍有部分学者围绕扩张状态观测器(Extended State Observer, ESO)、参数整定以及控制器结构改进等方面进行了研究,如黄一等^[2-3]通过自稳定域理论给出了低阶ESO的收敛性证明并对估计误差进行了研究,揭示了非光滑连续结构在控制器设计和误差观测中的优势.陈刚等^[4]利用变结构控制原理对自抗扰控制器结构进行了改进,减少了需整定参数的个数.Zhao等^[5]则针对一类非线性系统设计了时变增益ESO,进一步扩展了自抗扰控制器的应用范围.目前,这些成果仍具有很强的借鉴意义.Gao^[6]提出了线性自抗扰控制器(Linear Active Disturbance Rejection Control, LADRC),该控制器物理意义明确,参数整定简单,为研究自抗扰控制理论带来了新思路.陈增强等^[7]针对系统模型未知的情况,证明了线性扩张状态观测器估计误差有界和闭环控制系统输入-输出有界稳定.吴丹等^[8-9]针对快速刀具伺服系统,分别设计了基于非线性自抗扰和线性自抗扰的控制器,从频域或准频域角度对自抗扰控制的稳定性和控制性能进行分析.邵星灵等^[10]采用Lyapunov逆定理研究了任意扩张阶数下线性扩张状态观测器(Linear Extended State Observer, LESO)重构状态误差的收敛性问题,并对LESO及其高阶扩展形式的性能进行了评估分析,为ESO的选取提供了理论依据.周涛^[11]利用反双曲正弦函数构造了一种新型自抗扰控制器,该控制器可以有效抑制系统内部和外部非线性扰动的影响,理论研究也促进了工程应用的进展.Sun等^[12]引入极大值敏感函数用以对扩张状态观测器进行参数整定,并将其应用于1 000 MW机组的热力回热器,证明了ADRC在过程控制中具有较好的应用前景.张铁等^[13]将LADRC应用于浮动平台的机器人研磨系统,减少了磨削过程中的力波动并降低了研磨表面的粗糙度.郭金龙等^[14]则将改进的LADRC与分数阶控制结合,在四旋翼高度姿态控制中取得了良好效果,自抗扰控制逐渐成为国内外学者的研究热点之一.

目前,虽然LADRC是理论研究和工程应用的主流,但非线性自抗扰控制器(Nonlinear Active Disturbance Rejection Control, NLADRC)在稳态精度以及抗干扰能力等方面的潜在优势也不容忽视,在自抗扰控制体系的发展中,二者缺一不可.本团队为充分发挥二者优势,提出了综合两者优点的线性/非线性切换自抗扰控制(Linear/Nonlinear Switching Active Disturbance Rejection Control, SADRC)方法^[15-16],在自抗扰控制研究领域引起了部分学者的关注.目前,针对单输入单输出(Single-Input Single-Output, SISO)被控对象,本团队已经完成了基于该方法的控制器设计和稳定性分析^[15-16],并通过算例仿真的方式对该方法的抗干扰能力和跟踪精度进行了初步验证.除了本团队致力于研究 SADRC 相关内容外,刘福才等^[17]将SADRC应用于变载荷气动加载系统中, 在工程实际应用中验证了SADRC具有良好的控制效果.朱熀秋等^[18]采用SADRC实现了三自由度六极混合磁轴承解耦控制,并通过仿真和实验验证了该控制方法的有效性.郭杰等^[19]针对欠驱动船舶航迹直线和曲线跟踪控制问题,设计了基于多模态快速非奇异终端滑模的自抗扰控制器,通过切换扩张状态观测器实现对船舶包含内扰和外扰的“总扰动”的实时估计.Yang等^[20]针对船舶动力定位系统,提出了径向基-切换自抗扰控制器,克服了SADRC在切换临界点可能出现的抖振问题.Zhao等^[21]针对四旋翼无人机的轨迹跟踪问题,设计了基于鲁棒微分器的切换自抗扰控制器,通过仿真验证了该控制器具有良好的抗白噪声能力.吴正平等^[22]针对干扰弹滚转控制系统设计了切换自抗扰控制器,并用模糊规则改进了线性/非线性切换自抗扰控制条件,实现更为平稳的模糊软切换.虽然SADRC在工程应用研究方面取得了一定的成果,但是其理论分析仍进展较为缓慢,主要集中于对切换扩张状态观测器的收敛性分析^[17,23]和单输入单输出被控对象的稳定性分析^[15].尽管有将其应用于多输入多输出被控对象的研究,但是只考虑了解耦后的单个子系统的稳定性^[21],在理论上还有待进一步研究.

为进一步扩大SADRC的应用范围,本文针对一类连续线性多输入多输出标称系统进行基于 SADRC 的解耦控制器设计,并给出该系统闭环绝对稳定性以及考虑参数摄动情况下的鲁棒绝对稳定性分析方法.最后,通过数值仿真,针对不同的控制对象,对所提稳定性分析方法进行了验证.

1 多输入多输出系统的数学模型

考虑如下连续多输入多输出线性标称系统:

(1)

\begin{array}{l} \overset{\cdot}{x} = A_{s} x + B_{s} C_{g} u \\ y = C_{s} x \end{array}\}

A_s=

{[\begin{array}{l} 0 & I & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & I & \dots & 0 \\ ︙ & ︙ & ︙ & ︙ & ︙ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & I \\ a_{1 m n} & a_{1 m (n - 1)} & \dots & a_{121} & a_{111} \\ a_{2 m n} & a_{2 m (n - 1)} & \dots & a_{221} & a_{211} \\ ︙ & ︙ & ⋱ & ︙ & ︙ \\ a_{m m n} & a_{m m (n - 1)} & \dots & a_{m 21} & a_{m 11} \end{array}]}_{m n \times m n}

B_s=

{[\begin{array}{l} 0 & I \end{array}]}^{T}_{m \times m n}

C_g=

{[\begin{array}{l} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 m} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 m} \\ ︙ & ︙ & ⋱ & ︙ \\ c_{m 1} & c_{m 2} & \dots & c_{m m} \end{array}]}_{m \times m}

C_s=

{[\begin{array}{l} I \\ 0 \end{array}]}_{m \times m n}

式中:x=[ ${x^{T}}_{1}$ ${x^{T}}_{2}$ … ${x^{T}}_{n}$ ]^T∈Rⁿ^×^m,x_k=[x₁_k x₂_k … x_mk]^T∈Rⁿ (k=1, 2,…, n),u=[u₁u₂ … u_m]^T∈R^m,y=[y₁y₂ … y_m]^T∈R^m分别表示具有m个输入m个输出的系统的状态、输入和输出,且系统式(1)中每个子系统为n阶;A_s、B_s、C_s为系统控制增益矩阵;c_il(i, l=1, 2, …, m)为控制系数,实际未知,但已知相应的近似值 $c_{i l}^{*}$ ,即 $c_{i l}^{*}$ ≈c_il;I为m×m的单位矩阵;a为系统系数.

假设C_g可逆,引入虚拟控制量u_v=[u_1vu_2v … u_m_v]^T∈R^m,则式(1)可整理为

(2)

\begin{array}{l} \overset{\cdot}{x} = A_{s} x + B_{s} u_{v} \\ y = C_{s} x \end{array}\}

式中:u_v=C_gu=[u_1vu_2v … u_m_v]^T∈R^m.

2 基于SADRC的MIMO系统解耦

控制方法自抗扰控制技术的核心思想是利用扩张状态观测器消除系统中的未知项和扰动.为了提高扩张状态观测器的性能,使其适应更复杂的系统初始状态和干扰,本文设计的线性/非线性切换自抗扰控制器实际上是在线性扩张状态观测器和非线性扩张状态观测器之间进行切换,而鉴于线性控制律在实际应用中的优点,控制律仍采用线性控制律.

2.1 SADRC控制系统设计

为便于进行系统稳定性分析,做出如下假设.

假设1 参考输入r为0,且不考虑过渡过程或者假定过渡过程v及其各阶导数的初始值为0,且各通道控制增益 $c_{i l}^{*}$ =c_il.

