上海交通大学学报

上海交通大学学报（自然版）, 2021, 55(8): 916-923 doi: 10.16183/j.cnki.jsjtu.2020.125

弱非线性内孤立波在斜坡上的传播演化特性

郅长红, 陈科,, 尤云祥

上海交通大学 三亚崖州湾深海科技研究院,海南 三亚 572000; 上海交通大学 海洋工程国家重点实验室, 上海 200240

Propagation Evolution Characteristics of Weakly Nonlinear Internal Solitary Waves on Slopes

ZHI Changhong, CHEN Ke,, YOU Yunxiang

Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai Jiao Tong University, Sanya 572000, Hainan, Chin; AState Key Laboratory of Ocean Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China

通讯作者: 陈 科,男,助理研究员,电话(Tel.):13795293775;E-mail:raulphan@sjtu.edu.cn.

责任编辑: 陈晓燕

收稿日期: 2020-05-3  

基金资助: 三亚崖州湾科技城管理局深海科技先导创新项目《南海内波环境中深海装备安全保障预警系统技术研发》

Received: 2020-05-3  

作者简介 About authors

郅长红(1991-),女,河北省邢台市人,博士生,从事内孤立波理论与数值研究

摘要

采用简化的变系数内孤立波传播方程来描述弱非线性内孤立波在不同坡度斜坡上的传播演化过程.结果表明:弱非线性内孤立波在通过斜坡的传播过程中产生了不同程度的分裂现象,分裂为首波和尾波列.在通过斜坡的传播过程中内孤立波主要受到由地形诱导产生的浅化效应和能量耗散作用.对于非线性较弱的内孤立波,地形导致的浅化效应占主导作用,振幅逐渐增大并趋于稳定,而波速逐渐减小并趋于稳定.在相同的地形条件下,随着初始振幅增大,振幅的增加量减小,波速的减小量增加.随着斜坡坡度的增大,非线性内孤立波在传播过程中受到的能量耗散作用逐渐大于浅化效应,使得内孤立波在传播过程中振幅先增大后减小.当经过临界点(上下层流体深度相同的点)后,内孤立波由下凹型转变为上凸型.

关键词： 内孤立波; 两层流体; 变系数内孤立波传播方程; 斜坡地形; 浅化作用

Abstract

The propagation equation of variable-coefficient internal solitary waves was used to describe the propagation and evolution of weakly nonlinear internal solitary waves (ISWs)on slopes with different slopes. The results show that weakly nonlinear ISWs suffer from fission during the climbing process and split into the prominent wave and the trailing wave train. The ISWs are mainly influenced by the shoaling effect and the energy dissipation caused by terrain induction. For the ISWs with weak nonlinearity, the shoaling effect caused by topography is dominant, and causes the increase in wave amplitude and the decrease in wave speed. The wave amplitude and the wave speed, meanwhile, tend to be stable. Under the same terrain condition, as the initial wave amplitude increases, the increase in wave amplitude decreases, and the decrease in wave speed increases. As the slope increases, the energy dissipation effect of the nonlinear internal solitary wave in the propagation process is gradually greater than the shoaling effect, which makes the wave amplitude of the internal solitary wave increase first and then decrease in the propagation process. The ISWs change from concave to convex as the wave passes over the turning point (where the depth of the upper layer is the same as that of the lower layer).

Keywords： internal solitary wave (ISW); two-layer fluid; propagation equations of variable-coefficient ISWs; slope topography; shoaling effect

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本文引用格式

郅长红, 陈科, 尤云祥. 弱非线性内孤立波在斜坡上的传播演化特性[J]. 上海交通大学学报（自然版）, 2021, 55(8): 916-923 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2020.125

ZHI Changhong, CHEN Ke, YOU Yunxiang. Propagation Evolution Characteristics of Weakly Nonlinear Internal Solitary Waves on Slopes[J]. Journal of shanghai Jiaotong University, 2021, 55(8): 916-923 doi:10.16183/j.cnki.jsjtu.2020.125

