基于变密度法的结构强度拓扑优化策略
上海交通大学 机械与动力工程学院, 上海 200240
Topology Optimization Strategy of Structural Strength Based on Variable Density Method
School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China
通讯作者: 周明东,男,特别研究员,博士生导师,电话(Tel.):021-34208510; E-mail:mdzhou@sjtu.edu.cn.
责任编辑: 陈晓燕
收稿日期: 2019-10-22
基金资助: |
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Received: 2019-10-22
作者简介 About authors
丁卯(1993-),男,江苏省扬州市人,硕士生,主要从事结构拓扑优化方法及其应用.
基于变密度法的结构强度拓扑优化中,优化结果存在灰度单元,导致结构应力水平难以准确预测,后处理前后结构应力水平变化较大.该研究通过采用基于过滤-投影的结构参数化方法,实现在迭代优化过程中结构中间密度单元比例不断下降.通过研究结构比强度问题主要优化参数对寻优过程、优化结构强度的影响规律,提出了先结构拓扑优化、后近似形状优化的新优化策略.实现了在优化过程中对结构应力水平变化趋势的准确控制,在提升优化过程稳定性的同时,实现了结构强度优化.通过典型的优化算例验证了所提出优化方法的合理性及实用性.
关键词:
In structural strength topology optimization based on the variable density method, there are gray cells in the optimization result, making it difficult to accurately predict the structural stress which changes greatly before and after post-processing. This paper uses a filter-projection-based structural parameterization method to achieve a continuous decrease in the proportion of structural intermediate density units during the iterative optimization process. By studying the influence of the main optimization parameters of the structural ratio strength problem on the optimization process and structural strength optimization, a novel optimization strategy of structural topology optimization followed by approximate shape optimization is proposed, which realizes the accurate control of the change of structural stress during the optimization process, achieveing structural strength optimization while improving the stability of the optimization process. Typical optimization examples verify the rationality and practicability of the proposed optimization method.
Keywords:
本文引用格式
丁卯, 耿达, 周明东, 来新民.
DING Mao, GENG Da, ZHOU Mingdong, LAI Xinmin.
基于变密度法的结构拓扑优化方法优化过程中结构拓扑变化灵敏,被广泛应用于实际工程结构的优化设计.但传统基于变密度法的结构强度拓扑优化方法受优化问题非线性影响,结构近似最大单元应力难以准确计算,应力变化趋势难以精准评估[7,8],且优化过程对优化参数的选择较敏感,不易收敛.同时最终优化结果往往存在较多无实际物理意义的灰度单元,后处理前后结构强度性能偏差较大,常需反复试错才能得到符合强度设计需求的结构.Zhou等[9]采用基于单纯复形的结构拓扑优化方法,使用二阶单元划分结构网格,并选取较高应力指数系数以构建结构最大单元应力近似计算公式[10],使优化结果的应力水平得以降低.Lian等[11]采用“结构拓扑开洞-结构形状优化-可变复型网格跟新”的迭代循环方法进行考虑结构应力的拓扑优化,优化结果不存在灰度单元,且优化过程中结构应力水平近似计算较准确.
在此基础上,本文针对基于变密度法考虑结构强度拓扑优化问题,采用过滤-投影结构参数化方法,通过研究主要优化参数对结构比强度优化问题优化过程的影响规律,提出一种新的优化策略,实现了在拓优化过程中对结构应力水平及其变化趋势的准确控制,同时保证优化过程的稳定性.最后通过典型结构的算例实验对该方法的合理性及实用性进行验证.
1 考虑结构强度的变密度法拓扑优化模型
基于变密度法的结构强度拓扑优化研究一直以来是工程应用关注的对象和学界的研究热点.本文基于固体各向同性材料惩罚(SIMP)法,对以结构体积为约束,最小化结构最大应力的拓扑优化问题进行研究[12].其优化列式可表述为
式中:
针对该优化问题,本文采用密度过滤的方法,以缓解结构单元应力非线性的影响.经过滤得到的单元相对密度
式中:
式中:
式中:
单元应力是局部物理量,优化过程中需对各单元应力进行控制以实现对结构整体应力水平的预测.而将每个单元应力均作为优化约束时,存在约束过多、难以求解的问题.因此,本文采用如下所示的p-norm法近似计算:
式中: Ω为设计域;p为应力指数系数;
2 结合投影法的参数化方法
基于传统变密度拓扑优化方法所设计的结构中,中间密度单元使结构应力在对应位置处无法准确计算,而为获得单元密度非0即1的离散结构,一般对优化结果采用如下所示的投影后处理,以去除结构中间密度单元:
式中:
式中:β为控制投影函数陡峭程度的投影系数;η=0.5为应用连续投影法时所用的定值投影阈值.在连续投影函数中,
图1
以图2所示的L型梁作为优化对象,图中R为半径.采用 6400 个边长为1 mm的一阶四节点四边形单元对其进行网格划分,L型梁左上端固定,为避免产生应力集中,将竖直向下大小为5 N的力分解加载在结构右端扇形区域内的所有节点上,实体材料弹性模量E=1.0 MPa,泊松比ν=0.3,优化过程中结构体积约束值为0.3.
