考虑双供应商的维护和备件订购联合决策优化

图1 多设备并行制造系统

Fig.1 Multi-unit parallel manufacturing system

每台设备都包含一个关键零件,零件服从退化率为α的泊松退化过程,彼此之间退化过程相互独立.零件的状态由退化值 $x_{i} \in {0, 1, \dots, L}$ 描述,当零件的退化值到达阈值 $L$ 时零件故障.关键零件的故障将导致设备关闭,造成高额的设备失效成本并应即刻替换,零件可由库存中的备件替换.当库存中的备件数量减少时,制造系统需从常规供应商和紧急供应商处补充备件.本文参考文献[16]假设供应商的提前期为固定值,其中常规供应商的提前期 $l_{1}$ 较长,但是零件的单位购买价格 $c_{1}$ 较低.当系统在库备件量不足以满足替换需求时,将通过紧急供应商补充需要替换的备件.紧急供应商的提前期 $l_{2}$ 可忽略,但收取的单位价格 $c_{2}$ 较高 $(> c_{1})$ .系统检测策略参考文献[13]采取周期性检测,检测间隔为 $T$ .决策者在检测点 $t_{k} = k T (k = 1, 2, \dots)$ 处获得设备状态信息和库存状态信息,并做出相应决策.系统的决策包括替换和订购两部分.替换分为预防性替换和故障后替换.当零件退化值 $x_{i}$ 低于故障阈值时为预防性替换,否则为故障后替换.替换后零件状态恢复至起始状态.

本文的研究目标为最小化系统的长期平均总成本.总成本由替换成本、故障成本、订购成本和持货成本4个部分组成.替换成本包括替换的准备成本c_s和每个零件的单位替换成本c_p(预防性替换)和c_c(故障后替换),其中替换的准备成本与替换的零件数量无关,当替换发生时发生^[10].当设备因关键零件失效而故障时,会产生惩罚成本c_d.订购导致的成本包括固定成本c_F和每个零件的单位订购成本c₁(常规供应商)或c₂(紧急供应商).在决策后,仓库中的每个备件在下一个检测间隔间会产生持货成本c_h.

2 维护与订购策略联合建模

介绍视情维护和备件订购联合决策模型和求解方法.首先通过马尔科夫决策过程对系统决策状态、转移概率等进行建模.之后采用值迭代算法求解最优策略.最后通过序列优化的启发式方法求得启发式策略,改进求解效率.

2.1 马尔科夫决策模型

马尔科夫决策模型是求解序列决策问题常用的方法之一^[17].本文采用离散时间的马尔科夫决策模型对上述系统进行决策建模.根据图1的制造系统模型,马尔科夫决策过程可以用状态、决策、成本和转移概率表示.系统状态s由图1中各台设备关键零件的退化值、在库库存量和在途库存量组成,表示为s(x₁, x₂, …, x_N, h₀, h₁, …, h_l_-1),缩写为s.其中(x₁, x₂, …, x_N)表示系统退化状态,x_i表示零件i(i=1, 2, …, N)的退化状态.(h₀, h₁, …, h_l_-1)表示系统库存状态, h_j表示j(j=0, 1, …, l-1)个检测间隔后到达的备件数量,h₀为在库库存量.$ l=\max \left\{\left[\frac{l_{1}}{T}\right],\left\lceil\frac{l_{2}}{T}\right]\right\}$,代表备件到达所需的最长检测间隔数量,其中l₂根据模型假设可忽略,设置为0; \lceil x\rceil表示大于等于x的最小整数.

系统动作由替换和订购组成,表示为 $a (m_{1}, m_{2}, \dots, m_{N}, p_{1}, p_{2})$ ,缩写为 $a$ .其中 $m_{i}$ 描述是否替换关键零件 $i$ , $m_{i} = 1$ (替换)或0(不替换), $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 依次表示向常规供应商和紧急供应商订购的备件数量.