海洋内孤立波是在密度层化海洋内部一种常见的波动,尤其发生在近海沿岸及海峡周围.Cai等[1]在中国南海发现具有稳定波峰的内孤立波,这些内孤立波周期长、波高大,有的甚至能达到100 m,于是当这些携带了巨大能量和动量的内孤立波传播至陆架海域时,会对近岸海洋结构物造成巨大的动载荷,从而危害其生产和生存安全[2,3,4,5].在军事领域,海洋内波导致的密度面脉动能影响水下声波的传播,严重影响水下目标的探测和定位,甚至引发潜艇失控等重大事故.在民用上,内波频发对海上作业平台和水下生产设备也会造成巨大的影响.我国南海北部海域地形复杂且密度垂向层化特征明显,是内波频发的海域,为保障海上作业安全和规避可能的海下作业的风险,深刻理解在南海海域内波的生成演化传播机制具有重大的意义.

在理论与数值研究方面,弱非线性内孤立波在平坦地形上的传播已经被广泛研究.为描述内孤立波在斜坡上的传播过程,张善武[6]利用该理论很好地对南海北部的内孤立波的传播演化进行了模拟.Helfrich等[7]提出了三阶非线性项的KdV(Korteweg-de Vries)方程,但他并未对KdV理论做进一步的适用性分析.为定量地衡量非线性和色散性,黄文昊等[8]又通过系列模型试验给定了上述KdV理论的适用范围,并基于以上理论针对张力腿平台建立了载荷计算理论模型[9]. Hsieh等[10]通过数值计算研究了不同斜坡坡度对内孤立波传播的影响.

过去的50年,不少国内外学者也相继通过实验对内孤立波与多种地形(如拱形底、梯形底、三角形、半球形及斜坡等)的相互作用做了不同方面的研究.研究发现弱非线性的KdV理论适用于大部分内波的传播演化.Kao等[11]在研究内孤立波向坡度为 1∶16和1∶9的斜坡上传播时,发现在浅化过程中波背面逐渐变陡,随后破碎,他们将其归因于界面的剪切不稳定.Helfrich等[7]在研究下凹型的内孤立波在斜坡上传播演化时发现初始波会分裂为多个上凸型的类孤立波以及尾波链.杜辉等[12]等对内孤立波在缓坡上的破碎及能量分析进行了深入的讨论.屈子云等[13]等通过实验研究发现了突变地形对内孤立波形态的影响.

本文采用变系数KdV(Variable-Coefficient Korteweg-de Vries, vKdV)方程来模拟内孤立波在缓坡上的传播演化过程.盛立等[14]的研究结论表明平坦地形下常系数的KdV方程适用于弱非线性内孤立波的传播演化.故本文采用KdV的解作为初始波,并用vKdV方程数值模拟弱非线性的内孤立波的在斜坡上的传播演化过程.因此本文中设计了两种坡度的斜坡,用以研究弱非线性内孤立波在斜坡上传播时的演化特性,讨论了斜坡的坡度对弱非线性内孤立波传播的影响.除此之外,对弱非线性内孤立波在经过斜坡后的演化波进行深入的研究.通过本文工作,希望能揭示在较为复杂地形上内孤立波的传播规律.

1 理论模型

考虑有限深两层流体中内孤立波在斜坡上的传播演化问题.假设两层流体均是不可压缩且无旋的理想流体.建立直角坐标系 Oxz,其中Ox位于两层流体未扰界面处,Oz垂直向上为正.设上、下层流体密度分别为ρ1、ρ2,底部最大深度处到未扰界面处的
距离为常数 H2.记地形高度函数为b(x),上层流体深度为h1,则下层深度为h2=H2-b(x).设上下两层流体的速度势为φi(i=1,2,分别表示上、下层流体),压力为pi.记内孤立波的振幅和特征波长分别为a及λ,特征水深为h0,地形特征高度为b0.定义内孤立波的非线性参数ε=a/h0,色散系数μ=(h0/λ)2,地形高度参数为β=b0/h0.对各物理量进行无因次变换如下:

x=λx*z=h0z*t=√gh0t*ζ=aζ*h1=h0h*1h2=h0h*2b=b0b*φi=(aλ√gh0/h0)φ*ip=agp*}
(1)

式中:t为时间;g为重力加速度;ζ为两层流体界面的垂向位移;带星号的量表示无因次物理量.

