考虑韧性提升的交直流配电网线路加固和储能配置策略

图1 两阶段优化模型示意图

Fig.1 Illustration of two-stage optimization model

1.1 目标函数

两阶段鲁棒优化模型目标函数可以表示为

(1)

\begin{matrix} \min_{y \in Y} C^{INV} + ρ_{pre} τ \max_{u \in U} \min_{x \in F (y, u)} (C^{OPE} + C^{LS}) \end{matrix}

式中: $x 、 y 、 u$ 分别表示内层、外层、中层决策变量;C^INV表示投资成本;C^OPE和C^LS分别表示灾后运行成本和负荷减载(Load Shedding, LS)损失;考虑到投资并非仅仅用于提升韧性,引入韧性偏好系数ρ_pre反映规划期的韧性倾向;τ表示规划期内极端事件发生的次数.

投资成本包括线路加固成本和储能配置成本两部分,由于线路和储能系统的规划年限不同,投资成本均转化为一年期成本.

(2)

\begin{matrix} C^{INV} = C_{L}^{INV} + C_{ES}^{INV} \end{matrix}

(3)

\begin{array}{l} C_{L}^{INV} = β_{l} \sum_{(i, j) \in Ω_{L}} {c^{l}}_{ij} s_{ij} y_{ij} \end{array}

式中: $C_{L}^{INV}$ 表示线路加固投资成本; $C_{ES}^{INV}$ 表示储能资源配置投资成本;β_l为按规划年限将线路投资总成本折算至一年期的系数;i, j表示节点;Ω_L表示交直流配网线路集; ${c^{l}}_{ij} 表示该线路单位加固投资成本; s_{ij} 表示线路长度; y_{ij}$ 为线路加固的二进制决策变量,值为1时表示线路加固,为0时表示未加固.需要特别指出的是,VSC联络线不作为线路加固考虑的因素.储能配置成本与储能系统总容量及额定功率呈线性关系:

(4)

\begin{matrix} C_{ES}^{INV} = β_{es} (\sum_{i \in Ω_{B}} c^{e} {E^{R}}_{i} + c^{p} {P^{R}}_{i}) \end{matrix}

式中:β_es表示按规划年限将储能系统投资总成本折算至一年期的系数;Ω_B表示交直流配网节点集合;c^e、c^p分别表示储能系统容量成本系数、储能系统功率成本系数; ${E^{R}}_{i} 和 {P^{R}}_{i} 分别表示配置在节点 i$ 的储能系统容量和额定功率.

灾后运行成本C^OPE包括分布式电源出力成本和储能充放电成本,可表示为

(5)

\begin{array}{l} C^{OPE} = \sum_{t \in T} [\sum_{g \in Ω_{G}} {c^{G}}_{g} {p^{G}}_{g, t} + \\ \sum_{i \in Ω_{B}} (c_{i}^{dis} p_{i, t}^{dis} + c_{i}^{ch} p_{i, t}^{ch})] \end{array}

式中:T表示极端事件持续影响时间;Ω_G 表示分布式电源集合; ${c^{G}}_{g} 、 c_{i}^{ch} 和 c_{i}^{dis}$ 分别表示分布式电源出力、储能系统充放电单位成本系数; ${p^{G}}_{g, t}$ 表示t时刻分布式电源i的出力; $p_{i, t}^{dis} 、 p_{i, t}^{ch}$ 分别表示t时刻储能系统i的放电功率、充电功率.

(6)

\begin{matrix} C^{LS} = \sum_{i \in Ω_{B}, t \in T} c_{i}^{LS} ρ_{i, t} {p^{D}}_{i, t} \end{matrix}

式中: $c_{i}^{LS}$ 表示考虑负荷权重后的单位切负荷成本; ρ_i,t 表示t时刻节点i切负荷比率; $\begin{array}{l} {p^{D}}_{i, t} \end{array}$ 为对应时刻和节点的负荷.

1.2 约束条件

1.2.1 外层约束 $Y = [y_{ij} σ_{i} {E^{R}}_{i} {P^{R}}_{i}]$ 为外层决策变量(y__ij 表示线路ij的加固情况,σ__i表示储能配置的二进制决策变量).考虑到投资成本是优化目标函数项,因此在约束中不直接限制投资成本,而对线路加固和储能配置数量进行限制,增强投资可行性.

(1) 储能系统配置数量约束.