以式(2)中x的第i(i=1, 2, …, m)个子系统为例,构造的切换扩张状态观测器(SESO)结构如下:

(3)

\begin{array}{l} e_{i} = z_{i 1} - y_{i} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{i 1} = z_{i 2} - β_{i 01} f_{i 1} (e_{i}) \\ ︙ \\ {\overset{\cdot}{z}}_{i n} = z_{i (n + 1)} - β_{i 0 n} f_{i n} (e_{i}) + u_{i v} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{i (n + 1)} = - β_{i 0 (n + 1)} f_{i (n + 1)} (e_{i}) \end{array}\}

i=1, 2, …, m

式中:e_i为每个子系统的输出y_i及其对应估计值z_i₁之间的误差;z_ij(j=1, 2, …, n+1)为x的一个子系统中各状态x_ij的估计值,其中z_i₍_n₊₁₎为对该子系统总扰动的估计;β_i₀_j为SESO中非线性扩张状态观测器(NLESO)的增益系数,并假设SESO中LESO的增益β_i₀_jL是β_i₀_j的λ_ij倍,λ_ij为常数;f_ij(e_i)为切换函数,具体可表示为

(4)f_ij(e_i)=

\{\begin{array}{l} l_{i j} (e_{i}), & | e_{i} | \leq δ_{s i} \\ λ_{i j} e_{i}, & |e| > δ_{s i} \end{array}

式中:δ_s_i为第i个子系统的控制器中NLESO与LESO进行切换的临界值,其取值可通过仿真、实验或理论计算确定^[15],且在NLESO和SESO进行切换的过程中,当e_i在临界点δ_s_i时,观测器的增益是连续变化而不是突变的,虽然斜率有所变化,但不会带来严重的平稳性问题,故不会因为两种扩张状态观测器的切换造成系统不稳定; l_ij(e_i)为NLESO中的非线性函数,本文采用的形式为

(5)l_ij(e_i)=fal(e_i, α _ij, δ _i)=

\{\begin{array}{l} \frac{e_{i}}{δ_{i}^{1 - α_{i j}}}, & | e_{i} | \leq δ_{i} \\ | e_{i} |^{α_{i j}} s i g n (e_{i}), & | e_{i} | > δ_{i} \end{array}

式中:δ_i为每个子系统中控制器非线性函数中的线性段区间长度,大小根据实际情况确定;α_ij为常数,取α_ij<1时,则式(5)具有“小误差,大增益,大误差,小增益”的特性,当α_ij=1时,则式(5)变为线性函数.

将同阶的各状态变量的估计值构成新的状态向量z=[ ${z^{T}}_{1}$ ${z^{T}}_{2}$ … ${z^{T}}_{n + 1}$ ]∈R^m⁽ⁿ⁺¹⁾,则系统式(2)设计的SESO可表达为

(6)

\begin{array}{l} e = z_{1} - y \\ \overset{\cdot}{z} = A_{z} z + B_{z} u_{v} - E_{z} F_{s} \end{array}\}

式中:e=[e₁e₂ … e_m ${]^{T}}_{1 \times m (n + 1)}$

A_z= ${[\begin{array}{l} 0 & I & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & I & \dots & 0 \\ ︙ & ︙ & ︙ & ⋱ & ︙ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & I \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]}_{m (n + 1) \times m (n + 1)}$

E_z= ${[\begin{array}{l} β_{01} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & β_{02} & 0 & \dots & 0 \\ ︙ & ︙ & ︙ & ⋱ & ︙ \\ 0 & \dots & 0 & β_{0 n} & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 0 & β_{0 (n + 1)} \end{array}]}_{m (n + 1) \times m (n + 1)}$

β₀_j=diag $[\begin{array}{l} β_{10 j} & β_{20 j} & \dots & β_{m 0 j} \end{array}]$

j=1, 2, …, n+1

F_s=[f₁₁(e₁) f₂₁(e₂) … f_m₁(e_m) … f_m₍_n₊₁₎(e_m) ${]^{T}}_{1 \times m (n + 1)}$

B_Z= ${[\begin{array}{l} 0 & \dots & 0 & I & 0 \end{array}]}^{T}_{m \times m (n + 1)}$

备注1 为简化扩张状态观测器系统结构,此处各通道同阶的状态估计采用参数相同的切换函数,但实际上各通道同阶的状态估计所采用的切换函数参数可以不同.

各通道的控制律均采用线性控制律,可表达为

(7)

\begin{array}{l} u_{i v 0} = \overset{n}{\sum_{q = 1}} k_{i q} (v_{i q} - z_{i q}) \\ u_{i v} = (u_{i v 0} - z_{i (s_{i} + 1)}) / b_{i 0} \end{array}\}

式中:v_iq (q=1, 2, …, n)为过渡过程;k_iq(q=1, 2, …, n)为控制器增益;b_i₀=1为系统控制增益.

则控制输入u_v可表达为

(8)

\begin{array}{l} u_{v 0} = - [\begin{array}{l} K_{1} & K_{2} & \dots & K_{n} & 0 \end{array}] z \\ u_{v} = - [\begin{array}{l} K_{1} & K_{2} & \dots & K_{n} & I \end{array}] z \end{array}\}

式中:

K_g=diag[k_g₁k_g₂ … k_gm], g=1, 2, …, n

根据假设1,将式(2)、(8)联立,可得:

(9)

\begin{array}{l} {\overset{\cdot}{x}}_{s} = A_{11} x_{s} + A_{12} z \\ y = x_{s 1} \end{array}\}

式中:

A₁₁=A_s,A₁₂= ${[\begin{array}{l} 0 & \dots & 0 & 0 \\ ︙ & ⋱ & ︙ & ︙ \\ 0 & \dots & 0 & 0 \\ - K_{1} & \dots & - K_{n} & I \end{array}]}_{m n \times m (n + 1)}$

将式(6)、(8)联立,可得:

(10)

\begin{array}{l} \overset{\cdot}{z} = A_{21} z + A_{22} \overset{⌒}{u} \\ e = z_{1} - y \end{array}\}

式中:

A₂₁= ${[\begin{array}{l} 0 & I & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & I & \dots & 0 \\ ︙ & ︙ & ︙ & ⋱ & ︙ \\ - K_{1} & - K_{2} & \dots & - K_{n} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]}_{m (n + 1) \times m (n + 1)}$

A₂₂= ${[\begin{array}{l} β_{01} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & β_{02} & 0 & \dots & 0 \\ ︙ & ︙ & ︙ & ⋱ & ︙ \\ 0 & \dots & 0 & β_{0 n} & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 0 & β_{0 (n + 1)} \end{array}]}_{m (n + 1) \times m (n + 1)}$

$\overset{⌒}{u}$ =-F_s=-[f₁₁(e₁) f₂₁(e₂) …

f_m₁(e_m) … f_m₍_n₊₁₎(e_m) ${]^{T}}_{1 \times m (n + 1)}$

综合式(9)和(10),可得:

(11)

\begin{array}{l} \overset{\cdot}{x} = A_{11} x + A_{12} z \\ \overset{\cdot}{z} = A_{21} z + A_{22} \overset{⌒}{u} \\ e = {c^{T}}_{1} x + {c^{T}}_{2} z \end{array}\}

式中:

${c^{T}}_{1}$ =[-I 0 … 0]_m_×_mn

${c^{T}}_{2}$ =[I 0 … 0]_m_×_m₍_n₊₁₎

令 $\tilde{x}$ =[x z ${]^{T}}_{1 \times (2 m n + m)}$ ,则式(11)可进一步表示为

(12)

\begin{array}{l} \overset{\cdot}{\tilde{x}} = \bar{A} \tilde{x} + \overset{⌒}{B u} \\ e = c^{T} \tilde{x} \end{array}\}

式中:

$\bar{A}$ = ${[\begin{array}{l} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{21} \end{array}]}^{T}_{(2 m n + m) \times (2 m n + m)}$

B= ${[\begin{array}{l} 0 \\ A_{22} \end{array}]}_{(2 m n + m) \times m (n + 1)}$

c^T= ${[\begin{array}{l} {c^{T}}_{1} & {c^{T}}_{2} \end{array}]}_{m \times (2 m n + m)}$

式(12)所示为输入多输出Lurie系统,可进一步表示为

(13)

\begin{array}{l} \overset{\cdot}{\tilde{x}} = \tilde{A x} + \tilde{B u} \\ σ = C^{T} \tilde{x} \end{array}\}

式中:σ=[e e … e ${]^{T}}_{1 \times m (n + 1)}$ ;C^T=[c^Tc^T … c^T ${]^{T}}_{m (n + 1) \times (2 m n + m)}$ ; $\tilde{u}$ =-[f'₁₁(e₁) f'₂₁(e₂) … f'_m₁(e_m) … f'_m₍_n₊₁₎(e_m) ${]^{T}}_{1 \times m (n + 1)}$ =-[f₁₁(e₁)-μ₁₁e₁f₂₁(e₂)-μ₂₁e₂ … f_m₁(e_m)-μ_m₁e_m … f_m₍_n₊₁₎(e_m)-μ_m₍_n₊₁₎e_m ${]^{T}}_{1 \times m (n + 1)}$ ;A= $\bar{A}$ -BξC^T, ξ=diag(M₁M₂ … M_n₊₁)_m₍_n_+1)×_m₍_n₊₁₎, M_j=μ_jI (j=1, 2, …, n+1), μ_j=diag[μ₁_j μ₂_j … μ_mj],μ_ij=min{λ_ij, $δ_{i j}^{α_{i} - 1}$ , $δ_{i j s}^{α_{i} - 1}$ }, i=1, 2, …, m.