首先定义上、下两层流体中水平速度沿深度方向积分的平均速度:

-u1(x,t)=1-h1∫h1εζ∂xφ1(x,z,t)dz
(2)
-h1=h1-εζ-u2(x,t)=1-h2∫-εζh2∂xφ2(x,z,t)dz-h2=h2+εζ
(3)

Choi等[15]提出了平坦地形下的MCC (Miyata-Choi-Camassa)方程,用以描述强非线性内孤立波.当在有地形的情况下,通过改变MCC控制方程中的底部边界条件和界面水动力条件得到:

ζt-(-hi-ui)x=0,　i=1,2
(4)
-u1t+ε-u1-u1x+ζx=-pxρ1+μ3-h1[-h31(-u1xt+ε-u1-u1xx-ε(-u1x)2)]x
(5)
-u2t+ε-u2-u2x+ζx=-pxρ2+μ3-h2[-h32(-u2xt+ε-u2-u2xx-ε(-u2x)2)]x-βμ-h2T[-h2,βb,-u2t]-βμεQ[-h2,βb,-u2]
(6)
T[-h2,βb,-u2t]=12[(-h22bx-u2t)x--h22bx-u2xt]+β-h2(bx)2-u2t
(7)
Q[-h2,βb,-u2]=12-h2[(-h22(-u2)2bxx)x--h22(-u2-u2xx-(-u2x)2)bx]+β(-u2)2bxbxx
(8)

取地形函数 b(x)=bα(αx),其中α为地形坡度参数.那么对弱非线性地形,βα=O(μ),O表示精度.式(6)简化为

-u2t+ε-u2-u2x+ζx=-pxρ2+μ3-h2{-h32[-u2xt+ε-u2-u2xx-ε(-u2x)2]}x
(9)

在弱非线性地形条件下,假定内波是弱色散和中等非线性的,即满足 μ≤1,ε=O(√μ),那么当精确到O(μ,με,ε2)时,得到如下中等强非线性与弱色散内波传播演化模型方程:

ζt∓(-h1-u1)x=0
(10)
-uit+ε-ui-uix+ζx=-p'xρi+μ3h2i(-uixxt+ε-ui-uixxx-ε-uix-uixx)+(-1)iμεhi(23ζ-uixxt+ζx-uixt),　i=1,2
(11)

若直接采用式(10)和(11)来模拟内孤立波在斜坡上传播演化过程,尤其是地形较为复杂时,在进行数值时会遇到Kelvin-Helmholtz不稳定性问题,从而增加了计算的工作量.因此,若能对其进行简化,化为只与界面位移有关的单一方向模型,将大大提高大尺度范围的计算效率.保留O(ε)的平方非线性项,最终式(10)和(11)可化为变系数KdV方程:

ζt+c0(x)ζx+c1(x)ζζx+c2(x)ζxxx+12c'0(x)ζ=0
(12)
c20=gh1h2(ρ2-ρ1)ρ1h2+ρ2h1c1=-3c02ρ1h22-ρ2h21ρ1h2h22+ρ2h2h21c2=c06ρ1h2h21+ρ2h1h22ρ1h2+ρ2h1}
(13)

KdV方程的内孤立波解为

ζ=asech2[λKdV(x-cKdVt)]λKdV=√ac112c2cKdV=c0+ac13
(14)

vKdV方程在文献[16]中也有提及.