(7)

\begin{matrix} \sum_{i \in Ω_{B}} σ_{i} \leq N_{ES}^{INV} \end{matrix}

式中: $σ_{i} 为 1 时表示节点 i$ 配置储能系统,反之则未配置; $N_{ES}^{INV}$ 表示储能系统最大允许配置数量.

(2) 线路加固数量约束.

(8)

\begin{matrix} \sum_{(i, j) \in Ω_{L}} y_{ij} \leq N_{L}^{INV} \end{matrix}

式中: $N_{L}^{INV}$ 表示线路最大加固数量.

(3) 储能额定功率和容量配置约束.

(9)

\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \leq {P^{R}}_{i} \leq σ_{i} P_{i}^{R, \max}, \forall i \in Ω_{B} \\ 0 \leq {E^{R}}_{i} \leq σ_{i} E_{i}^{R, \max}, \forall i \in Ω_{B} \end{array}\} \end{matrix}

式中: $P_{i}^{R, \max} 和 E_{i}^{R, \max}$ 分别表示储能系统可配置的额定功率和容量上限.

1.2.2 中层约束中层确定最严重的故障集合,但由于交直流混合配电网设备众多,需要对故障线路数量进行限制.借鉴香农信息理论^{[5, 17]},对配网故障不确定熵值进行限制.

(10)

\begin{matrix} \sum_{(i, j) \in Ω_{L}} (- lb p_{ij}^{dam}) z_{ij, 0} \leq W_{\max} \end{matrix}

式中: $p_{ij}^{dam}$ 表示线路故障率; $z_{ij, 0}$ 为二进制变量,表征线路是否发生故障,发生故障时值为1,反之为0; $W_{\max}$ 表示配网线路故障不确定熵值上限.

需要说明的是,极端事件及故障集的时空演变过程是一项庞大的课题,已有研究大多针对某一类型极端事件(如飓风),将配电网划分成若干子区域,进而将极端事件演变阶段与子区域对应.相较于单一故障阶段单区域模型,复杂性和仿真程度均有所提升,但本质方法并无明显区别^{[16, 20]}.且本文研究规划策略,在规划期便对极端事件类型和演变进行预测难以实现,因此本文不考虑极端事件时空演变特性. $t_{0} 时刻故障发生, t_{0} + T$ 时刻故障线路修复,上级电源恢复供电.故障持续时间内线路状态不变,即有

(11)

u_{ij, t} = z_{ij, 0}, \forall (i, j) \in Ω_{L}, \forall t \in T

式中:u_ij,t 表示t时刻线路故障状态,值为1表示线路处于故障状态,反之则无故障.同样地,灾后恢复策略也不在本文研究范围之内.中层决策变量 $u = [z_{ij, 0} u_{ij, t}] .$

线路故障率与第一阶段的加固策略相关联,导致两阶段决策变量相互制约,因此需要补充阶段关联约束.

线路加固会显著降低故障率,但通常并不会降低到0.假定线路加固前故障率为 $p_{ij}^{0}, 加固后故障率为 p_{ij}^{1},$ 那么有

(12)

\begin{matrix} lb p_{ij}^{dam} = (lb \frac{p_{ij}^{1}}{p_{ij}^{0}}) y_{ij} + lb p_{ij}^{0} \end{matrix}

1.2.3 内层约束内层确定故障持续时间内,交直流配电网脱离主网的调度运行和灾中应对策略,其决策变量 $x = [{p^{G}}_{i, t} {q^{G}}_{i, t} p_{i, t}^{dis} p_{i, t}^{ch} v_{i, t} p_{s, t} p_{d, t} q_{s, t} M_{t} δ_{t} ρ_{i, t}]$ ( ${p^{G}}_{i, t} 、 {q^{G}}_{i, t}$ 分别表示机组i在t时刻的有功和无功功率出力; $v_{i, t}$ 表示t时刻节点i的电压幅值;p_s,t、q_s,t分别表示VSC交流侧传输的有功功率、无功功率;p_d,t 表示VSC直流侧传输的有功功率;M_t 为脉冲宽度调制(PWM)信号的调制比;δ_t 表示VSC换流桥输出相位;ρ_i,t为t时刻节点i的负荷减载比例),约束包括:

(1) 配网节点功率平衡约束.