C(s,a)为系统在状态s下执行动作a后导致的成本,由替换、故障、订购和持货成本组成.替换成本为替换的准备成本和预防性替换(或故障后替换)成本之和.假设总的替换零件数量为 $r = \overset{N}{\sum_{i = 1}} m_{i}$ ,单个零件的替换成本为 $r (x_{i}) = c_{p} (1 - 1_{{x_{i} = L}}) + c_{c} 1_{{x_{i} = L}}$ ,其中 $1_{{e}}$ 为指示函数,当e成立时,取1,否则取0.总替换成本可表示为 $c_{s} 1_{{r > 0}} + \overset{N}{\sum_{i = 1}} m_{i} r (x_{i})$ .故障成本由设备在决策点的状态决定.当零件退化值到达失效阈值时发生故障,产生相应成本.因此,系统的故障成本可表示为 $\overset{N}{\sum_{i = 1}} c_{d} 1_{{x_{i} = L}}$ .订购成本由固定成本和零件的购买成本组成,可表示为 $\overset{2}{\sum_{i = 1}} (c_{F} 1_{{p_{i} > 0}} + p_{i} c_{i})$ .系统在下个检测间隔间的持货成本由在库库存量和替换、订购决策决定.由于紧急供应商的提前期可忽略,订购的备件当期补充库存,所以总持货成本为 $c_{h} (h_{0} + p_{2} - r)$ .

在决策点执行动作后,系统状态将先根据动作更新,之后以概率转移到下一个状态.假设执行完动作 $a$ 后的系统状态为 $s_{a} (x_{1 |a}, x_{2 |a}, \dots, x_{N | a}, h_{0 |a}, h_{1 |a}, \dots, h_{l - 1 |a})$ ,则 $x_{i | a} = \{\begin{array}{l} x_{i | a}, & m_{i} = 0 \\ 0, & m_{i} = 1 \end{array}, h_{0 |a} = h_{0} + p_{2} - r$ .令下一个决策点的系统状态为. $s' (x'_{1}, x'_{2}, \dots, x'_{N}, h'_{0}, h'_{1}, \dots, h'_{l - 1}) .$ 则库存状态的转移关系为

（1）

\begin{matrix} h'_{i} = \{\begin{array}{l} h_{0 |a} + h_{1 |a}, & i = 0 \\ h_{i + 1 |a}, & i \in {2, 3, \dots, l - 2} \\ p_{1}, & i = l - 1 \end{array} \end{matrix}

针对系统退化状态,假设单个关键零件的转移概率为 $P (x'_{i} | x_{i | a}),$ 由于系统为并行结构,零件间的退化过程相互独立.系统的转移概率为

（2）

\begin{matrix} P_{s s'}^{a} = \overset{N}{\prod_{i = 1}} P (x'_{i} | x_{i | a}) \end{matrix}

系统的状态转移和决策需满足相应的约束.根据问题描述,当在库库存不足时通过紧急订购补充库存,即$p_{2}=\max \left\{m_{i=1}-h_{0}, 0\right\}$.同时库存有容量限制,在库和在途库存量需不超过最大容量,假设库存容量为H,有h_j-N₁+p₁+p₂≤H,其中N₁为在库库存的消耗量,$l=\max \left\{\left[\frac{l_{1}}{T}\right],\left[\frac{l_{2}}{T}\right]\right\}$,其中l₂=0.

系统的总成本由值函数 $V^{n} (s)$ 描述,表示经过算法n次迭代后的累计总成本,由各个阶段的动作成本 $C (s, a)$ 组成.根据Bellman方程^[18],最优值函数的迭代计算公式为

（3）

\begin{matrix} V^{n} (s) = \underset{a}{m i n} (C (s, a) + E (V^{n - 1} (s'))) \end{matrix}

式中: $E (V^{n - 1} (s')) 表示经过动作 a$ 后系统在下一个决策点的累计总成本期望,即

（4）

\begin{matrix} E (V^{n - 1} (s')) = \sum_{s, s' \in S} P_{s s'}^{a} V^{n - 1} (s') \end{matrix}

2.2 求解算法

上述模型可以通过值迭代算法来求得最优的维护和订购联合策略以及最优的平均总成本.在本文中假定当迭代的误差 $| M^{n} - m^{n} | \leq ε m^{n}$ 时,算法收敛,其中 $M^{n}$ 和 $m^{n}$ 分别为

（5）

\begin{matrix} M_{n} = \underset{s \in S}{m a x} (V^{n} (s) - V^{n - 1} (s)) \end{matrix}

（6）

\begin{array}{l} m_{n} = \underset{s \in S}{m i n} (V^{n} (s) - V^{n - 1} (s)) \end{array}

算法收敛后平均总成本由 $\frac{V^{n} (s) - V^{n - 1} (s)}{T}$ 确定.具体的值迭代算法流程如图2所示.