2 结果与分析

2.1 初始条件

对式(12)进行数值计算时,对于空间以及时间上分别采用有限差分法和四阶Runge-Kutta数值离散方法.初始波为KdV方程的定态解(式(14)),其无因次振幅分别为a/h1=-0.164, -0.237, -0.3105.本文在对vKdV方程进行数值模拟时采用与黄文昊等[8]实验中相同的初始条件,如图1所示,数值水槽的无因次全长L/h1=200,水深h=1.0 m,上、下层流体深度比为1∶4.内孤立波的无因次初始位置为x0/h1=50,表1中给出了具体的内孤立波传播演化初始条件.网格尺寸大小为Δx=0.1,Δt=0.005.这里设计了两种坡度δ=1/10和7/50的斜坡,不同坡度是通过调整斜坡区域的垂直高度而保证水平方向的长度不变得到的.

图1

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图1   数值水槽示意图(m)

Fig.1   Schematic diagram of numerical flume (m)


表1   内孤立波传播演化初始条件

Tab.1  Initial conditions of propagation and evolution of internal solitary waves

上、下层
深度比		振幅坡度初始波
位置x/h1		理论传
播模型		色散性非线性
1∶4-0.16401/1050vKdV弱弱
-0.23707/50
-0.3105-

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文献[8]表明:存在临界色散系数 μ0=0.1,KdV定态解适用于弱色散弱非线性(ε≤μ,μ<μ0)工况.盛立等[14]通过数值计算发现KdV传播模型适用于弱色散弱非线性工况,可用来传播KdV方程的定态解.基于此,本文采用式(12)所述方程传播弱非线性内孤立波是合理的.

2.2 弱非线性内孤立波在斜坡上的传播演化

图2(a)给出了在δ=1/10,0≤t√gh1≤750,a/h1=-0.3105条件下的内孤立波利用式(12)传播a/h1=-0.3105的
内孤立波的结果fv ,图中:x/h1为无因次水平方向的位置,ζ/h1为无因次波高.在图2(b)中,为更清楚地看到首波振幅变化,选取纵坐标为波高ζb=-ζa(ζb为图2(b)中的波高,ζa为图2(a)中的波高).当内孤立波传播至斜坡时,振幅逐渐增大并在平台区域趋于稳定.杜辉等[12]通过实验发现小振幅a=3.4, 5.0, 7.2 cm的内孤立波在缓坡地形 (δ=1/7, 1/9, 1/14)上传播时振幅增大.如图2(b)所示,本文数值结果中也能看到内波振幅的增大,与实验结果中的趋势相同.图2(c)~2(f)中下半部分图是地形图,斜坡的起点是x/h1=50.值得注意的是,与MCC方程不同,vKdV方程只能用来描述单一方向的内孤立波的传播,不能描述有地形下的内孤立波的反射现象,所以这里不再具体研究反射波特性.如图1所示,内波由左至右传播经过斜坡最终到达平地至稳定状态.当 t√gh1=750时,内孤立波到达x/h1=150附近 (图2(f)),此时内孤立波已趋于稳定状态,首波振幅稳定在 a/h1=-0.3203. 这里首波为内孤立波在经斜坡传播位于波最前面的内孤立波,承载了绝大部分的能量.事实上,由于斜坡在一定程度上阻碍了内孤立波的传播,从而导致下层流体深度减小,继而对波形成挤压.因此,为保证流体质量守恒,波面会被抬高,这也被称为斜坡对内孤立波的浅化作用.与此同时,斜坡对非线性较强的来波会产生耗散作用,使得振幅减小.由于初始波振幅较小,传播过程中受到地形作用下的浅化效应明显大于能量耗散作用,从而使得演化波振幅呈增大的趋势.值得注意的是,虽然KdV方程并没有考虑地形和壁面等的摩擦力,方程本身并没有能量耗散,但是在数值计算中数值耗散可以与实际中由于斜坡和壁面的摩擦力造成的能量耗散相抵消[17].