(13)

{p^{G}}_{i, t} + p_{i, t}^{dis} - p_{i, t}^{ch} = \sum_{(i, j) \in Ω_{L}^{AC}} p_{ij, t} + (1 - ρ_{i, t}) {p^{D}}_{i, t} + (\sum_{(i, j) \in Ω_{L}^{AC}} G_{ij}) v_{i, t}^{2}

\forall i \in Ω_{B}^{AC}, \forall t \in T

(14)

{q^{G}}_{i, t} = \sum_{(i, j) \in Ω_{L}^{AC}} q_{ij, t} + (1 - ρ_{i, t}) {q^{D}}_{i, t} - (\sum_{(i, j) \in Ω_{L}^{AC}} B_{ij}) v_{i, t}^{2}

\forall i \in Ω_{B}^{AC}, \forall t \in T

(15)

\begin{array}{l} {p^{G}}_{i, t} + p_{i, t}^{dis} - p_{i, t}^{ch} = \sum_{(i, j) \in Ω_{L}^{DC}} p_{ij, t} + (1 - ρ_{i, t}) {p^{D}}_{i, t} \\ \forall i \in Ω_{B}^{DC}, \forall t \in T \end{array}

式中: $p_{ij, t} 、 q_{ij, t}$ 分别表示t时刻线路ij传输的有功功率、无功功率; $Ω_{L}^{AC} 、 Ω_{L}^{D C}$ 分别表示交流配网线、直流配网线路集合; ${p^{D}}_{i, t} 、 {q^{D}}_{i, t}$ 分别表示t时刻接入节点i的有功负荷、无功负荷; $G_{ij} 、 B_{ij}$ 表示交流配网节点导纳; $Ω_{B}^{AC}$ 和 $Ω_{B}^{DC}$ 分别表示交流配网线路集合和直流配网线路集合.

(2) 线路载荷约束.

(16)

\begin{array}{l} \begin{matrix} p_{ij, t}^{2} + q_{ij, t}^{2} \leq (1 - u_{ij, t}) (S_{ij}^{\max})^{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \forall (i, j) \in Ω_{L}, \forall t \in T \end{matrix} \end{array}

式中: $S_{ij}^{\max}$ 为线路传输视在功率上限.

(3) 线路潮流等式约束.

(17)

- M_{1} u_{ij, t} \leq p_{ij, t} + G_{ij} V_{i, t}^{2} - V_{i, t} V_{j, t} (G_{ij} \cos θ_{ij, t} + B_{ij} \sin θ_{ij, t}) \leq M_{1} u_{ij, t}

\forall (i, j) \in Ω_{L}^{AC}, \forall t \in T

(18)

- M_{2} u_{ij, t} \leq q_{ij, t} - B_{ij} V_{i, t}^{2} - V_{i, t} V_{j, t} (G_{ij} \sin θ_{ij, t} - B_{ij} \cos θ_{ij, t}) \leq M_{2} u_{ij, t}

\forall (i, j) \in Ω_{L}^{AC}, \forall t \in T

(19)

\begin{array}{l} - M_{3} u_{ij, t} \leq p_{ij, t} - \frac{1}{r_{ij}} (V_{i, t}^{2} - \\ V_{i, t} V_{j, t}) \leq M_{3} u_{ij, t} \\ \forall (i, j) \in Ω_{L}^{DC}, \forall t \in T \end{array}

式中: $θ_{ij, t}$ 表示t时刻节点i和节点j的电压相角差;v和θ分别表示节点电压幅值和相角; $r_{ij}$ 表示直流配网线路电阻值; $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ 为足够大的正值常数,其取值只需比对应潮流项绝对值上界稍大即可.

(4) 机组出力约束.

(20)

\begin{matrix} P_{g}^{G, \min} \leq {p^{G}}_{g, t} \leq P_{g}^{G, \max} \end{matrix}

\begin{matrix} \forall g \in Ω_{G}, \forall t \in T \end{matrix}

(21)

\begin{array}{l} Q_{g}^{G, \min} \leq {q^{G}}_{g, t} \leq Q_{g}^{G, \max} \\ \begin{matrix} \forall g \in Ω_{G}^{AC}, \forall t \in T \end{matrix} \end{array}

式中: $P_{g}^{G, \max} 、 P_{g}^{G, \min}$ 分别表示机组有功功率出力上下限; ${p^{G}}_{g, t}$ 表示t时刻机组有功功率出力; $P_{g}^{G, \max} 、 P_{g}^{G, \min}$ 分别表示机组有功功率出力的上限、下限; $Ω_{G}$ 表示所有机组集合; $Ω_{G}^{AC}$ 表示交流配网中的机组集合.

