基于复阻尼模型等效的黏性阻尼模型时域计算方法
Time-Domain Calculation Method of an Equivalent Viscous Damping Model Based on Complex Damping Model
通讯作者: 杨红,男,教授,博士生导师,电话(Tel.):13452348727;E-mail:yangh@cqu.edu.cn.
责任编辑: 陈晓燕
收稿日期: 2020-01-27
基金资助: |
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Received: 2020-01-27
作者简介 About authors
孙攀旭(1990-),男,河南省许昌市人,博士生,从事结构抗震设计与计算
复阻尼模型的阻尼矩阵构造容易,仅依赖于材料损耗因子和结构刚度矩阵,但具有时域发散、非因果性等缺陷.从结构的固有特征恒定出发,推导了材料损耗因子与结构阻尼比的等效关系,进而得到与复阻尼模型等效的黏性阻尼模型.该阻尼模型不仅克服了复阻尼模型的缺陷,同时保留了复阻尼模型直接依赖材料损耗因子的便捷性.针对比例阻尼体系,依据材料损耗因子和结构振型阻尼比的关系,提出了基于复阻尼模型等效的黏性阻尼模型实振型叠加法.针对非比例阻尼体系,依据材料损耗因子和子结构振型阻尼比的关系,借助分块Rayleigh阻尼和状态空间法,提出了基于复阻尼模型等效的黏性阻尼模型复振型叠加法.通过算例分析验证了本文方法的可行性和正确性.
关键词:
The damping matrix of the complex damping model is easy to be constructed, which only depends on the material loss factor and the structural stiffness matrix. However, the complex damping model has some shortcomings, such as time-domain divergence and causality. Structural inherent characteristics are constant, so that the equivalent relationship between material loss factor and structural damping ratio is deduced and the viscous damping model which is equivalent to complex damping model is obtained. The proposed damping model overcomes the shortcoming of the complex damping model. Besides, the convenience that the complex damping model is directly dependent on material loss factor is retained. According to the equivalent relationship between the material loss factor and structural modal damping ratio, the real mode superposition method based on the proposed damping model is suggested for the proportional damping system. For the non-proportional damping system, according to the equivalent relationship between the material loss factor and modal damping ratio of the substructure, the complex mode superposition method based on the proposed damping model is proposed by the aid of Rayleigh damping and the state space method. The example analysis proves the feasibility and correctness of the proposed method.
Keywords:
本文引用格式
孙攀旭, 杨红, 赵志明, 刘庆林.
SUN Panxu, YANG Hong, ZHAO Zhiming, LIU Qinglin.
为构建等效复阻尼模型,Yang等[7]依据线弹性体的时域本构关系,采用最小二乘法使其近似等于频域内的复阻尼本构关系.Reggio等[8]采用Maxwell-Wiechert本构模型,在频域范围内近似等效于复阻尼本构模型.Wang[9]在频域内采用Rayleigh阻尼矩阵等效复阻尼矩阵.李暾等[10]基于谱矩相等原则构建出一种等效复阻尼模型,但上述方法的计算过程较为复杂.文献[3,11-12]依据复阻尼模型和黏性阻尼模型的自由振动响应,构建出损耗因子和阻尼比的近似2倍关系.在此基础上,本文以基于复阻尼模型的频率相关黏性阻尼模型[13,14]为依据,从结构固有特征恒定的角度出发,构建了材料损耗因子与结构阻尼比的更合理等效关系,进而建立了与复阻尼模型等效的黏性阻尼模型(以下简称“复阻尼等效-黏性阻尼模型”).
1 损耗因子与阻尼比的等效关系
1.1 复阻尼模型与黏性阻尼模型等效
基于复阻尼模型的单自由度体系时域运动方程为
式中:m为结构的质量;t为时间;k为结构的刚度;η为材料损耗因子;f为外激励荷载;f'为f的复化对偶项^([20]);x(t)为结构的位移;
式(1)对应的自由振动方程为
式中:ω为结构的自振频率,
求解式(2),剔除发散项[21],可得到对应的自由振动响应为
式中:
ωH为结构的有阻尼自振频率;λH为自由振动的衰减系数;A1 和A2 为待定系数,可由初值条件确定;t0 为初始时刻;x(t0)为初始位移;
基于黏性阻尼模型的单自由度体系时域运动方程为
式中:ξ为结构的阻尼比;
式(5)对应的自由振动方程为
求解式(6)可得
式中:
ωV为结构的有阻尼自振频率;λV为自由振动的衰减系数;C1和C2为待定系数,可由初值条件确定.