图2

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图2   δ=1/10,h1/h2=1/4,a/h1=-0.3105时内孤立波在斜坡上传播的演化特性

Fig.2   Propagation evolution characteristics of internal solitary waves on slope at δ=1/10,h1/h2=1/4,anda/h1=-0.3105


内孤立波在坡度为1/10的斜坡上的传播过程时波形变化并不是特别明显,当到达斜坡顶端x/h1=50时背部产生了一个突起(图2(c)),并随着波的传播,波背面突起逐渐增大并演化成为一系列分散开来的尾波列(图2(d)~2(f)),首波的前后两端也不再对称.

图3所示为 δ=1/10,h2/h1=4,t√gh1=750时不同振幅内孤立波在斜坡上的传播演化特性, 图中c/c0为相对波速,c0表示各自内孤立波的初始波速.从图3(a)中可以看到,在斜坡的作用下,随着振幅的增加,内孤立波波速减小量逐渐增大,意味着非线性越强的内孤立波受到的来自斜坡的作用力越大,阻碍作用越明显.图3(b)~3(d) 分别为 a/h1 为 -0.237,-0.164 以及 -0.3105 的内孤立波在 t√gh1=750时的波形与初始波的对比.可以看到,随着初始振幅的增大,内孤立波在经斜坡传播后,波形的变化更加明显,但是因斜坡的浅化作用造成的振幅的增加量逐渐减小.值得注意的是,a/h1=-0.3105 的内孤立波是文中选取的3个弱非线性内孤立波中振幅较大的一个,理论上讲,振幅越大,非线性越强,因此图3(d) 中波变形最明显.

图3

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图3   δ=1/10,h2/h1=4,t√gh1=750时不同振幅内孤立波在斜坡上的传播演化特性

Fig.3   Propagation evolution characteristics of internal solitary waves at different amplitudes on slope at δ=1/10,h2/h1=4,andt√gh1=750


图4所示为a/h1=-0.3105 的内孤立波在坡度为7/50斜坡上的传播演化过程.数值结果是由vKdV (式(12)) 模型传播定态弱非线性内孤立波(式(14))计算得到.与坡度为1/10的情况相比,在上游形成的突起幅度明显变大(图4(c)),且在上游形成振幅较大的尾波列,首波不再对称.由图4(a) 和4(b) 能清楚地看到在较大坡度的斜坡的作用下振幅随时间的变化关系.与 δ=1/10的情况不同之处在于:当δ=7/50时,振幅先增加后减小,内孤立波由下凹型变为上凸型.当δ=1/10时,振幅先增大后趋于稳定,内孤立波的极性并未发生改变.上述演化特性是由于在与斜坡相互作用的初期,斜坡的浅化作用起主导作用,使得振幅增加.随着坡度进一步增大,演化过程中会导致两层流体密度层的混合和波面背部不断变陡,从而使得剪切作用不断增强,由此导致首波能量的损失远大于浅化作用,此时能量耗散作用起主导作用,因此振幅减小.如图 4(c)~4(f) 所示,首波波前变得平坦,几乎与斜坡平行,波背部则逐渐变陡,波形最终变为上凸形.值得注意的是,当斜坡坡度为7/50时,上下层流体深度比 h1/h2变为2,上层流体深度大于下层流体深度,说明内孤立波在斜坡上时经过了临界点(h2/h1=1),由式(6)中可以看到,c1(x)
=0(即h1=h2)处是内孤立波极性转变的临界点,此时需要立方非线性项来更好地描述上下层流体深度相等时内孤立波的极性转变过程[7].因此算例中当上层流体大于下层流体时,内孤立波会由下凹型转变为上凸型.