(5) 节点电压约束.

(22)

V_{i}^{\min} \leq V_{i, t} \leq V_{i}^{\max}, \forall i \in Ω_{B}, \forall t \in T

式中: $V_{i}^{\max}, V_{i}^{\min}$ 分别表示节点电压幅值上下限.

(6) VSC运行特性约束.

VSC由换流桥、交流滤波器和换流电抗器等组成,其等效单相稳态运行模型如图2所示.在图2中,VSC连接交流配网与直流配网,交流侧传递有功和无功功率为p_s和q_s;直流侧传递有功功率为p_d;V_s、V_d分别表示VSC交流侧和直流侧节点电压,为交直流配网运行决策变量;V_c表示换流桥虚拟节点线电压;x_c,VSC表示交流滤波器对地阻抗;r_VSC、x_l,VSC分别表示VSC联络线等效电阻和电抗;δ_c表示换流桥虚拟节点相位.满足以下等式约束,

(23)

p_{s, t} = \frac{μ M_{t}}{\sqrt[]{2}} V_{s, t} V_{d, t} Y \sin (δ_{t} - α) + V_{s, t}^{2} Y \sin α

\begin{matrix} \forall t \in T \end{matrix}

(24)

q_{s, t} = - \frac{μ M_{t}}{\sqrt[]{2}} V_{s, t} V_{d, t} Y \cos (δ_{t} - α) + V_{s, t}^{2} Y \cos α + \frac{V_{s, t}^{2}}{x_{c, VSC}}, \forall t \in T

(25)

p_{s, t} = \frac{μ M_{t}}{\sqrt[]{2}} V_{s, t} V_{d, t} Y \sin (δ_{t} + α) - \frac{μ^{2} M_{t}^{2}}{2} V_{d, t}^{2} Y \sin α

(26)

V_{c, t} = \frac{μ}{\sqrt[]{2}} M_{t} V_{d, t}, \forall t \in T

(27)

\begin{array}{l} \begin{array}{l} Y = \frac{1}{\sqrt[]{r_{VSC}^{2} + x_{l, VSC}^{2}}} \\ α = \arctan \frac{r_{VSC}}{x_{l, VSC}} \end{array}\} \end{array}

式中:μ表示直流电压利用率,与脉冲宽度调制(PWA)调制策略相关; $V_{s, t} 、 V_{d, t} 分别表示 t$ 时刻VSC交流侧和直流侧的节点电压;δ_t表示VSC换流桥输出相位,数值上等于交流侧母线电压与换流桥输出线电压相位差^[21];Y和α反映VSC等效阻抗信息.VSC稳态运行时,μ、Y、α均为常量;r_VSC和x_l,VSC分别表示VSC等效电阻和电抗.

图2

图2 VSC单相等效稳态运行模型

Fig.2 Equivalent single-phase steady state operation model of VSC

VSC交直流两侧联络线受到一定的载荷限制,可以表示为

(28)

P_{s}^{\min} \leq p_{s, t} \leq P_{s}^{\max}, Q_{s}^{\min} \leq q_{s, t} \leq Q_{s}^{\max}

\forall t \in T

(29)

\begin{array}{l} \begin{matrix}  \end{matrix} \\ P_{d}^{\min} \leq p_{d, t} \leq P_{d}^{\max}, \forall t \in T \end{array}

式中: $P_{s}^{\max}$ 、 $P_{s}^{\min}$ 分别表示VSC交流侧传输的有功功率上限、下限; $Q_{s}^{\max}$ 、 $Q_{s}^{\min}$ 表示VSC交流侧传输的无功功率上限、下限; $P_{d}^{\max}$ 、 $P_{d}^{\min}$ 表示VSC直流侧传输的有功功率的上限、下限.

此外,VSC控制变量还需满足以下约束,

(30)

\begin{matrix} 0 \leq M_{t} \leq 1, \forall t \in T \end{matrix}

(31)

\begin{array}{l} δ_{\min} \leq δ_{t} \leq δ_{\max}, \forall t \in T \end{array}

式中:δ_max、δ_min分别表示VSC换流桥输出相位上限、下限.

(7) 储能系统运行约束.