进一步得
式(11)和(12)无法同时成立,表明复阻尼模型与黏性阻尼模型的自由振动响应是无法直接等效的.究其原因,复阻尼模型的自由振动解需要舍弃发散解,在数学上是非完整解,对应的有阻尼自振频率和衰减系数均随着损耗因子的增大而增大.而黏性阻尼模型的有阻尼自振频率随着阻尼比的增大而减小,衰减系数随着阻尼比的增大而增大.因此,理论上复阻尼模型和黏性阻尼模型的自由振动响应是不能等效的.
1.2 频率相关黏性阻尼模型与黏性阻尼模型等效
式中:˜ω为结构的振动频率.
式(13)对应的自由振动方程为
求解式(14)可得
式中:
ωF为结构的有阻尼自振频率;λF为自由振动的衰减系数;B1和B2为待定系数,可由初值条件确定.
频率相关黏性阻尼模型与黏性阻尼模型等效,可得
式(17)可转化为
式(18)和(19)是相同的,可得到结构阻尼比与材料损耗因子之间的关系式为
综上,频率相关黏性阻尼模型与黏性阻尼模型的自由振动响应是可以直接等效的,据此建立的材料损耗因子与结构阻尼比的等效关系具有更合理的物理意义.
将式(20)代入式(6),将结构有阻尼自振频率代入式(14),此时,式(6)和(14)具有相同的数学表达式,即
式(21)为复阻尼等效-黏性阻尼模型的时域自由振动方程.
基于构建的材料损耗因子与结构阻尼比的等效关系,频率相关黏性阻尼模型和黏性阻尼模型具有相同的自由振动方程,从而保证了结构的自由振动响应和自由振动耗散能量是相同的.
频率相关黏性阻尼模型克服了复阻尼模型的时域发散缺陷,但与复阻尼模型的频响函数相同,仍具有物理上非因果性的缺陷,同时阻尼项中包含结构振动频率的未知项,计算过程较为复杂.新建立的复阻尼等效-黏性阻尼模型可克服复阻尼模型时域发散、非因果性的缺陷,同时保留了复阻尼模型直接依赖材料损耗因子的便捷性和黏性阻尼模型的数学简易性,且材料损耗因子与结构阻尼比的等效关系也更合理.
损耗因子较小时,可作如下近似
式(20)可进一步近似为
式(23)表明,当损耗因子较小时,损耗因子与阻尼比是近似的2倍关系,与文献[3,11-12,22-23]中小阻尼比情况下损耗因子与阻尼比的关系是一致的.
在此基础上,对损耗因子近似为2倍阻尼比的适用范围进行分析,相对误差可表示为
以5%的相对误差作为界定依据,式(24)可进一步转化为
求解式(25),可得
综上,当
2 单一阻尼特性材料组成的比例阻尼体系
基于黏性阻尼模型的多自由度体系运动方程为
式中:M为结构的质量矩阵;K为结构的刚度矩阵;C为结构的阻尼矩阵;I为与外激励加速度输入有关的向量,与g(t)方向相同的位移自由度元素为1;g(t)为外激励加速度;x(t)为结构的位移向量;
式(27)对应的无阻尼振型向量
x(t)可由振型向量线性表达:
单一阻尼特性材料的比例阻尼体系可直接采用实振型叠加法,将式(29)代入式(27),可得
式中: ξn 为第n阶振型对应的振型阻尼比;ωn 为第n阶振型对应的无阻尼自振频率;γn 为第n阶振型对应的振型参与系数,满足
材料的损耗因子在一宽泛的频率范围内是近似不变的[4],因此单一材料结构的振型阻尼比在一宽泛频率范围内是近似不变的.通过试验可直接测得材料的损耗因子,进一步由式(20)可得到振型阻尼比为
将式(32)代入式(30),可得到
3 不同阻尼特性材料组成的非比例阻尼体系
对于混合结构而言,无法直接利用材料损耗因子得到整体结构的振型阻尼比.只能依赖于材料损耗因子得到相应子结构对应的振型阻尼比.由式(20)可得
式中: ξj,n为第j种材料对应子结构第n阶振型的振型阻尼比;ηj 为第j种材料的损耗因子.