图4

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图4   δ=7/50,h1/h2=1/4,a/h1=-0.3105时孤立波在斜坡上传播的演化特性

Fig.4   Propagation evolution characteristics of internal solitary waves on slope at δ=7/50,h1/h2=1/4, and a/h1=-0.3105


弱非线性内孤立波在通过斜坡传播时的演化特性与波受到由下层流体深度减小而导致的浅化效应以及在与斜坡相互作用下的能量耗散作用有关.此时由于上下层流体深度的变化导致一系列尾波的产生,使得内孤立波振幅减小,而浅化效应使振幅增大.斜坡坡度越大,非线性越强,作用于内孤立波上的能量耗散作用逐渐超过浅化作用,故而呈现出振幅先增加后减小的趋势,当内孤立波经过临界点后,波形由下凹型变为上凸型,但演化后的波仍然能用KdV理论来表征.

3 结论

在模拟弱非线性内孤立波在斜坡上的传播演化时,vKdV方程更为简便高效,能适用于大部分常见的内孤立波.采用vKdV方程对弱非线性内孤立波建立了相应的数值计算模型模拟并研究其在不同坡度的斜坡上的传播演化特性,主要结论如下:

(1) 当斜坡坡度较小时,弱非线性内孤立波经过斜坡上的传播演化时其受到的浅化效应大于能量耗散作用,振幅逐渐增加直至在平坦区域趋于稳定,且随着斜坡坡度的增加,该现象愈加明显.内孤立波在斜坡上传播时会形成尾波列,尾波的振幅会随着斜坡坡度的增加而增大.

(2) 在相同的地形条件下,非线性越强的内孤立波受到的来自斜坡的作用力越大,阻碍作用越明显,表现为振幅越大的内孤立波在传播过程中振幅的增加量越小,波速的减小量越大.随着斜坡坡度的增大,弱非线性内孤立波在传播过程中受地形因素导致的能量耗散作用逐渐超越浅化作用,因此内孤立波在传播过程中表现出振幅先增加后减小的特性.当在斜坡传播经过临界点后内孤立波由下凹形转变为上凸型,且在上游产生了一系列振幅逐渐衰减的尾波列.

参考文献

CAI S Q, XIE J S, HE J L.

An overview of internal solitary waves in the South China Sea

[J]. Surveys in Geophysics, 2012, 33(5):927-943.

DOI:10.1007/s10712-012-9176-0      URL     [本文引用: 1]

BOURGAULT D, MORSILLI M, RICHARDS C, et al.

Sediment resuspension and nepheloid layers induced by long internal solitary waves shoaling orthogonally on uniform slopes

[J]. Continental Shelf Research, 2014, 72:21-33.

DOI:10.1016/j.csr.2013.10.019      URL     [本文引用: 1]

拜阳, 宋海斌, 关永贤, 等.

利用地震海洋学方法研究南海东北部东沙海域内孤立波的结构特征

[J]. 科学通报, 2015, 60(10):944-951.

[本文引用: 1]

BAI Yang, SONG Haibin, GUAN Yongxian, et al.

Nonlinear internal solitary waves in the northeast South China Sea near Dongsha Atoll using seismic oceanography

[J]. Chinese Science Bulletin, 2015, 60(10):944-951.

[本文引用: 1]

XU J X, XIE J S, CHEN Z W, et al.

Enhanced mixing induced by internal solitary waves in the South China Sea

[J]. Continental Shelf Research, 2012, 49:34-43.

DOI:10.1016/j.csr.2012.09.010      URL     [本文引用: 1]

XIE J S, HE Y H, CHEN Z W, et al.

Simulations of internal solitary wave interactions with mesoscale eddies in the northeastern South China Sea

[J]. Journal of Physical Oceanography, 2015, 45(12):2959-2978.

DOI:10.1175/JPO-D-15-0029.1      URL     [本文引用: 1]

张善武.

基于变系数KdV-type理论模型的南海北部内孤立波传播演变过程研究

[D]. 青岛: 中国海洋大学, 2014.

[本文引用: 1]

ZHANG Shanwu.

Investigation of the propagation and evolution processes of the internal solitary waves in the northern South China Sea based on the variable coefficients KdV-type theoretical models

[D]. Qing-dao, China: Ocean University of China, 2014.