(32)

S_{i} (t) = S_{i} (t - 1) + p_{i}^{ch} (t) η_{ch} Δt - \frac{p_{i}^{dis} (t) Δ t}{η_{dis}}

\forall i \in Ω_{B}, \forall t \in T

(33)

SO C_{i, \min} \leq \frac{S_{i} (t)}{{E^{R}}_{i}} \leq SO C_{i, \max}

\forall i \in Ω_{B}, \forall t \in T

(34)

\begin{array}{l} 0 \leq p_{i}^{ch} (t) \leq {P^{R}}_{i}, \forall i \in Ω_{B}, \forall t \in T \\ 0 \leq p_{i}^{dis} (t) \leq {P^{R}}_{i}, \forall i \in Ω_{B}, \forall t \in T \end{array}\}

(35)

\begin{array}{l} p_{i}^{ch} (t) p_{i}^{dis} (t) = 0, \forall i \in Ω_{B}, \forall t \in T \end{array}

式中: $S_{i} (t)$ 表示储能系统i在时刻t剩余电量; $p_{i}^{ch} 、 p_{i}^{dis}$ 分别表示储能系统i的充电、放电功率;SOC_i_,max、SOC_i_,min分别表示储能系统i电量的上限、下限;η_ch、η_dis分别表示储能系统充放电效率.式(32)表示储能系统电量平衡等式约束.式(33)表示储能系统荷电状态(State of Charge, SOC)约束.式(34)表示储能系统充放电功率约束,式(35)表示储能系统在某一时刻只能处于充电或者放电一种状态中.

(8) 负荷减载约束.

(36)

\begin{matrix} 0 \leq ρ_{i, t} \leq 1, \forall i \in Ω_{B}, \forall t \in T \end{matrix}

2 模型线性化方法

模型中非线性项主要体现在以下几个约束中:

(1) 交流配网潮流约束,式(17)~(18);

(2) 直流配网潮流约束,式(19);

(3) VSC运行特性方程,式(23)~(26);

(4) 线路载荷约束,式(16);

(5) 阶段关联约束,式(10)、(12);

(6) 储能系统充放电状态约束,式(35);

2.1 交/直流配网潮流线性化方法

交直流混合配电网潮流方程线性化思想可以总结为以下几点^[22]:

(1) 非线性项如正弦项及电压乘积项(V_iV_j形式),在运行点一阶泰勒展开,运行点通过迭代方法逐次逼近最优点.

(2) 三元连续变量乘积项(V_iV_jθ_ij形式),将V_iV_j视作一个独立变量,将V_iV_jθ_ij项在运行点二元泰勒展开.

(3) 电压幅值平方项视作独立变量.

式(17)~(19)线性化约束表达式可写为

(37)

- M_{1} u_{ij, t} \leq p_{ij, t} - (a_{1} V_{i, t}^{2} + a_{2} V_{j, t}^{2} + a_{3} θ_{ij} + a_{4}) \leq M_{1} u_{ij, t}, \forall (i, j) \in Ω_{L}^{AC}, \forall t \in T

(38)

- M_{2} u_{ij, t} \leq q_{ij, t} - (a_{5} V_{i, t}^{2} + a_{6} V_{j, t}^{2} + a_{7} θ_{ij} + a_{8}) \leq M_{2} u_{ij, t}, \forall (i, j) \in Ω_{L}^{AC}, \forall t \in T

(39)

\begin{array}{l} - M_{3} u_{ij, t} \leq p_{ij, t} - (a_{9} V_{i, t}^{2} + a_{10} V_{j, t}^{2} + a_{11}) \leq M_{3} u_{ij, t}, \forall (i, j) \in Ω_{L}^{DC}, \forall t \in T \end{array}

式中:a₁~a₁₁为与运行点相关的系数.由于电压幅值平方项视作独立变量,相应地,式(22)也需转化成平方形式,由于各项均为正值,因此转化过程成立.

2.2 VSC运行特性方程线性化方法

VSC运行特性方程线性化方法总结为以下几点^[21]:

(1) 正弦表达式在运行点一阶泰勒展开,并忽略二阶及以上高阶项.

(2) 三元连续变量乘积项(V_i V_jθ_ij形式),将V_i V_j 视作一个独立变量,进而对V_i V_j θ_ij项在运行点二元泰勒展开.

(3) 式(26)中二元连续变量乘积项 $M V_{d, t}$ 可以通过二进制扩展法将M可行解离散化,进而将该项线性化.

