弱非线性内孤立波在斜坡上的传播演化特性

图1 数值水槽示意图(m)

Fig.1 Schematic diagram of numerical flume (m)

表1 内孤立波传播演化初始条件

Tab.1 Initial conditions of propagation and evolution of internal solitary waves

上、下层深度比	振幅	坡度	初始波位置x/h₁	理论传播模型	色散性	非线性
1∶4	-0.1640	1/10	50	vKdV	弱	弱
	-0.2370	7/50
	-0.3105	-

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文献[8]表明:存在临界色散系数 μ₀=0.1,KdV定态解适用于弱色散弱非线性(ε≤μ,μ<μ₀)工况.盛立等^[14]通过数值计算发现KdV传播模型适用于弱色散弱非线性工况,可用来传播KdV方程的定态解.基于此,本文采用式(12)所述方程传播弱非线性内孤立波是合理的.

2.2 弱非线性内孤立波在斜坡上的传播演化

$图2(a)给出了在δ = 1 / 10,0 \leq t \sqrt[]{\frac{g}{h_{1}}} \leq 750, a / h_{1} = - 0.3105 条件下的内孤立波利用式 (12) 传播 a / h_{1} = - 0.3105 的$
内孤立波的结果fv ,图中:x/h1为无因次水平方向的位置,ζ/h1为无因次波高.在图2(b)中,为更清楚地看到首波振幅变化,选取纵坐标为波高ζb=-ζa(ζb为图2(b)中的波高,ζ_a为图2(a)中的波高).当内孤立波传播至斜坡时,振幅逐渐增大并在平台区域趋于稳定.杜辉等^[12]通过实验发现小振幅a=3.4, 5.0, 7.2 cm的内孤立波在缓坡地形 (δ=1/7, 1/9, 1/14)上传播时振幅增大.如图2(b)所示,本文数值结果中也能看到内波振幅的增大,与实验结果中的趋势相同.图2(c)~2(f)中下半部分图是地形图,斜坡的起点是x/h₁=50.值得注意的是,与MCC方程不同,vKdV方程只能用来描述单一方向的内孤立波的传播,不能描述有地形下的内孤立波的反射现象,所以这里不再具体研究反射波特性.如图1所示,内波由左至右传播经过斜坡最终到达平地至稳定状态.当 $t \sqrt[]{\frac{g}{h_{1}}} = 750 时, 内孤立波到达 x / h_{1} = 150$ 附近 (图2(f)),此时内孤立波已趋于稳定状态,首波振幅稳定在 a/h₁=-0.3203. 这里首波为内孤立波在经斜坡传播位于波最前面的内孤立波,承载了绝大部分的能量.事实上,由于斜坡在一定程度上阻碍了内孤立波的传播,从而导致下层流体深度减小,继而对波形成挤压.因此,为保证流体质量守恒,波面会被抬高,这也被称为斜坡对内孤立波的浅化作用.与此同时,斜坡对非线性较强的来波会产生耗散作用,使得振幅减小.由于初始波振幅较小,传播过程中受到地形作用下的浅化效应明显大于能量耗散作用,从而使得演化波振幅呈增大的趋势.值得注意的是,虽然KdV方程并没有考虑地形和壁面等的摩擦力,方程本身并没有能量耗散,但是在数值计算中数值耗散可以与实际中由于斜坡和壁面的摩擦力造成的能量耗散相抵消^[17].

图2

图2 $δ = 1 / 10, h_{1} / h_{2} = 1 / 4, a / h_{1} = - 0.3105$ 时内孤立波在斜坡上传播的演化特性

Fig.2 Propagation evolution characteristics of internal solitary waves on slope at $\begin{array}{l} δ = 1 / 10, h_{1} / h_{2} = 1 / 4, and \\ a / h_{1} = - 0.3105 \end{array}$

内孤立波在坡度为1/10的斜坡上的传播过程时波形变化并不是特别明显,当到达斜坡顶端x/h₁=50时背部产生了一个突起(图2(c)),并随着波的传播,波背面突起逐渐增大并演化成为一系列分散开来的尾波列(图2(d)~2(f)),首波的前后两端也不再对称.

图3所示为 $δ = 1 / 10, h_{2} / h_{1} = 4, t \sqrt[]{\frac{g}{h_{1}}} = 750$ 时不同振幅内孤立波在斜坡上的传播演化特性, 图中c/c₀为相对波速,c₀表示各自内孤立波的初始波速.从图3(a)中可以看到,在斜坡的作用下,随着振幅的增加,内孤立波波速减小量逐渐增大,意味着非线性越强的内孤立波受到的来自斜坡的作用力越大,阻碍作用越明显.图3(b)~3(d) 分别为 a/h₁ 为 -0.237,-0.164 以及 -0.3105 的内孤立波在 t $\sqrt[]{\frac{g}{h_{1}}}$ =750时的波形与初始波的对比.可以看到,随着初始振幅的增大,内孤立波在经斜坡传播后,波形的变化更加明显,但是因斜坡的浅化作用造成的振幅的增加量逐渐减小.值得注意的是,a/h₁=-0.3105 的内孤立波是文中选取的3个弱非线性内孤立波中振幅较大的一个,理论上讲,振幅越大,非线性越强,因此图3(d) 中波变形最明显.