图2

图2 值迭代算法流程图

Fig.2 Process of value iteration algorithm

值迭代方法是求解马尔科夫决策模型的最优化方法,可以获得最优的维护和订购联合决策.然而,算法需要大量的计算时间.为提高计算效率,本文采用了一种序列优化的启发式方法,在保证成本增加率低的同时减少计算时间.具体思想为:将维护决策和订购决策分离,先优化维护决策,在此基础上优化订购决策.对于维护,由于零件相同且相互独立,本文将系统状态(多个零件和库存状态)分为单个零件和库存状态,通过值迭代算法快速求出单个零件的最优维护决策.之后按照零件退化值降序判断单个零件是否维护.当决定完维护决策后通过枚举的方法选择最优的订购量,得到最终的维护和订购联合决策.具体的算法流程如下:

(1)初始化 $n = 0, V^{0} (s) = 0$ ,输入 $T, c_{p}, c_{c}, \dots, l_{1}$ .

(2) 根据图2的值迭代算法输出单个零件维护决策函数 $m (x_{i}, h_{0}, h_{1}, \dots, h_{l - 1})$ .

(3) 对于所有系统状态s,从高到底降序遍历零件状态,计算维护决策 $(m_{i} = m (x_{i}, h_{0}, h_{1}, \dots, h_{l - 1})$ .当在库库存不足时通过紧急订购补充库存,即 $p_{2} = m a x {\overset{N}{\sum_{i = 1}} m_{i} - h_{0}, 0}$ .之后根据维护后的零件状态,枚举得到最优的订购量 $p_{1}$ .

(4) 计算收敛误差.若 $|M^{n} - m^{n}| \leq ε m^{n}$ 算法收敛,输出最终策略和平均总成本;否则重复步骤3.

上述启发式算法对于计算效率的改进主要在于减少了计算联合决策时迭代的次数.值迭代算法中,最优联合决策通过遍历所有决策获得.由于设备维护仅考虑替换决策,每个零件的决策数量为2则N个零件的维护决策空间规模为 $2^{N}$ .采购决策应满足最大库存限制,即 $p_{1} + p_{2} \leq H$ .同时,紧急订购量应不超过系统零件数量,即 $p_{2} \leq N$ .所以,采购决策空间规模为HN.综合维护和订购决策,值迭代算法每次遍历的决策空间规模为 $2^{N} H N$ .相比值迭代算法,启发式算法在算法的步骤3中计算联合决策时,只需遍历零件个数和订购决策 $p_{1}$ .每轮迭代的次数由 $2^{N} H N$ 缩短至N+H,从而提高计算效率.

3 算例分析

为了验证本文所采用的启发式策略有效性,以2个零件和4个零件的系统进行算例分析.首先以2零件的系统分析最优策略和启发式策略的决策异同.之后以4零件的系统分析参数(持货成本、预防性替换成本、订购成本)的变化对成本和计算时间的影响.

3.1 决策和成本分析

所采用的2零件系统算例参数参考文献[19]和假设得到,具体参数如表1所示.

表1 算例参数

Tab.1 Parameters of numerical experiments

参数	取值	参数	取值
c₁	120	c_p	36
c₂	240	c_s	30
c_c	54	l₁	2
c_d	200	L	9
c_F	15	T	1
c_h	0.48	α	0.5
H	N+2	ε	0.0005

图3和图4对比了值迭代算法和启发式算法在不同库存状态下的决策策略.图中决策表示为“m₁m₂-p₁p₂”.前两位数表示是否替换零件,1表示替换,0表示不替换;后两位数依次表示向常规供应商和紧急供应商订购的零件数量.

由图3(a)~3(c)和图4(a)~4(c)可知,当在库量为0时,最优策略和启发式策略的决策差异小.这是因为启发式策略主要改变了零件的替换策略.当系统无替换决策时,启发式策略将采取和最优策略相同的订购策略.当系统在库库存量不为0时,如图3(d)和图4(d)所示,随着零件退化值的增加,当两个零件的退化值都较高时,系统将会延迟零件的替换动作.零件1由替换变为不替换,而启发式策略则无延迟替换决策.这是因为多个零件共享备件,零件间的替换决策会相互影响.当备件数量有限且零件的退化值相同时,由于退化的随机性,难以确定下一决策点零件退化值的高低,此时将替换延迟到下一决策点可以减少设备失效的成本.随着在库备件数量的增加,延迟替换决策减少.如图3(f)和图4(f)所示,启发式策略和最优策略的差异逐渐减小,启发式策略优越性逐渐增加.因此在采用启发式策略时可以适当增加备件存量,从而减少与最优策略的差异,降低总成本.