2.2 SADRC控制系统稳定性分析

定理1 若0<α_ij<1, 0<δ_ij<δ_ijs,那么有f_ij(e_g)∈[κ_ij₁, κ_ij₂],f'_ij(e_i)∈[0, κ_ij₂-κ_ij₁],其中

(14)

\begin{array}{l} κ_{i j 1} = λ_{i j}, κ_{i j 2} = δ_{i j}^{α_{i j} - 1}, λ_{i j} \leq δ_{i j s}^{α_{i j} - 1} \\ κ_{i j 1} = δ_{i j s}^{α_{i j} - 1}, κ_{i j 2} = δ_{i j}^{α_{i j} - 1} \\ δ_{i j s}^{α_{i j} - 1} \leq λ_{i j} \leq δ_{i j}^{α_{i j} - 1} \\ κ_{i j 1} = δ_{i j s}^{α_{i j} - 1}, κ_{i j 2} = λ_{i j}, δ_{i j s}^{α_{i j} - 1} \leq λ_{i j} \end{array}\}

证明由于0<α_ij<1, 0<δ_ij<δ_ijs,∀e_i≠0,故

(15)

\begin{array}{l} λ_{i j} \leq \frac{f_{g i} (e_{i})}{e_{i}} \leq δ_{i j}^{α_{i j} - 1}, |e_{i}| \leq δ_{i j s} \\ \frac{λ_{i j} e_{i}}{e_{i}} = λ_{i j}, δ_{i j s} < |e_{i}| \leq + \infty \end{array}\}

进一步整理,可得

(16)

\begin{array}{l} λ_{i j} \leq \frac{f_{i j} (e_{i})}{e_{i}} \leq δ_{i j}^{α_{i j} - 1}, λ_{i j} \leq δ_{i j}^{α_{i j} - 1} \\ δ_{i j s}^{α_{i j} - 1} \leq \frac{f_{i j} (e_{i})}{e_{i}} \leq δ_{i j}^{α_{i j} - 1}, \\ δ_{i j s}^{α_{i j} - 1} \leq λ_{i j} \leq δ_{i j}^{α_{i j} - 1} \\ δ_{i j s}^{α_{i j} - 1} \leq \frac{f_{i j} (e_{i})}{e_{i}} \leq λ_{i j}, δ_{i j}^{α_{i j} - 1} \leq λ_{i j} \end{array}\}

进一步可得

(17)

\begin{array}{l} λ_{i j} e_{g}^{2} \leq f_{i j} (e_{i}) e_{i} \leq δ_{i j}^{α_{i j} - 1} e_{i}^{2}, λ_{i j} \leq δ_{i j}^{α_{i j} - 1} \\ δ_{i j s}^{α_{i j} - 1} e_{i}^{2} \leq f_{i j} (e_{i}) e_{i} \leq δ_{i j}^{α_{i j} - 1} e_{i}^{2}, \\ δ_{i j s}^{α_{i j} - 1} \leq λ_{i j} \leq δ_{i j}^{α_{i j} - 1} \\ δ_{i j s}^{α_{i j} - 1} e_{i}^{2} \leq f_{i j} (e_{i}) e_{i} \leq λ_{i j} e_{i}^{2}, \\ δ_{i j}^{α_{i j} - 1} \leq λ_{i j} \end{array}\}

因此f_ij(e_i)∈[κ_ij₁, κ_ij₂],f'_ij(e_i)∈[0, κ_ij₂-κ_ij₁].

定理2 若存在正定矩阵P∈R⁽²^mn⁺^m^)×(2^mn⁺^m⁾和对角矩阵Λ=diag[r₁₁r₂₁ … r_m₁ … r_ij]≥0,Γ=diag[τ₁₁τ₂₁ … τ_m₁ … τ_ij]≥0 (j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),满足

(18)W=

[\begin{array}{l} A^{T} P + P A & P B + A^{T} C Λ - C G Γ \\ B^{T} P + Λ C^{T} A - Γ G C^{T} & Λ C^{T} B + B C Λ - 2 Γ \end{array}]

式中:G=diag[κ₁₁₂-κ₁₁₁κ₂₁₂-κ₂₁₁ … κ_m₍_n₊₁₎₂-κ_m₍_n₊₁₎₁]=diag[κ₁₁κ₂₁ … κ_m₁ … κ_ij] (j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m)那么系统式(13)绝对稳定.

证明构造如下Lyapunov函数:

(19)V(

\tilde{x}

{\tilde{x}}^{T} \tilde{P x}

\overset{m}{\sum_{i = 1}} \overset{n + 1}{\sum_{j = 1}}

r_ij

\int_{0}^{e_{i}}

f'_j(e_i)de_i

则有

(20)

\overset{\cdot}{V}

(

\tilde{x}

{\tilde{x}}^{T}

(A^TP+PA)

\tilde{x}

+ 2

{\tilde{x}}^{T}

(PB-A^TCΛ)

\tilde{u}

{\tilde{u}}^{T}

(ΛC^TB+B^TCΛ)

\tilde{u}

{[\begin{array}{l} \tilde{x} \\ \tilde{u} \end{array}]}^{T}

W₁

[\begin{array}{l} \tilde{x} \\ \tilde{u} \end{array}]

式中:W₁= $[\begin{array}{l} A^{T} P + P A & P B - A^{T} C Λ \\ B^{T} P - Λ C^{T} A & - (Λ C^{T} B + B C Λ) \end{array}]$ .

式(14)等价于

(21)f'_j(e_i)(f'_j(e_i)-κ_ije_i)≤0,
j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m

当 $\tilde{x}$ ≠0时,在式(21)条件的限制下,考察函数 $\overset{\cdot}{V}$ ( $\tilde{x}$ )的负定性.由于

(22){(

\tilde{x}

\tilde{u}

\tilde{x}

≠0,式(21)}={(

\tilde{x}

\tilde{u}

\tilde{x}

≠0 或

\tilde{u}

≠0,式(21)}

故可利用S-过程^[24],如果存在τ_ij≥0(j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),使得 $\tilde{x}$ 或 $\tilde{u}$ ≠0时式(23)成立,则式(20)在式(21)的条件下是负定的.

(23)

{[\begin{array}{l} \tilde{x} \\ \tilde{u} \end{array}]}^{T}

W₁

[\begin{array}{l} \tilde{x} \\ \tilde{u} \end{array}]

- 2

\overset{m}{\sum_{i = 1}} \overset{n + 1}{\sum_{j = 1}}

τ_ijf'_j(e_i)(f'_j(e_i)-κ_ije_i)<0

式(23)等价于

(24)W=

[\begin{array}{l} A^{T} P + P A & P B + A^{T} C Λ - C G Γ \\ B^{T} P + Λ C^{T} A - Γ G C^{T} & Λ C^{T} B + B C Λ - 2 Γ \end{array}]

3 存在参数摄动的SADRC系统鲁棒

稳定性分析上文针对多输入多输出标称对象,研究了切换自抗扰控制系统的稳定性,但由于被控对象元件老化、工作环境变化等因素可能存在参数摄动情况,对系统的稳定性造成了直接影响,所以需进一步研究系统在参数摄动条件下的鲁棒稳定性分析问题.

实际系统中的参数摄动问题可用区间系统进行描述.在2.2节的研究背景下,因为只有矩阵A包含系统参数,故若被控对象存在参数摄动,则将连续线性输入多输出自抗扰控制系统转换为如下的输入多输出Lurie系统:

(25)

\begin{array}{l} \overset{\cdot}{\tilde{x}} = N [\underset{⌒}{A}, \overset{⌒}{A}] \tilde{x} + \tilde{B u} \\ σ = C^{T} \tilde{x} \end{array}\}

同时考虑如下系统:

(26)

\begin{array}{l} \overset{\cdot}{\tilde{x}} = \tilde{A x} + \tilde{B u} \\ σ = C^{T} \tilde{x} \end{array}\}

式中 :N $[\underset{⌒}{A}, \overset{⌒}{A}]$ 为(2mn+m)×(2mn+m)阶区间矩阵;A∈N $[\underset{⌒}{A}, \overset{⌒}{A}]$ .

3.1 基于端点矩阵法的SADRC系统鲁棒绝对稳

定性分析定义 1 若对任意的A∈N $[\underset{⌒}{A}, \overset{⌒}{A}]$ ,在式(14)的约束下,系统式(26)是全局渐进稳定的,则系统式(25)在式(14)约束下是鲁棒绝对稳定的.

引理1 对称区间矩阵L(P, Q)稳定的充要条件是其端点矩阵L_V(P, Q)稳定.

定理3 若存在正定矩阵P∈R⁽²^mn⁺^m^)×(2^mn⁺^m⁾和对角矩阵Λ=diag[r₁₁r₂₁ … r_m₁ … r_ij]≥0,Γ=diag(τ₁₁, τ₂₁, …, τ_m₁, …, τ_ij)≥0 (j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),使得由如下所示对称区间矩阵 $\bar{W}$ (A, B, C)的端点矩阵 ${\bar{W}}_{V}$ (A, B, C)构成的一组线性矩阵不等式成立:

(27)

{\bar{W}}_{V}

(A, B, C)=

[\begin{array}{l} A^{T} P + P A & P B + A^{T} C Λ - C G Γ \\ B^{T} P + Λ C^{T} A - Γ G C^{T} & Λ C^{T} B + B C Λ - 2 Γ \end{array}]

式中: G=diag[κ₁₁κ₂₁ … κ_m₁ … κ_ij] (j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),那么系统式(25)在式(14)约束下是鲁棒绝对稳定的.