[本文引用: 1]

HELFRICH K R, MELVILLE W K, MILES J W.

On interfacial solitary waves over slowly varying topography

[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1984, 149:305.

DOI:10.1017/S0022112084002664      URL     [本文引用: 3]

黄文昊, 尤云祥, 王旭, 等.

有限深两层流体中内孤立波造波实验及其理论模型

[J]. 物理学报, 2013, 62(8):354-367.

[本文引用: 3]

HUANG Wenhao, YOU Yunxiang, WANG Xu, et al.

Wave-making experiments and theoretical models for internal solitary waves in a two-layer fluid of finite depth

[J]. Acta Physica Sinica, 2013, 62(8):354-367.

[本文引用: 3]

黄文昊, 尤云祥, 王竟宇, 等.

张力腿平台内孤立波载荷及其理论模型

[J]. 上海交通大学学报, 2013, 47(10):1494-1502.

[本文引用: 1]

HUANG Wenhao, YOU Yunxiang, WANG Jingyu, et al.

Internal solitary wave loadsand and its theoretical model for a tension leg platform

[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University, 2013, 47(10):1494-1502.

[本文引用: 1]

HSIEH C M, CHENG M H, HWANG R R, et al.

Numerical study on evolution of an internal solitary wave across an idealized shelf with different front slopes

[J]. Applied Ocean Research, 2016, 59:236-253.

DOI:10.1016/j.apor.2016.06.006      URL     [本文引用: 1]

KAO T W, PAN F S, RENOUARD D.

Internal solitons on the pycnocline: Generation, propagation, and shoaling and breaking over a slope

[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1985, 159:19-53.

DOI:10.1017/S0022112085003081      URL     [本文引用: 1]

杜辉, 魏岗, 张原铭, 等.

内孤立波沿缓坡地形传播特性的实验研究

[J]. 物理学报, 2013, 62(6):353-360.

[本文引用: 2]

DU Hui, WEI Gang, ZHANG Yuanming, et al.

Experimental investigations on the propagation characteristics of internal solitary waves over a gentle slope

[J]. Acta Physica Sinica, 2013, 62(6):353-360.

[本文引用: 2]

屈子云, 魏岗, 杜辉, 等.

下凹型内孤立波沿台阶地形演化特征试验

[J]. 河海大学学报(自然科学版), 2015, 43(1):85-89.

[本文引用: 1]

QU Ziyun, WEI Gang, DU Hui, et al.

Experiment on evolution characteristics of internal solitary wave of depression over step topography

[J]. Journal of Hohai University (Natural Sciences), 2015, 43(1):85-89.

[本文引用: 1]

盛立, 王怡然, 尤云祥, 等.

有限深两层流体中内孤立波传播演化理论模型研究

[J]. 水动力学研究与进展(A辑), 2016, 31(6):659-672.

[本文引用: 2]

SHENG Li, WANG Yiran, YOU Yunxiang, et al.

Investigation on propagation and evolution models for internal solitary waves in a two layer fluid system of finite depth

[J]. Chinese Journal of Hydrodynamics, 2016, 31(6):659-672.

[本文引用: 2]

CHOI W, CAMASSA R.

Fully nonlinear internal waves in a two-fluid system

[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1999, 396:1-36.

DOI:10.1017/S0022112099005820      URL     [本文引用: 1]

GRIMSHAW R, PELINOVSKY E, TALIPOVA T, et al.

Internal solitary waves: Propagation, deformation and disintegration

[J]. Nonlinear Processes in Geophysics, 2010, 17(6):633-649.

DOI:10.5194/npg-17-633-2010      URL     [本文引用: 1]

WESSElLS F, HUTTER K.

Interaction of internal waves with a topographic sill in a two-layered fluid

[J]. Journal of Physical Oceanography, 1996, 26(1):5-20.

DOI:10.1175/1520-0485(1996)026&lt;0005:IOIWWA&gt;2.0.CO;2      URL     [本文引用: 1]

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