依据子结构的振型阻尼比,需要进一步依赖于Rayleigh阻尼模型,采用分块Rayleigh阻尼模型构建结构的阻尼矩阵
式中: S为材料的种类数目;Mj 为第j种材料对应的子结构质量矩阵;Kj 为第j种材料对应的子结构刚度矩阵;αj 和βj为对应的Rayleigh阻尼系数.
选择结构的两阶重要振型,式(34)可进一步转化为
式中:ωm 为第m阶振型的无阻尼自振频率;ξj,m 、ξj,n 第j种材料对应子结构第m阶、第n阶振型的振型阻尼比.
求解式(35),可得到Rayleigh阻尼系数,进而得到结构的阻尼矩阵,但通常情况下,结构的阻尼矩阵是非比例的,无法直接采用实振型叠加法.结构运动方程可等价为
式(36)可进一步表示为
式中:
式(37)对应的复特征值为
式中: σi 为第i阶振型的衰减系数;ωdi 为第i阶振型的有阻尼自振频率.
对应于2N个复特征值的复特征向量为
式中:
令
式中:
由式(38)、(40)可得
位移向量x(t)可由复特征向量线性表示
利用复特征向量的正交性,可得
求解式(43),可得到
4 算例分析
4.1 算例1
图1
表1 模型A参数
Tab.1
层数 | 质量×10-3/kg | 刚度×10-5/(N·m-1) |
---|---|---|
1 | 5.0 | 3.0 |
2 | 4.0 | 2.5 |
3 | 3.0 | 2.0 |
4 | 2.0 | 1.5 |
图2
图2
El Centro波作用下模型A顶层响应
Fig.2
Top floor responses of Model A in El Centro wave
图3
表2 模型A动力响应
Tab.2
El Centro波作用下,EVR和FFZ的位移时程响应近似相等,均在t=3.48s达到位移峰值(图2(a)),位移峰值的相对误差为8.55%.EVR和FFZ的加速度时程响应近似相等,EVR在t=11.96s处达到加速度峰值,FFZ在t=12.00s处达到加速度峰值(图2(b)),加速度峰值的相对误差为9.46%.Taft波作用下,EVR和FFZ的位移时程响应近似相等,EVR在t=4.22s处达到位移峰值,FFZ在 t=4.24s处达到位移峰值(图3(a)),位移峰值的相对误差为3.44%.EVR和FFZ的加速度时程响应近似相等,均在t=4.22s处达到加速度峰值(图3(b)),加速度峰值的相对误差为6.02%.因此,EVR和FFZ的计算结果近似相等,证明了等效于复阻尼模型的黏性阻尼模型实振型叠加法的正确性.
4.2 算例2
图4
依据第一阶振型和第二阶振型,可得到模型B对应的分块Rayleigh阻尼矩阵为
图5
图5
El Centro地震波作用下模型B顶层响应
Fig.5
Top floor responses of Model B in El Centro wave
图6
表4 模型B动力响应
Tab.4
El Centro波作用下,EVC和FFZ的位移时程响应近似相等,EVC在t=12.30s处达到位移峰值,FFZ在t=12.32s处达到位移峰值(图5(a)),位移峰值的相对误差为3.82%.EVC和FFZ的加速度时程响应近似相等,均在t=11.76s达到加速度峰值(图5(b)),加速度峰值的相对误差为8.54%.Taft波作用下,EVC和FFZ的位移时程响应近似相等,EVC在t=4.02s处达到位移峰值,FFZ在t=4.04s处达到位移峰值(图6(a)),位移峰值的相对误差为4.15%.EVC和FFZ的加速度时程响应近似相等,均在t=9.84s处达到加速度峰值(图6(b)),加速度峰值的相对误差为9.68%.因此,EVC和FFZ的计算结果近似相等,证明了复阻尼等效-黏性阻尼模型复振型叠加法的正确性.
5 结论
(1) 从结构固有特征恒定的角度出发,基于复阻尼模型的频率相关黏性阻尼模型,建立了材料损耗因子与结构振型阻尼比的合理等效关系.
(2) 依据材料损耗因子与结构振型阻尼比的等效关系,提出了与复阻尼模型等效的黏性阻尼模型,可克服复阻尼模型时域发散、非因果性的缺陷,同时保留了复阻尼模型直接依赖材料损耗因子的便捷性以及黏性阻尼模型的数学简易性.