证明构造Lyapunov函数:

(28)V(

\tilde{x}

{\tilde{x}}^{T} \tilde{P x}

\overset{m}{\sum_{i = 1}} \overset{n + 1}{\sum_{j = 1}}

r_ij

\int_{0}^{e_{i}}

f'_j(e_i)de_i

则有

(29)

\overset{\cdot}{V}

(

\tilde{x}

{\tilde{x}}^{T}

(A^TP+PA)

\tilde{x}

{\tilde{x}}^{T}

(PB+A^TCΛ)

\tilde{u}

{\tilde{u}}^{T}

(ΛC^TB+B^TCΛ)

\tilde{u}

{[\begin{array}{l} \tilde{x} \\ \tilde{u} \end{array}]}^{T}

[\begin{array}{l} \tilde{x} \\ \tilde{u} \end{array}]

式中:W= $[\begin{array}{l} A^{T} P + P A & P B + A^{T} C Λ \\ B^{T} P + Λ C^{T} A & Λ C^{T} B + B C Λ \end{array}]$ .

式(14)等价于

(30)f'_j(e_i)(f'_j(e_i)-κ_ije_i)≤0, j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m

当 $\tilde{x}$ ≠0时,在式(30)条件的限制下,考察函数 $\overset{\cdot}{V}$ ( $\tilde{x}$ )的负定性.由于

(31){(

\tilde{x}

\tilde{u}

\tilde{x}

≠0,式(30)}={(

\tilde{x}

\tilde{u}

\tilde{x}

≠0 或

\tilde{u}

≠0,式(30)}

故可利用S-过程^[24],如果存在τ_ji≥0 (j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),使得 $\tilde{x}$ ≠0 或 $\tilde{u}$ ≠0时式(31)成立,则式(29)在式(31)的条件下是负定的.

(32)

{[\begin{array}{l} \tilde{x} \\ \tilde{u} \end{array}]}^{T}

W₁

[\begin{array}{l} \tilde{x} \\ \tilde{u} \end{array}]

-2

\overset{m}{\sum_{i = 1}} \overset{n + 1}{\sum_{j = 1}}

τ_ijf'_j(e_i)(f'_j(e_i)-κ_ije_i)<0

式(32)成立等价于

(33)

\bar{W}

(A, B, C)=

[\begin{array}{l} A^{T} P + P A & P B + A^{T} C Λ - C G Γ \\ B^{T} P + Λ C^{T} A - Γ G C^{T} & Λ C^{T} B + B C Λ - 2 Γ \end{array}]

即证.

3.2 基于等价描述法的SADRC系统鲁棒绝对稳

定性分析采用端点矩阵法,在推算过程中,因为涉及对称区间矩阵的端点矩阵,故在计算线性矩阵不等式时相对繁杂.为降低计算的繁杂程度,采用等价描述法对SADRC系统的鲁棒绝对稳定性进行分析.

存在参数摄动的SADRC系统可转换为如下的输入多输出Lurie系统:

(34)

\begin{array}{l} \overset{\cdot}{\tilde{x}} = N [\underset{⌒}{A}, \overset{⌒}{A}] \tilde{x} + \tilde{B u} \\ σ = C^{T} \tilde{x} \end{array}\}

同时考虑如下系统:

(35)

\begin{array}{l} \overset{\cdot}{\tilde{x}} = \tilde{A x} + \tilde{B u} \\ σ = C^{T} \tilde{x} \end{array}\}

定义2 若对任意的A∈N $[\underset{⌒}{A}, \overset{⌒}{A}]$ ,在式(14)的约束下,式(35)是全局渐进稳定的,则式(34)在式(14)约束下是鲁棒绝对稳定的.

引入区间矩阵的等价描述:

引理2 设R=0.5( $\overset{⌒}{A}$ - $\underset{⌒}{A}$ )=(r_ij)₍₂_mn₊_m_)×(2_mn₊_m₎,则区间矩阵A∈N[ $\underset{⌒}{A}$ , $\overset{⌒}{A}$ ]可等价描述为

(36)A=A₀+E_a∑_aF_a, ∑ _a∈

\sum_{a}^{*}

式中:

A₀=0.5( $\overset{⌒}{A}$ - $\underset{⌒}{A}$ )

E_a=[ $\sqrt{r_{11}}$ e₁, $\sqrt{r_{12}}$ e₁, …, $\sqrt{r_{1 (2 m n + m)}}$ e₁, $\sqrt{r_{21}}$ e₂, …, $\sqrt{r_{2 (2 m n + m)}}$ e₂, …, $\sqrt{r_{(2 m n + m) 1}}$ e₍₂_mn₊_m₎, …, $\sqrt{r_{(2 m n + m) \times (2 m n + m)}}$ e₍₂_mn₊_m₎]

${F^{T}}_{a}$ =[ $\sqrt{r_{11}}$ e₁, $\sqrt{r_{12}}$ e₁, …, $\sqrt{r_{1 (2 m n + m)}}$ e₍₂_mn₊_m₎, $\sqrt{r_{21}}$ e₁, …, $\sqrt{r_{2 (2 m n + m)}}$ e₍₂_mn₊_m₎, …, $\sqrt{r_{(2 m n + m) 1}}$ e₁, …, $\sqrt{r_{(2 m n + m) \times (2 m n + m)}}$ e₍₂_mn₊_m₎]

e_i为(2mn+m)×(2mn+m)阶单位矩阵的第i个单位列向量.

证明考虑系统式(35)在约束条件式(14)下的绝对稳定性,构造Lyapunov函数:

(37)V(

\tilde{x}

{\tilde{x}}^{T} \tilde{P x}

\overset{m}{\sum_{g = 1}} \overset{n + 1}{\sum_{i = 1}}

r_gi

\int_{0}^{e_{g}}

f'_i(e_g)de_g

式中:正定矩阵P∈R⁽²^mn⁺^m^)×(2^mn⁺^m⁾和对角矩阵Λ=diag[r₁₁r₂₁ … r_m₁ … r_ij]≥0(j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m)为待定矩阵.

定义

(38)p=∑_aF_a

\tilde{x}

则式(37)的导数为

(39)

\overset{\cdot}{V}

(

\tilde{x}

{\tilde{x}}^{T}

(A^TP+PA)

\tilde{x}

{\tilde{x}}^{T}

(PB+A^TCΛ)

\tilde{u}

{\tilde{u}}^{T}

(ΛC^TB+B^TCΛ)

\tilde{u}

{\tilde{x}}^{T}

[(A₀+E_aΣ_aF_a)^TP+P(A₀+E_aΣ_aF_a)]

\tilde{x}

{\tilde{x}}^{T}

[PB+(A₀+E_aΣ_aF_a)^TCΛ]

\tilde{u}

{\tilde{u}}^{T}

(ΛC^TB+B^TCΛ)

\tilde{u}

{\tilde{x}}^{T}

(

{A^{T}}_{0}

P+PA₀)

\tilde{x}

{\tilde{x}}^{T}

(PB+

{A^{T}}_{0}

CΛ)

\tilde{u}

{\tilde{u}}^{T}

(ΛC^TB+B^TCΛ)

\tilde{u}

{\tilde{x}}^{T}

PE_ap+2

{\tilde{u}}^{T}

ΛC^TE_ap=

{[\begin{array}{l} \tilde{x} \\ \tilde{u} \\ p \end{array}]}^{T} [\begin{array}{l} {A^{T}}_{0} P + P A_{0} & P B + {A^{T}}_{0} C Λ & P E_{a} \\ B^{T} P + Λ C^{T} A_{0} & Λ C^{T} B + B^{T} C Λ & Λ C^{T} E_{a} \\ {E^{T}}_{a} P & {E^{T}}_{a} C Λ & 0 \end{array}] [\begin{array}{l} \tilde{x} \\ \tilde{u} \\ p \end{array}]

式(14)等价于

(40)f'_j(e_i)(f'_j(e_i)-κ_ije_i)≤0, j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m

当 $\tilde{x}$ ≠0时,在式(40)条件的限制下,考察 $\overset{\cdot}{V}$ ( $\tilde{x}$ )的负定性.由于

(41){(

\tilde{x}

\tilde{u}

, p)|

\tilde{x}

≠0,式(40)}={(

\tilde{x}

\tilde{u}

, p)|(

\tilde{x}

\tilde{u}

, p)≠0,式(40)}

并且由式(38)可得:

(42)p^Tp≤

{\tilde{x}}^{T} {F^{T}}_{a}

F_a

\tilde{x}

故可利用S-过程^[24],如果存在Γ=diag[τ₁₁τ₂₁ … τ_m₁ … τ_ij]≥0(j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),ε₁>0,使得LMI

(43)

[\begin{array}{l} {A^{T}}_{0} P + P A_{0} + ε_{1} {F^{T}}_{a} F_{a} & P B + {A^{T}}_{0} C Λ + C G Γ & P E_{a} \\ B^{T} P + Λ C^{T} A_{0} + Γ G C^{T} & Λ C^{T} B + B^{T} C Λ & Λ C^{T} E_{a} \\ {E^{T}}_{a} P & {E^{T}}_{a} C Λ & - ε_{1} I \end{array}]

成立,则式(39)在式(14)的条件下是负定的,故有以下定理:

定理4 如果式(43)的LMI存在P≥0,Γ≥0,Λ≥0以及ε₁>0的可行解,那么系统式(34)在条件式(40)的约束下是鲁棒绝对稳定的.