图2
图3~6所示为ML、p及β取不同值时的结构拓扑、应力分布云图及结构最大应力.结构材料分布图下方的应力云图中,颜色从蓝到红表征单元应力由0逐渐增大至结构最大单元应力值,如图7所示.图3~6中,以相同p和ML作为一组算例,通过对比各组算例的优化结果可知,β越大,优化结果的中间密度单元比例越低,越能避免如图3(q)、3(r)、3(t) 等所示的结构断裂现象.而由各图中的(a)、(e)、(i)、(m)及(q)可知,随着p不断增大,优化结果的最大单元Von Mises应力有逐渐下降的趋势.当p取12及30等较高值时,优化过程受优化问题非线性影响较大,结构最大单元应力值有上升趋势.由此可知,在实际应用中,当p和β取较小值时,优化问题非线性较弱,结构内中间密度单元比例较大,此时设计变量变化阈值ML宜取较大值,以使结构拓扑变化更灵敏,从而更快地获得具有较低应力水平的优化结果.当为保证优化过程中对结构应力水平和最大应力变化趋势的控制精度而采用较高p值,同时为降低优化结果中间密度单元比例采用而较高β值时,应使用较低的设计变量变化阈值ML.
图3
图4
图5
图6
图7
3 优化策略
基于上一节所研究的主要优化参数对优化过程及优化结果的影响规律,本文提出了先结构拓扑优化,后近似形状优化的优化策略,以同时提升优化过程中结构应力水平的控制精度和优化过程的稳定性,并使最终设计结果的强度性能满足要求.首先在优化过程的拓扑优化阶段,通过采用较小β及p作为初始值,降低优化问题非线性影响,以实现结构拓扑的快速变化.待符合收敛条件后,增大p至30以提高优化过程中结构应力水平控制精度.满足收敛条件后增大β至64以大幅降低结构中间密度单元比例,使结构变化主要发生在边界,以构建近似形状优化的结构优化过程,最终采用后处理投影方法,获得非黑即白的设计结果.
图8
图9
图10
图11
图12
图12
Portal结构尺寸及边界条件(mm)
Fig.12
Size and boundary condition of the portal structure (mm)
图13
图14
图15
根据图中验证实验的优化结果可知,设计结果最大单元应力的变化趋势以及优化参数对设计结果强度的影响规律与L型梁实验一致,该系列优化结果以图16为例,表明上文所总结的优化参数影响规律及提出的参数选取策略具有一定的普适性及实用性,可用于指导工程实际应用.
图16
5 结语
本文采用基于过滤-投影的参数化方法,实现在迭代优化过程中结构中间密度单元比例的不断下降,进而降低后处理前后优化结果应力水平的偏差,使其满足工程实际的设计需求.通过对经典L型梁结构的比强度优化实验结果的分析,研究了关键优化参数对优化过程及优化结果应力水平的影响规律,并在此基础上,提出了先结构拓扑优化,后近似形状优化的新优化策略,同时在优化过程中保证了对结构应力水平的控制精度以及优化结果的稳定性.在上述优化策略下对典型Portal结构进行优化设计,并对优化结果的应力水平进行了分析,阐明了该方法的合理性及实用性,可为实际工程中结构比强度拓扑优化设计提供指导.
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工程结构设计时经常需要限制最大名义应力,以避免发生断裂或疲劳破坏,一个有效的策略是采用拓扑优化方法. 常规的双向渐进结构优化法(bi-evolutionary structural optimization, BESO)不能有效求解应力约束拓扑优化问题,为此本文提出一种改进的双向渐进结构优化方法,处理体积和应力约束下的最小柔顺性问题. 引入基于K-S函数的全局应力度量,以减小大量局部应力约束引起的计算代价. 采用拉格朗日乘子法将应力约束函数引入到目标函数,然后由二分法确定合适的拉格朗日乘子的值使得应力约束得到满足. 而且,详细推导了基于BESO方法的应力约束拓扑优化模型及其灵敏度列式,最后通过三个典型拓扑优化算例验证改进方法的有效性. 为展示考虑应力约束的优点,将应力约束设计与传统的基于刚度的设计进行了比较. 结果表明, 改进的BESO方法优化迭代过程稳健,获得了边界灰度单元很少的清晰的拓扑构型,并实现了有效降低应力集中效应的设计.
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