(3) 对于由单一阻尼特性材料组成的比例阻尼体系,利用材料损耗因子与结构振型阻尼比相等的特征,建立了与复阻尼模型等效的黏性阻尼模型实振型叠加法.对于由不同阻尼特性材料组成的非比例阻尼体系,利用不同材料的损耗因子与对应子结构的振型阻尼比相等特征,提出了与复阻尼模型等效的黏性阻尼模型复振型叠加法,算例分析验证了两种方法的正确性.
参考文献
复阻尼结构动力方程的增维精细积分法
[J].
Magnified dimension precise integration method for the dynamic equations of complex damped structures
[J].
空间网壳结构的节点-构件阻尼模型研究
[J].
Investigation of a joint-member damping model for single-layer latticed domes
[J].
Material damping: An introductory review of mathematic measures and experimental technique
[J].DOI:10.1016/S0022-460X(73)80131-2 URL [本文引用: 2]
逐步积分法求解复阻尼结构运动方程的稳定性问题
[J].
Studies on stability of step-by-step methods under complex damping conditions
[J].
Practical causal hysteretic damping
[J].
Effect of complex damping on seismic responses of a reticulated dome and shaking table test validation
[J].DOI:10.1016/j.tws.2018.10.025 URL [本文引用: 1]
Modelling and identification of structures with rate-independent linear damping
[J].DOI:10.1007/s11012-014-0046-3 URL [本文引用: 1]
Rayleigh coefficients for series infrastructure systems with multiple damping properties
[J].DOI:10.1177/1077546313496832 URL [本文引用: 1]
基于谱矩的单自由度复阻尼结构的等效阻尼分析
[J].
Equivalent damping of single-degree-of-freedom complex damping structures based on spectral moment
[J].
混凝土材料与结构阻尼测试、增强与表达
[D].
Concrete material and structural damping test, enhancement and expression
[D].
结构阻尼与材料阻尼的关系
[J].
Relationship between structural damping and material damping
[J].
基于频率相关黏性阻尼模型的复模态叠加法
[J].
DOI:10.6052/0459-1879-18-170
[本文引用: 2]
黏性阻尼模型存在每周期耗散能量与外激励频率相关的缺陷, 复阻尼模型时域计算结果存在发散现象. 为克服上述两种阻尼模型的不足, 在复阻尼模型基础上, 依据时频域转化原则推导了频率相关黏性阻尼模型. 频率相关黏性阻尼模型不仅具有每周期耗散能量与外激励频率无关的优点, 还保证了结构位移时程的稳定收敛. 混合结构由具有不同阻尼特性的材料组成, 其阻尼矩阵为非比例矩阵, 无法直接采用实模态叠加法. 根据频率相关黏性阻尼模型与复阻尼模型的转换关系, 提出了适用于混合结构的基于频率相关黏性阻尼模型的复模态叠加法. 算例分析结果表明, 与基于黏性阻尼模型的复模态叠加法相比, 基于频率相关黏性阻尼模型的复模态叠加法不仅计算结果唯一, 且不增加矩阵维度, 具有较高的计算效率. 小阻尼情况下, 两种方法的计算结果近似相等, 且与复阻尼模型的频域计算结果一致. 当阻尼比较大时, 两种方法的计算结果差异增大, 但频率相关黏性阻尼模型的复模态叠加法与复阻尼模型的频域计算结果仍保持一致.
Complex mode superposition method based on frequency dependent viscous damping model
[J].
基于复阻尼模型的改进时域计算方法
[J].
Improved time domain calculation method based on complex damping model
[J].
Dynamics of structures
[M]. 3nd ed.
基于隔震结构Benchmark模型的复振型叠加反应谱方法
[J].
Complex modal shapes superposition response spectrum approach based on vibration isolation structure benchmark model
[J].
复振型叠加方法合理振型数量的确定
[J].
Determination of reasonable mode number for complex modal superposition approach
[J].
Dynamic response of non-classically damped structures via reduced-order complex modal analysis: Two novel truncation measures
[J].DOI:10.1016/j.jsv.2019.04.010 URL [本文引用: 1]
复本构理论中的对偶原则
[J].
The dual principle in theory of complex constitutive equations
[J].
关于复阻尼理论的两个基本问题
[J].
On the two basic problems of complex damping theory
[J].
A damage parameter for HCF and VHCF based on hysteretic damping
[J].DOI:10.1016/j.ijfatigue.2013.10.010 URL
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