4 数值仿真

考虑如下二阶输入多输出系统:

(44)

\begin{array}{l} {\ddot{y}}_{1} = a_{14} y_{1} + a_{13} y_{2} + a_{12} {\overset{\cdot}{y}}_{1} + \\ a_{11} {\overset{\cdot}{y}}_{2} + K_{11} u_{d 1} + K_{12} u_{d 2} \\ {\ddot{y}}_{2} = a_{24} y_{1} + a_{23} y_{2} + a_{22} {\overset{\cdot}{y}}_{1} + \\ a_{21} {\overset{\cdot}{y}}_{2} + K_{21} u_{d 1} + K_{22} u_{d 2} \end{array}\}

式中:y₁、y₂、u_d₁、u_d₂分别系统式(44)两个通道的输出和输入; K₁₁=12.8,K₁₂=-18.9,K₂₁=6.6,K₂₂=-19.4,在SADRC参数取值不变的条件下,为分析SADRC控制不同对象时控制系统的稳定性,验证SADRC控制器的控制性能,采用相同的SADRC控制器,对双积分串联型系统1、最小相位系统2、非最小相位系统3和4分别进行控制,不同被控对象的a_mn(m=1, 2;n=1, 2, 3, 4)取值如表1所示.

表1 不同系统模型参数取值

Tab.1 Parameters of different system models

系统	a₁₄	a₁₂	a₂₃	a₂₁
1	0	0	0	0
2	-1	-2	-8	-6
3	0	1	0	2
4	-1	2	-8	6

新窗口打开| 下载CSV

引入虚拟控制量u_dv=C_du_d,其中,u_d=[u_d1u_d2]^T,u_dv=[u_dv1u_dv2]^T,控制系数矩阵C_d= $[\begin{array}{l} K_{11} & K_{12} \\ K_{21} & K_{22} \end{array}]$ ,将其代入式(44),可得:

(45)

\begin{array}{l} {\ddot{y}}_{1} = a_{14} y_{1} + a_{13} y_{2} + a_{12} {\overset{\cdot}{y}}_{1} + a_{11} {\overset{\cdot}{y}}_{2} + u_{d v 1} \\ {\ddot{y}}_{2} = a_{24} y_{1} + a_{23} y_{2} + a_{22} {\overset{\cdot}{y}}_{1} + a_{21} {\overset{\cdot}{y}}_{2} + u_{d v 2} \end{array}\}

针对系统式(45)设计的SADRC控制器相关参数选择如表2所示,表中,w_c为控制系统中控制器带宽;w_o、w_oN分别为LESO和NLESO的带宽.

表2 SADRC控制器参数选择

Tab.2 Parameters of SADRC controllers

y₁通道	y₂通道
α₁=1, α₂=0.5, α₃=0.25, w_c=1.1, w_o=10, w_oN=5, δ_s=0.005, δ=0.002, b₀=1, β₀₁=3 w_oN, β₀₂=3 w_oN₂/5, β₀₃= w_oN₃/9	α₁=1, α₂=0.5, α₃=0.25, w_c=1.68, w_o=10, w_oN =5, δ_s=0.005, δ=0.002, b₀=1, β₀₁=3 w_oN, β₀₂=3 w_oN₂/5, β₀₃= w_oN₃/9

新窗口打开| 下载CSV

4.1 稳定性分析

(1) 绝对稳定性分析.

根据F'_s_ij∈ $[0, κ_{i 2 j} - κ_{i 1 j}]$ (i=1, 2),将相关矩阵及参数代入到式(23)所示LMI并求解,发现串联积分型系统、最小相位系统对应的LMI有解,因此可判断系统是绝对稳定的.而非最小相位系统对应的LMI无解,系统绝对稳定性无法保证.

(2) 基于端点矩阵法和等价描述法的鲁棒绝对稳定性分析.

根据F'_s_ij∈[0, κ_i₂_j-κ_i₁_j](i=1, 2),表1中涉及的模型参数a_mn(m=1, 2; n=1, 2, 3, 4)上下浮动±10%,±30%,将相关矩阵及参数代入到式(33)、(43)所示LMI并求解,发现串联积分型系统、最小相位系统对应的LMI有解,因此可判断系统是鲁棒绝对稳定的.而非最小相位系统对应的LMI无解,系统的鲁棒绝对稳定性无法保证.

4.2 仿真验证

(1) 绝对稳定性分析仿真实验.

基于MATLAB验证上述仿真结果.设置两通道初始值y₁(0)=0,y₂(0)=0,分别设置y₁、y₂通道期望值为y_d1=1,y_d2=1,并在仿真时间t=25 s 对y₁、y₂通道分别加入幅值为0.1和0.3的干扰,在保持SADRC参数情况不变的前提下,对表1中的4种被控对象进行控制,实验结果如图1所示.

图1

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图1 被控对象两通道跟踪效果

Fig.1 Tracking performance of two channels of controlled object

由图1可以得出如下结论:① 在SADRC控制器参数选择适当的条件下,串联积分型系统、最小相位系统绝对稳定,系统具有较好的抗扰性,与理论分析结果一致;② 系统3对应的LMI虽然无解,系统不是绝对稳定的,但系统仍然可控,说明系统渐近稳定.这是因为求解LMI方法验证系统的稳定性是系统稳定性的充分条件,具有一定保守性,系统无法保证绝对稳定的情况下,仍可能是渐近稳定的,需要进一步进行判断;③不同被控对象在相同的SADRC控制器条件下,控制性能不同,串联积分型和最小相位系统的控制性能优于非最小相位系统和随机系统,说明被控对象的参数影响系统的控制性能;④ 根据被控对象的特点,可以发现,对于本文给出的线性标称输入多输出被控对象,被控系统本身稳定的,合理选择SADRC控制器参数,可以保证闭环系统绝对稳定,系统具有较好的控制性能,对于被控系统本身不稳定的,通过合理选择SADRC控制其参数,虽然无法保证系统绝对稳定,但系统仍可能是渐近稳定的.

(2) 鲁棒绝对稳定性分析.

考虑模型参数a_mn(m=1, 2; n=1, 2, 3, 4)浮动值分别为±10%,±30%,实验条件设置同仿真实验(1),在参数浮动条件下两通道的跟踪效果分别如图2~5所示.

图2

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图2 被控对象两通道跟踪效果(模型参数摄动-10%)

Fig.2 Tracking performance of two channels of controlled object (-10% perturbation of model parameters)

图3

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图3 被控对象两通道跟踪效果(模型参数浮动+10%)

Fig.3 Tracking performance of two channels of controlled object (+10% perturbation of model parameters)

图4

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图4 被控对象两通道跟踪效果(模型参数浮动-30%)

Fig.4 Tracking performance of two channels of controlled object (-30% perturbation of model parameters)

图5

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图5 被控对象两通道跟踪效果(模型参数浮动+30%)

Fig.5 Tracking performance of two channels of controlled object (+30% perturbation of model parameters)

由实验结果可以得到如下结论:① 在控制器参数选择适当的条件下,串联积分型系统、最小相位系统是鲁棒绝对稳定的,且参数摄动对系统的控制性能影响不大,这是因为在系统鲁棒绝对稳定的条件下,与控制输入无关的参数变化可以视作系统的内部扰动,自抗扰控制可以对系统的内部扰动进行估计和补偿;② 系统3对应的LMI虽然无解,系统不是鲁棒绝对稳定的,但系统仍然可控,说明系统渐近稳定,在系统无法保证鲁棒绝对稳定的情况下,系统是否渐近稳定需要进一步验证;③ 对于不稳定系统4,参数摄动对系统的控制性能影响较大(见图3),当系统参数减小到一定程度,系统4的y₁通道可控,而y₂通道不可控,这说明当前控制器参数无法使系统4稳定,但是适当选择控制器参数,系统是可能稳定的.

5 结论

针对一类连续线性标称输入多输出控制系统,提出了基于SADRC的解耦控制方法,并针对该解耦控制系统给出了基于LMI方法的闭环控制系统绝对稳定性分析和鲁棒绝对稳定性分析方法.同时采用数值仿真的方式,针对不同的被控对象对提出的绝对稳定性分析方法和鲁棒绝对稳定性分析方法进行验证,主要结论如下:

(1) 证明了在控制器参数选择适当的情况下,被控对象本身的特性(系统是否稳定、系统参数等)会影响闭环系统的绝对稳定性.

(2) 在闭环系统绝对稳定性无法保证的情况下,系统仍可能是渐近稳定的,这是因为LMI方法判断系统的绝对稳定性是充分条件,具有一定的保守性,在绝对稳定性无法保证的条件下,如何判断系统是否是渐近稳定的需要进一步研究.