图3

图3 $δ = 1 / 10, h_{2} / h_{1} = 4, t \sqrt[]{\frac{g}{h_{1}}} = 750$ 时不同振幅内孤立波在斜坡上的传播演化特性

Fig.3 Propagation evolution characteristics of internal solitary waves at different amplitudes on slope at $δ = 1 / 10, h_{2} / h_{1} = 4, and t \sqrt[]{\frac{g}{h_{1}}} = 750$

图4所示为a/h₁=-0.3105 的内孤立波在坡度为7/50斜坡上的传播演化过程.数值结果是由vKdV (式(12)) 模型传播定态弱非线性内孤立波(式(14))计算得到.与坡度为1/10的情况相比,在上游形成的突起幅度明显变大(图4(c)),且在上游形成振幅较大的尾波列,首波不再对称.由图4(a) 和4(b) 能清楚地看到在较大坡度的斜坡的作用下振幅随时间的变化关系.与 $δ = 1 / 10 的情况不同之处在于 : 当 δ = 7 / 50 时, 振幅先增加后减小, 内孤立波由下凹型变为上凸型 . 当 δ = 1 / 10 时,$ 振幅先增大后趋于稳定,内孤立波的极性并未发生改变.上述演化特性是由于在与斜坡相互作用的初期,斜坡的浅化作用起主导作用,使得振幅增加.随着坡度进一步增大,演化过程中会导致两层流体密度层的混合和波面背部不断变陡,从而使得剪切作用不断增强,由此导致首波能量的损失远大于浅化作用,此时能量耗散作用起主导作用,因此振幅减小.如图 4(c)~4(f) 所示,首波波前变得平坦,几乎与斜坡平行,波背部则逐渐变陡,波形最终变为上凸形.值得注意的是,当斜坡坡度为7/50时,上下层流体深度比 $h_{1} / h_{2} 变为 2, 上层流体深度大于下层流体深度, 说明内孤立波在斜坡上时经过了临界点 (h_{2} / h_{1} = 1), 由式 (6) 中可以看到, c_{1} (x)$
=0(即h1=h2)处是内孤立波极性转变的临界点,此时需要立方非线性项来更好地描述上下层流体深度相等时内孤立波的极性转变过程^[7].因此算例中当上层流体大于下层流体时,内孤立波会由下凹型转变为上凸型.

图4

DOI:10.1007/s10712-012-9176-0 URL [本文引用: 1]

图4 $δ = 7 / 50, h_{1} / h_{2} = 1 / 4, a / h_{1} = - 0.3105$ 时孤立波在斜坡上传播的演化特性

Fig.4 Propagation evolution characteristics of internal solitary waves on slope at $δ = 7 / 50, h_{1} / h_{2} = 1 / 4,$ and a/h₁=-0.3105

弱非线性内孤立波在通过斜坡传播时的演化特性与波受到由下层流体深度减小而导致的浅化效应以及在与斜坡相互作用下的能量耗散作用有关.此时由于上下层流体深度的变化导致一系列尾波的产生,使得内孤立波振幅减小,而浅化效应使振幅增大.斜坡坡度越大,非线性越强,作用于内孤立波上的能量耗散作用逐渐超过浅化作用,故而呈现出振幅先增加后减小的趋势,当内孤立波经过临界点后,波形由下凹型变为上凸型,但演化后的波仍然能用KdV理论来表征.

3 结论

在模拟弱非线性内孤立波在斜坡上的传播演化时,vKdV方程更为简便高效,能适用于大部分常见的内孤立波.采用vKdV方程对弱非线性内孤立波建立了相应的数值计算模型模拟并研究其在不同坡度的斜坡上的传播演化特性,主要结论如下:

(1) 当斜坡坡度较小时,弱非线性内孤立波经过斜坡上的传播演化时其受到的浅化效应大于能量耗散作用,振幅逐渐增加直至在平坦区域趋于稳定,且随着斜坡坡度的增加,该现象愈加明显.内孤立波在斜坡上传播时会形成尾波列,尾波的振幅会随着斜坡坡度的增加而增大.

(2) 在相同的地形条件下,非线性越强的内孤立波受到的来自斜坡的作用力越大,阻碍作用越明显,表现为振幅越大的内孤立波在传播过程中振幅的增加量越小,波速的减小量越大.随着斜坡坡度的增大,弱非线性内孤立波在传播过程中受地形因素导致的能量耗散作用逐渐超越浅化作用,因此内孤立波在传播过程中表现出振幅先增加后减小的特性.当在斜坡传播经过临界点后内孤立波由下凹形转变为上凸型,且在上游产生了一系列振幅逐渐衰减的尾波列.

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