图3

图3 最优决策策略

Fig.3 Optimal strategy of value iteration algorithm

图4

图4 启发式决策策略

Fig.4 Heuristic strategy of heuristic method

表2对比了最优策略、阈值策略和启发式策略在2零件和4零件系统的平均总成本f和计算时间g.阈值策略采取(Y, y, L_p)策略^[20-21],即当零件状态达到L_p时执行替换,不足的零件通过紧急订购p₂补充,常规供应商的订购量p₁为

p_{1} = \{\begin{array}{l} Y - (h_{0 |a} + h_{1}), & h_{0 |a} + h_{1} \leq y \\ 0, & 其 他 \end{array}

表2 2零件和4零件系统平均总成本和计算时间

Tab.2 Average total costs and computation times for two-unit and four-unit systems

N	最优策略		阈值策略			启发式策略
N	f	g/s	f	g/s	q/%	f	g/s	q/%
2	27.8	38	30.0	15	7.9	27.9	9	0.4
4	51.2	5 214	56.5	485	10.4	51.9	255	1.4

其中: $h_{0 |a}$ 为执行完替换和紧急订购后的在库库存,即 $h_{0 |a} = h_{0} + p_{2} - r$ ,在本次实验中,选择 $L_{p} = L - 1$ ,并枚举得到最优的库存阈值 $(Y, y)$ .由于最大库存容量为 $N + 2 且 Y \geq y$ ,针对2零件和4零件系统,(Y,y) $(Y, y)$ 共有15和28种组合.计算时间基于AMD Ryzen 9 3900X 12-Core@3.80 GHz处理器和Python语言得到.由表2可知,启发式策略相比最优策略平均总成本有所上升,但成本增加率q小于5%.计算时间上,启发式策略优于最优策略,尤其是当系统零件数量为4时,计算时间从 5 214 s 减少到了 255 s.对比阈值策略,启发式策略所花时间更少.同时,由于启发式策略的联合决策基于单个零件的最优决策获得,相比固定阈值策略启发式策略平均总成本更低.由表2可知,对于4零件系统,阈值策略成本增加率为10.4%,而启发式策略成本增加率只有1.4%.

3.2 敏感性分析

为进一步分析启发式策略的有效性,以4零件的制造系统为对象,采用表1的算例参数,对模型中的备件持货成本、预防性替换成本和常规供应商的订购成本进行敏感性分析,研究参数对启发式策略的成本增加率和计算时间的影响,结果如表3~5所示.

表3 $c_{h}$ 对启发式策略平均总成本和计算时间的影响

Tab.3 Impact of $c_{h}$ on average total cost and computation time

c_h	最优策略		启发式策略		q/%
c_h	f	g/s	f	g/s	q/%
0.5	51.3	5 013	52.0	262	1.4
1	52.1	4 608	52.9	215	1.5
2	53.3	4 583	54.1	214	1.5
3	54.2	4 645	55.1	226	1.7

表4 $c_{p}$ 对启发式策略平均总成本和计算时间的影响

Tab.4 Impact of $c_{p}$ on average total cost and computation time

c_p	最优策略		启发式策略		q/%
c_p	f	g/s	f	g/s	q/%
12	45.2	4 714	46.0	264	1.8
24	48.2	5 042	49.0	259	1.7
36	51.2	5 214	51.9	255	1.4
48	54.1	5 293	54.9	252	1.5

表5 $c_{1}$ 对启发式策略平均总成本和计算时间的影响

Tab.5 Impact of $c_{1}$ on average total cost and computation time

c₁	最优策略		启发式策略		q/%
c₁	f	g/s	f	g/s	q/%
50	32.5	5 236	33.7	293	3.7
100	45.9	4 961	46.7	270	1.7
150	58.9	5 222	59.7	249	1.4
200	71.5	5 203	72.7	246	1.7

DOI:10.1016/S0951-8320(00)00047-8 URL [本文引用: 1]

表3显示了持货成本c_h对启发式策略平均总成本和计算时间的影响.当c_h较大时,为降低成本,系统会减少备件存量.多个零件共享备件,根据图3和图4的决策分析,备件库存减少时维护策略的影响增加.启发式策略的替换策略相比最优策略会带来更多的成本.因此,随着c_h的增加,启发式策略成本增加率增加,说明启发式策略更适合于c_h小的场景.计算时间上,启发式策略的求解时间显著优于最优策略,相似的结果如表4和 5所示.