(3) 在被控对象相同的情况下,与控制输入无关的参数摄动对系统的控制性能影响较小.需要指出的是,本文的研究对象进行稳定性分析时并未考虑外扰的影响,未来工作将考虑存在外扰情况下的MIMO系统稳定性分析.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

韩京清.

自抗扰控制器及其应用

[J]. 控制与决策, 1998, 13(1): 19-23.

[本文引用: 1]

HAN

Jingqing

Auto-disturbances-rejection controller and its applications

[J]. Control and Decision, 1998, 13(1): 19-23.

[本文引用: 1]

[2]

黄一, 韩京清.

非线性连续二阶扩张状态观测器的分析与设计

[J]. 科学通报, 2000, 45(13): 1373-1379.

[本文引用: 1]

HUANG

, HAN

Jingqing

Analysis and design of nonlinear continunous second-order extended state observer

[J]. Chinese Science Bulletin, 2000, 45(13): 1373-1379.

DOI:10.1007/BF02886240 URL [本文引用: 1]

[3]

HUANG

, WAN

, SONG

Analysis and design for third order nonlinear continuous extended states observer

[C] ∥Proceedings of the 19th Chinese Control Conference. Hong Kong, China: IEEE, 2000.

[本文引用: 1]

[4]

陈刚, 张兆靖, 杨慧中.

基于变结构的自抗扰控制器

[J]. 化工自动化及仪表, 2007, 34(6): 16-19.

[本文引用: 1]

CHEN

Gang

, ZHANG

Zhaojing

, YANG

Huizhong

Auto disturbance rejection controller based on variable structure

[J]. Control and Instruments in Chemical Industry, 2007, 34(6): 16-19.

[本文引用: 1]

[5]

ZHAO

Z L

, GUO

B Z

On active disturbance rejection control for nonlinear systems using time-varying gain

[J]. European Journal of Control, 2015, 23: 62-70.

DOI:10.1016/j.ejcon.2015.02.002 URL [本文引用: 1]

[6]

GAO

Z Q

Scaling and bandwidth-parameterization based controller tuning

[C]∥Proceedings of the 2003 American Control Conference. Colorad, USA: IEEE, 2003: 4989-4996.

[本文引用: 1]

[7]

陈增强, 孙明玮, 杨瑞光.

线性自抗扰控制器的稳定性研究

[J]. 自动化学报, 2013, 39(5): 574-580.

[本文引用: 1]

CHEN

Zengqiang

, SUN

Mingwei

, YANG

Ruiguang

On the stability of linear active disturbance rejection control

[J]. Acta Automatica Sinica, 2013, 39(5): 574-580.

DOI:10.3724/SP.J.1004.2013.00574 URL [本文引用: 1]

[8]

吴丹, 赵彤, 陈恳.

快速刀具伺服系统自抗扰控制的研究与实践

[J]. 控制理论与应用, 2013, 30(12): 1534-1542.

[本文引用: 1]

Dan

, ZHAO

Tong

, CHEN

Ken

Research and industrial applications of active disturbance rejection control to fast tool servos

[J]. Control Theory & Applications, 2013, 30(12): 1534-1542.

[本文引用: 1]

[9]

, CHEN

Frequency-domain analysis of nonlinear active disturbance rejection control via the describing function method

[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2013, 60(9): 3906-3914.

DOI:10.1109/TIE.2012.2203777 URL [本文引用: 1]

[10]

邵星灵, 王宏伦.

线性扩张状态观测器及其高阶形式的性能分析

[J]. 控制与决策, 2015, 30(5): 815-822.

[本文引用: 1]

SHAO

Xingling

, WANG

Honglun

Performance analysis on linear extended state observer and its extension case with higher extended order

[J]. Control and Decision, 2015, 30(5): 815-822.

[本文引用: 1]

[11]

周涛.

基于反双曲正弦函数的自抗扰控制器

[J]. 上海交通大学学报, 2015, 49(8): 1186-1190.

[本文引用: 1]

ZHOU

Tao

An active disturbance rejection controller based on inverse hyperbolic sine function

[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University, 2015, 49(8): 1186-1190.

[本文引用: 1]

[12]

SUN

, LI

D H

, HU

K T

, et al.

On tuning and practical implementation of active disturbance rejection controller: A case study from a regenerative heater in a 1000 MW power plant

[J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2016, 55(23): 6686-6695.

DOI:10.1021/acs.iecr.6b01249 URL [本文引用: 1]

[13]

张铁, 吴圣和, 蔡超.

基于浮动平台的机器人恒力控制研磨方法

[J]. 上海交通大学学报, 2020, 54(5): 515-523.

[本文引用: 1]

ZHANG

Tie

, WU

Shenghe

, CAI

Chao

Constant force control method for robotic disk grinding based on floating platform

[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University, 2020, 54(5): 515-523.

[本文引用: 1]

[14]

郭金龙, 姜淑华.

基于FOADRC的四旋翼无人机姿态控制研究

[J]. 长春理工大学学报(自然科学版), 2021, 44(4): 71-76.

[本文引用: 1]

GUO

Jinlong

, JIANG

Shuhua

Research on attitude control of quadrotor UAV based on FOADRC

[J]. Journal of Changchun University of Science and Technology (Natural Science Edition), 2021, 44(4): 71-76.

[本文引用: 1]

[15]

, XIA

Y Q

, QI

X H

, et al.

On the necessity, scheme, and basis of the linear-nonlinear switching in active disturbance rejection control

[J]. IEEE Tran-sactions on Industrial Electronics, 2017, 64(2): 1425-1435.

[本文引用: 4]

[16]

李杰, 齐晓慧, 夏元清, 等.

线性/非线性自抗扰切换控制方法研究

[J]. 自动化学报, 2016, 42(2): 202-212.

[本文引用: 2]

Jie

, QI

Xiaohui

, XIA

Yuanqing

, et al.

On linear/nonlinear active disturbance rejection switching control

[J]. Acta Automatica Sinica, 2016, 42(2): 202-212.

[本文引用: 2]

[17]

刘福才, 王立新, 贾晓菁, 等.

线性/非线性自抗扰切换控制在变载荷气动加载系统中的应用

[J]. 机械工程学报, 2018, 54(12): 225-232.

DOI:10.3901/JME.2018.12.225 [本文引用: 2]

针对气动加载系统压力跟踪控制中强非线性、强耦合性、模型不精确性等问题，提出一种线性/非线性自抗扰切换控制器，该控制器结合了线性自抗扰控制器参数整定简便、理论分析简单和非线性自抗扰控制器跟踪精度高、响应快的优点，设计线性/非线性切换扩张状态观测器对系统的耦合项以及不同幅值的扰动等不确定项进行估计，并采用切换状态误差反馈控制律给予实时主动补偿，进而实现系统加载压力的实时控制，并完成了线性/非线性切换扩张状态观测器的收敛性证明。最后，在气动变载荷摩擦磨损试验机试验平台上进行试验验证，与线性自抗扰和非线性自抗扰进行对比，试验结果表明，改进的控制器具有抗干扰性强、跟踪精度高、应用性强等特点。

LIU

Fucai

, WANG

Lixin

, JIA

Xiaojing

, et al.

Application of linear/nonlinear active disturbance rejection switching control in variable load pneumatic loading system

[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2018, 54(12): 225-232.

DOI:10.3901/JME.2018.12.225 [本文引用: 2]

In order to solve the problems in the pressure tracking control of pneumatic loading system, such as strong nonlinear, strong coupling, and model inaccuracy, a linear/nonlinear active disturbance rejection switching controller (SADRC) is put forward, which combines the advantages of the simple parameter tuning, simple theoretical analysis of the LADRC, and high precision, fast response of the NLADRC, the linear/nonlinear switching extended state observer is designed to estimate the coupling term of the system, different amplitude disturbance and its uncertainties, and the switching state error feedback control law is used for the real-time active compensation, and then the real time pressure control of the pneumatic loading system is achieved. In addition, the convergence of linear/nonlinear switching extended state observer is proved. Finally, experiments are carried out in the pneumatic variable load friction wear testing machine experiment platform, comparing with LADRC and NLADRC, the results prove that the improved controller is strong anti-disturbance, high tracking precision and strong applicability.

[18]

朱熀秋, 赵泽龙.

三自由度六极混合磁轴承线性/非线性自抗扰切换解耦控制

[J]. 中国电机工程学报, 2018, 38(10): 3077-3086.

[本文引用: 1]

ZHU

Huangqiu

, ZHAO

Zelong

Decoupling control based on linear/nonlinear active disturbance rejection switching for 3-degree-of-freedom 6-pole hybrid magnetic bearing

[J]. Proceedings of the CSEE, 2018, 38(10): 3077-3086.

[本文引用: 1]

[19]

郭杰, 刘轶华, 马利华.

基于多模态快速非奇异终端滑模的船舶航迹跟踪自抗扰控制

[J]. 中国航海, 2020, 43(2): 7-13.

[本文引用: 1]

GUO

Jie

, LIU

Yihua

, MA

Lihua

Active disturbance rejection control for ship trajectory tracking with multimodal fast nonsingular terminal sliding mode strategy

[J]. Navigation of China, 2020, 43(2): 7-13.

[本文引用: 1]

[20]

YANG

F F

, GUO

, WANG

Switching active disturbance rejection controller for a ship dynamic positioning system

[C]∥2018 13th World Congress on Intelligent Control and Automation. Changsha, China: IEEE, 2018: 455-460.

[本文引用: 1]

[21]

ZHAO

J W

, ZHANG

H L

, LI

X K

Active disturbance rejection switching control of quadrotor based on robust differentiator

[J]. Systems Science & Control Engineering, 2020, 8(1): 605-617.

[本文引用: 2]

[22]

吴正平, 邓聪, 文海.

模糊线性/非线性自抗扰切换控制及其应用

[J]. 航空学报, 2021, 42(9): 324710.

DOI:10.7527/S1000-6893.2020.24710 [本文引用: 1]

针对干扰弹在作战过程中所遇到的强非线性的干扰、模型不确定性的影响等特性，提出了一种模糊线性/非线性自抗扰切换控制器。首先，以干扰弹滚转运动模拟装置为研究对象，分别建立了以飞轮角速度为被控量、滚转角为被控量的数学模型；提出了用模糊规则改进线性/非线性自抗扰切换控制条件，进而实现更为平稳的模糊软切换；然后选择采用飞轮角速度线性自抗扰控制内环和滚转角模糊线性/非线性自抗扰切换控制外环的双闭环控制策略；最后，搭建了系统的仿真模型与实验平台。仿真与实验结果都表明该控制器兼具了线性自抗扰与非线性自抗扰的优势，具有较高的实际应用价值。

Zhengping

, DENG

Cong

, WEN

Hai

Fuzzy linear/nonlinear active disturbance rejection switching control and its application

[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2021, 42(9): 324710.

DOI:10.7527/S1000-6893.2020.24710 [本文引用: 1]

A fuzzy linear/nonlinear active disturbance rejection switching controller is proposed to deal with the strong nonlin-ear interference and the influence of model uncertainty encountered by the jamming bomb in the combat process. Firstly, mathematical models with the flywheel angular velocity as the controlled variable and the rolling angle as the controlled variable are established for the roll motion simulation device of the jamming projectile. The fuzzy rules are used to improve the linear/nonlinear active disturbance rejection switching control conditions, so as to achieve more stable fuzzy soft switching. Then, the strategies of the closed inner loop of Active Disturbance Rejection Control (ADRC) of flywheel angular velocity and the closed outer loop of fuzzy linear/nonlinear active disturb-ance rejection switching control of roll angle are used. Finally, the simulation model and experimental platform of the system are built. The simulation and experimental results show that the controller has the advantages of linear and nonlinear ADRC, and has high applicability.

[23]

万慧, 齐晓慧.

线性/非线性切换扩张状态观测器的收敛性和稳定性分析

[J]. 信息与控制, 2020, 49(2): 163-169.

DOI:10.13976/j.cnki.xk.2020.9073 [本文引用: 1]

线性/非线性切换扩张状态观测器（linear/nonlinear switching extended state observer，SESO）是为追求更高的控制精度和抗扰能力，在进行状态估计时根据状态误差大小在线性扩张状态观测器（linear extended state observer，LESO）和非线性扩张状态观测器（nonlinear extended state observer，NLESO）之间进行切换的一种扩张状态观测器.但由于该算法存在非线性结构，目前还没有从频域角度对该方法进行收敛性和控制系统稳定性分析的相关研究.针对此问题，以二阶系统为研究对象，首先对SESO的结构及参数选择进行了介绍，然后，分别采用等效增益法和描述函数法，从频域角度对了其状态估计误差的收敛性和基于SESO的自抗扰控制系统的稳定性进行了研究.结果表明，三阶SESO具有良好的收敛性，能实现对系统状态和"总扰动"的误差估计，并且选择适当的SESO参数，可避免极限环的产生.

WAN

Hui

, QI

Xiaohui

Convergence and stability analysis of linear/nonlinear switching extended state observer

[J]. Information and Control, 2020, 49(2): 163-169.

DOI:10.13976/j.cnki.xk.2020.9073 [本文引用: 1]

Linear/nonlinear switching extended state observer (SESO) is a newly proposed state error-based switching observer that switches between the linear extended state observer (LESO) and the nonlinear extended state observer (NLESO) when performing state estimation in order to realize high control precision and strong anti-disturbance ability. Presently, there are no studies on the convergence and stability analysis of this observer in the frequency domain. Considering this issue, the structure and parameter tuning of SESO is introduced for a second-order plant; then the convergence and stability of the observer are analyzed in the frequency domain using the equivalent gain method, and the function is described. The results show that the third-order SESO has good convergence and can estimate the states and "total disturbance" of the system, and that if the parameters are tuned properly, limit cycles will not exist.

[24]

朱士鹏.

基于LMI的区间Lurie控制系统鲁棒绝对稳定性分析方法[D]. 长沙: 中南大学, 2005.

[本文引用: 3]

ZHU

Shipeng

LMI based robust absolute stability analysis method for interval Lurie control system[D]. Changsha: Central South University, 2005.

[本文引用: 3]

自抗扰控制器及其应用

1998

... 韩京清^[1]于1998年正式提出了自抗扰控制(Active Disturbance Rejection Control, ADRC).早期的自抗扰控制器为非线性结构,参数较多,整定相对困难,给理论分析带来了不便,因此发展较为缓慢.但仍有部分学者围绕扩张状态观测器(Extended State Observer, ESO)、参数整定以及控制器结构改进等方面进行了研究,如黄一等^[2-3]通过自稳定域理论给出了低阶ESO的收敛性证明并对估计误差进行了研究,揭示了非光滑连续结构在控制器设计和误差观测中的优势.陈刚等^[4]利用变结构控制原理对自抗扰控制器结构进行了改进,减少了需整定参数的个数.Zhao等^[5]则针对一类非线性系统设计了时变增益ESO,进一步扩展了自抗扰控制器的应用范围.目前,这些成果仍具有很强的借鉴意义.Gao^[6]提出了线性自抗扰控制器(Linear Active Disturbance Rejection Control, LADRC),该控制器物理意义明确,参数整定简单,为研究自抗扰控制理论带来了新思路.陈增强等^[7]针对系统模型未知的情况,证明了线性扩张状态观测器估计误差有界和闭环控制系统输入-输出有界稳定.吴丹等^[8-9]针对快速刀具伺服系统,分别设计了基于非线性自抗扰和线性自抗扰的控制器,从频域或准频域角度对自抗扰控制的稳定性和控制性能进行分析.邵星灵等^[10]采用Lyapunov逆定理研究了任意扩张阶数下线性扩张状态观测器(Linear Extended State Observer, LESO)重构状态误差的收敛性问题,并对LESO及其高阶扩展形式的性能进行了评估分析,为ESO的选取提供了理论依据.周涛^[11]利用反双曲正弦函数构造了一种新型自抗扰控制器,该控制器可以有效抑制系统内部和外部非线性扰动的影响,理论研究也促进了工程应用的进展.Sun等^[12]引入极大值敏感函数用以对扩张状态观测器进行参数整定,并将其应用于1 000 MW机组的热力回热器,证明了ADRC在过程控制中具有较好的应用前景.张铁等^[13]将LADRC应用于浮动平台的机器人研磨系统,减少了磨削过程中的力波动并降低了研磨表面的粗糙度.郭金龙等^[14]则将改进的LADRC与分数阶控制结合,在四旋翼高度姿态控制中取得了良好效果,自抗扰控制逐渐成为国内外学者的研究热点之一. ...

自抗扰控制器及其应用

1998

非线性连续二阶扩张状态观测器的分析与设计

2000

非线性连续二阶扩张状态观测器的分析与设计

2000

Analysis and design for third order nonlinear continuous extended states observer

2000

基于变结构的自抗扰控制器

2007

基于变结构的自抗扰控制器

2007

On active disturbance rejection control for nonlinear systems using time-varying gain

2015

Scaling and bandwidth-parameterization based controller tuning

2003

线性自抗扰控制器的稳定性研究

2013

线性自抗扰控制器的稳定性研究

2013

快速刀具伺服系统自抗扰控制的研究与实践

2013

快速刀具伺服系统自抗扰控制的研究与实践

2013

Frequency-domain analysis of nonlinear active disturbance rejection control via the describing function method

2013

线性扩张状态观测器及其高阶形式的性能分析

2015

线性扩张状态观测器及其高阶形式的性能分析

2015

基于反双曲正弦函数的自抗扰控制器

2015

基于反双曲正弦函数的自抗扰控制器

2015

On tuning and practical implementation of active disturbance rejection controller: A case study from a regenerative heater in a 1000 MW power plant

2016

基于浮动平台的机器人恒力控制研磨方法

2020

基于浮动平台的机器人恒力控制研磨方法

2020

基于FOADRC的四旋翼无人机姿态控制研究

2021

基于FOADRC的四旋翼无人机姿态控制研究

2021

On the necessity, scheme, and basis of the linear-nonlinear switching in active disturbance rejection control