表4显示了预防性替换成本c_p如何影响启发式策略的优越性.设备替换存在准备成本,从而零件退化状态间存在依赖,同时替换多个零件会倾向于降低总成本.当c_p较小时准备成本影响较大,维护的依赖性更强.启发式策略根据单台设备的状态判断是否维护,忽略了设备之间的依赖性,导致成本增加率较大.同时,当c_p增加时,系统会减少备件库存,替换策略对总成本的影响增强,从而启发式策略的成本增加率将增加,优越性减弱.

表5显示了常规供应商的单位订购成本c₁对启发式策略优越性的影响.备件的订购存在固定成本.当c₁较小时,固定成本的影响较大,系统订购的频率降低,从而替换策略的影响增大,启发式策略有更大的成本增加率.当c₁逐渐增加至靠近紧急供应商的订购成本c₂时,系统会减少向常规供应商的订购频率,替换策略影响增强,启发式策略成本增加率会随着c₁的增加再次增加.

4 结语

针对双供应商情形下的多零件设备维护和备件订购联合决策问题,建立了基于马尔科夫决策过程的预防性维护模型,基于设备状态和库存状态信息进行维护和订购联合决策优化,通过值迭代算法求取了最优的联合决策策略.在此基础上设计了启发式的设备维护和备件订购联合策略,在平均总成本增加率在一定范围(5%)内时减少了策略求解时间,通过算例分析验证了启发式策略的有效性.

针对拓展方向,将从以下两个方向拓展:① 本文仅考虑替换,在替换之外,可以引入小修、大修等维护动作,包括机会维护等策略;② 本文考虑并行的制造系统,在此基础上可以考虑串联以及k-out-of-n架构的制造系统.

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为了避免由于设备故障导致的生产线停产,首先研究生产线故障维修成本、预防性维护成本和停产损失的计算方法,建立生产线平均可靠度与维护总成本多目标优化模型,从而获得了最优的生产线周期性维护计划。针对关键设备,如数控机床、工业机器人,运行状态突然严重劣化的情况,基于时间延迟理论得到了关键设备子系统可靠度随时间变化的规律,根据设备运行状态的监测数据,采用支持向量机模型对设备子系统潜在故障的发生概率进行预测。由此建立了关键设备延迟维护最佳时刻优化模型,并通过粒子群优化算法求解关键设备的最佳维护时刻。最后,通过实例仿真分析验证了文本预维护策略的有效性,能够在保证可靠度要求的同时,有效降低维护成本。

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In order to avoid the shutdown of production line caused by equipment failures, the optimal periodic maintenance plan is firstly obtained by solving a multi-objective optimization model of average reliability and total maintenance cost of the entire production line where the costs of downtime, breakdown repair and preventive maintenance are accurately evaluated based on equipment reliability. For the sudden and severe deterioration of key equipment, such as CNC machine tool and industrial robot, time delay theory is utilized to formulate subsystem reliability of key equipment and then the potential failure probability of equipment subsystem is predicted by using Support Vector Machine according to monitoring data on equipment operating status. And thus, the optimization model of delayed maintenance time of key equipment is established and solved by particle swarm optimization to search for the optimal maintenance time of key equipment. The case study conducted by simulation analysis shows the effectiveness of the proposed pre-maintenance strategy which can ensure the reliability and minimize maintenance cost of production line.

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A jointly condition-based preventive maintenance and spare parts provisioning policy is discussed for equipment maintenance. Based on analysis of all possible transitions of the joint state of equipment and its spare parts inventory, the explicit expression of stationary joint probability density function is derived and its numerical solution is deduced. On the basis of the joint probability density function, the maintenance probabilities of the equipment with the influence of spare parts inventory and the ordering and holding probabilities of its spare parts are derived. Then the expected long-run cost rate model is formulated for the joint policy using the renewal process, taking into account the costs incurred for performing maintenance and managing the spare parts inventory. A numerical experiment is carried out to identify the optimal values for the parameters of the policy, including the inspection interval, the ordering threshold, and the preventive maintenance threshold. The experiment results verify that the derivation of the joint probability density function is correct and the established model is effective. The results of the sensitivity analysis show that a trade-off exists between the maintenance related costs and the inventory related costs, and joint optimization of preventive maintenance and spare parts provisioning policy can ensure a global optimal policy. A practical case is provided to verify the effectiveness of the proposed method.

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