2017

... 目前,虽然LADRC是理论研究和工程应用的主流,但非线性自抗扰控制器(Nonlinear Active Disturbance Rejection Control, NLADRC)在稳态精度以及抗干扰能力等方面的潜在优势也不容忽视,在自抗扰控制体系的发展中,二者缺一不可.本团队为充分发挥二者优势,提出了综合两者优点的线性/非线性切换自抗扰控制(Linear/Nonlinear Switching Active Disturbance Rejection Control, SADRC)方法^[15-16],在自抗扰控制研究领域引起了部分学者的关注.目前,针对单输入单输出(Single-Input Single-Output, SISO)被控对象,本团队已经完成了基于该方法的控制器设计和稳定性分析^[15-16],并通过算例仿真的方式对该方法的抗干扰能力和跟踪精度进行了初步验证.除了本团队致力于研究 SADRC 相关内容外,刘福才等^[17]将SADRC应用于变载荷气动加载系统中, 在工程实际应用中验证了SADRC具有良好的控制效果.朱熀秋等^[18]采用SADRC实现了三自由度六极混合磁轴承解耦控制,并通过仿真和实验验证了该控制方法的有效性.郭杰等^[19]针对欠驱动船舶航迹直线和曲线跟踪控制问题,设计了基于多模态快速非奇异终端滑模的自抗扰控制器,通过切换扩张状态观测器实现对船舶包含内扰和外扰的“总扰动”的实时估计.Yang等^[20]针对船舶动力定位系统,提出了径向基-切换自抗扰控制器,克服了SADRC在切换临界点可能出现的抖振问题.Zhao等^[21]针对四旋翼无人机的轨迹跟踪问题,设计了基于鲁棒微分器的切换自抗扰控制器,通过仿真验证了该控制器具有良好的抗白噪声能力.吴正平等^[22]针对干扰弹滚转控制系统设计了切换自抗扰控制器,并用模糊规则改进了线性/非线性切换自抗扰控制条件,实现更为平稳的模糊软切换.虽然SADRC在工程应用研究方面取得了一定的成果,但是其理论分析仍进展较为缓慢,主要集中于对切换扩张状态观测器的收敛性分析^[17,23]和单输入单输出被控对象的稳定性分析^[15].尽管有将其应用于多输入多输出被控对象的研究,但是只考虑了解耦后的单个子系统的稳定性^[21],在理论上还有待进一步研究. ...

... [15-16],并通过算例仿真的方式对该方法的抗干扰能力和跟踪精度进行了初步验证.除了本团队致力于研究 SADRC 相关内容外,刘福才等^[17]将SADRC应用于变载荷气动加载系统中, 在工程实际应用中验证了SADRC具有良好的控制效果.朱熀秋等^[18]采用SADRC实现了三自由度六极混合磁轴承解耦控制,并通过仿真和实验验证了该控制方法的有效性.郭杰等^[19]针对欠驱动船舶航迹直线和曲线跟踪控制问题,设计了基于多模态快速非奇异终端滑模的自抗扰控制器,通过切换扩张状态观测器实现对船舶包含内扰和外扰的“总扰动”的实时估计.Yang等^[20]针对船舶动力定位系统,提出了径向基-切换自抗扰控制器,克服了SADRC在切换临界点可能出现的抖振问题.Zhao等^[21]针对四旋翼无人机的轨迹跟踪问题,设计了基于鲁棒微分器的切换自抗扰控制器,通过仿真验证了该控制器具有良好的抗白噪声能力.吴正平等^[22]针对干扰弹滚转控制系统设计了切换自抗扰控制器,并用模糊规则改进了线性/非线性切换自抗扰控制条件,实现更为平稳的模糊软切换.虽然SADRC在工程应用研究方面取得了一定的成果,但是其理论分析仍进展较为缓慢,主要集中于对切换扩张状态观测器的收敛性分析^[17,23]和单输入单输出被控对象的稳定性分析^[15].尽管有将其应用于多输入多输出被控对象的研究,但是只考虑了解耦后的单个子系统的稳定性^[21],在理论上还有待进一步研究. ...

... [15].尽管有将其应用于多输入多输出被控对象的研究,但是只考虑了解耦后的单个子系统的稳定性^[21],在理论上还有待进一步研究. ...

... 式中:δ_s_i为第i个子系统的控制器中NLESO与LESO进行切换的临界值,其取值可通过仿真、实验或理论计算确定^[15],且在NLESO和SESO进行切换的过程中,当e_i在临界点δ_s_i时,观测器的增益是连续变化而不是突变的,虽然斜率有所变化,但不会带来严重的平稳性问题,故不会因为两种扩张状态观测器的切换造成系统不稳定; l_ij(e_i)为NLESO中的非线性函数,本文采用的形式为 ...

线性/非线性自抗扰切换控制方法研究

2016

... -16],并通过算例仿真的方式对该方法的抗干扰能力和跟踪精度进行了初步验证.除了本团队致力于研究 SADRC 相关内容外,刘福才等^[17]将SADRC应用于变载荷气动加载系统中, 在工程实际应用中验证了SADRC具有良好的控制效果.朱熀秋等^[18]采用SADRC实现了三自由度六极混合磁轴承解耦控制,并通过仿真和实验验证了该控制方法的有效性.郭杰等^[19]针对欠驱动船舶航迹直线和曲线跟踪控制问题,设计了基于多模态快速非奇异终端滑模的自抗扰控制器,通过切换扩张状态观测器实现对船舶包含内扰和外扰的“总扰动”的实时估计.Yang等^[20]针对船舶动力定位系统,提出了径向基-切换自抗扰控制器,克服了SADRC在切换临界点可能出现的抖振问题.Zhao等^[21]针对四旋翼无人机的轨迹跟踪问题,设计了基于鲁棒微分器的切换自抗扰控制器,通过仿真验证了该控制器具有良好的抗白噪声能力.吴正平等^[22]针对干扰弹滚转控制系统设计了切换自抗扰控制器,并用模糊规则改进了线性/非线性切换自抗扰控制条件,实现更为平稳的模糊软切换.虽然SADRC在工程应用研究方面取得了一定的成果,但是其理论分析仍进展较为缓慢,主要集中于对切换扩张状态观测器的收敛性分析^[17,23]和单输入单输出被控对象的稳定性分析^[15].尽管有将其应用于多输入多输出被控对象的研究,但是只考虑了解耦后的单个子系统的稳定性^[21],在理论上还有待进一步研究. ...

线性/非线性自抗扰切换控制方法研究

2016

线性/非线性自抗扰切换控制在变载荷气动加载系统中的应用

2018

... [17,23]和单输入单输出被控对象的稳定性分析^[15].尽管有将其应用于多输入多输出被控对象的研究,但是只考虑了解耦后的单个子系统的稳定性^[21],在理论上还有待进一步研究. ...

线性/非线性自抗扰切换控制在变载荷气动加载系统中的应用

2018

三自由度六极混合磁轴承线性/非线性自抗扰切换解耦控制

2018

三自由度六极混合磁轴承线性/非线性自抗扰切换解耦控制

2018

基于多模态快速非奇异终端滑模的船舶航迹跟踪自抗扰控制

2020

基于多模态快速非奇异终端滑模的船舶航迹跟踪自抗扰控制

2020

Switching active disturbance rejection controller for a ship dynamic positioning system

2018

Active disturbance rejection switching control of quadrotor based on robust differentiator

2020

... [21],在理论上还有待进一步研究. ...

模糊线性/非线性自抗扰切换控制及其应用

2021

模糊线性/非线性自抗扰切换控制及其应用

2021

线性/非线性切换扩张状态观测器的收敛性和稳定性分析

2020

线性/非线性切换扩张状态观测器的收敛性和稳定性分析

2020

2005

... 故可利用S-过程^[24],如果存在τ_ij≥0(j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),使得

\tilde{x}

或

\tilde{u}

≠0时式(23)成立,则式(20)在式(21)的条件下是负定的. ...

... 故可利用S-过程^[24],如果存在τ_ji≥0 (j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),使得

\tilde{x}

≠0 或

\tilde{u}

≠0时式(31)成立,则式(29)在式(31)的条件下是负定的. ...

... 故可利用S-过程^[24],如果存在Γ=diag[τ₁₁ τ₂₁ … τ_m₁ … τ_ij]≥0(j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),ε₁>0,使得LMI ...

2005

... 故可利用S-过程^[24],如果存在τ_ij≥0(j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),使得

\tilde{x}

或

\tilde{u}

≠0时式(23)成立,则式(20)在式(21)的条件下是负定的. ...

... 故可利用S-过程^[24],如果存在τ_ji≥0 (j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),使得

\tilde{x}

≠0 或

\tilde{u}

≠0时式(31)成立,则式(29)在式(31)的条件下是负定的. ...

... 故可利用S-过程^[24],如果存在Γ=diag[τ₁₁ τ₂₁ … τ_m₁ … τ_ij]≥0(j=1, 2, …, n+1; i=1, 2, …, m),ε₁>0,使得LMI ...

〈

〉