(4) 电压幅值平方项视作独立变量.

式(23)~(25)线性化约束表达式可写为

(40)

p_{s, t} = b_{1} V_{s, t}^{2} + b_{2} V_{c, t}^{2} + b_{3} δ_{t} + b_{4}, \forall t \in T

(41)

q_{s, t} = b_{5} V_{s, t}^{2} + b_{6} V_{s, t}^{2} + b_{7} δ_{t} + b_{8}, \forall t \in T

(42)

\begin{array}{l} p_{d, t} = b_{9} V_{s, t}^{2} + b_{10} V_{c, t}^{2} + b_{11} δ_{t} + b_{12}, \forall t \in T \end{array}

式中: $b_{1} ~ b_{12}$ 为与运行点相关的常系数,其表达式可见于文献[21].交直流配网潮流方程及VSC运行特性线性化方法精确度和收敛性在文献[21]中已有验证,本文不再赘述.

式(16)线路载荷约束为凸约束,不需线性化可直接通过一般商用求解器求解,或通过割圆法将其线性化也是一种高效的处理方式.

2.3 阶段关联约束线性化方法

将(12)式代入(10)式,可以得到

(43)

\begin{array}{l} \sum_{(i, j) \in Ω_{L}} [- (lb \frac{p_{ij}^{1}}{p_{ij}^{0}}) y_{ij} z_{ij, 0} - lb p_{ij}^{0} z_{ij, 0}] \leq \\ W_{\max} \end{array}

引入二进制变量t_ij,令其满足

(44)

\begin{matrix} t_{ij} = y_{ij} z_{ij, 0} \end{matrix}

式(44)与下式等价,此关系通过列写真值表即可得到验证.

(45)

\begin{matrix} \begin{array}{l} t_{ij} \leq y_{ij} \\ t_{ij} \leq z_{ij, 0} \\ t_{ij} \geq y_{ij} + z_{ij, 0} - 1 \end{array}\} \end{matrix}

2.4 储能系统充放电状态约束线性化方法

通常,对式(35)线性化可以通过大M法则实现,但会引入二进制变量,对3层模型求解造成额外压力.且本文储能模型未参与市场或与其他设备存在过多耦合关系,目标函数中充放电运行成本项便可以约束充放电功率不同时取正,这一点在文献[21,23]中均有所说明.

3 基于NC&CG的模型求解方法

3.1 基于NC&CG的模型转化过程

本文构建两阶段鲁棒优化模型转化为矩阵形式可表述为

(46)

\begin{matrix} \min_{y} c_{1} y + ρ_{pre} τ \max_{u} \min_{(x, z) \in F (y, u)} c_{2} x \end{matrix}

(47)

st. A_{1} y \leq b_{1}

(48)

A_{2} y + A_{3} u \leq b_{2}

(49)

A_{3} y + A_{4} u + A_{5} x + A_{6} z \leq b_{3}

(50)

\begin{array}{l} A_{7} x + A_{8} z \leq b_{4} \end{array}

式中:A₁~A₈、b₁、b₂、b₃、b₄、c₁、c₂分别为与之对应的常系数矩阵.内层决策将连续变量和二进制变量分开,分别以x和z表示.模型本质上为3层混合整数线性规划问题,通过NC&CG算法对其求解是可行而高效的^[24].根据关联阶段变量的不同,将约束分写为式(47)~(50),以便于NC&CG算法中子问题原切平面向主问题的添加.

首先依据C&CG算法,将3层模型转化为主问题和子问题(图3,n_i、m_i为内层上、下界;n_o、m_o为外层上、下界.),主问题(MP)表示可见下式

(51)

\begin{array}{l} MP : \min_{y, η, x, z} c_{1} y + ρ_{pre} τη \\ \begin{array}{l} st. A_{1} y \leq b_{1} \\ A_{2} y + A_{3} u_{l}^{*} \leq b_{2} \\ η \geq c_{2} x^{l} \\ A_{3} y + A_{5} x^{l} + A_{6} z^{l} \leq b_{3} - A_{4} u_{l}^{*} \\ A_{7} x^{l} + A_{8} z^{l} \leq b_{4} \end{array}\} \\ \forall 1 \leq l \leq k_{o} \end{array}

式中:η为新增主问题决策变量; $u_{l}^{*}$ 为第l次迭代中子问题求解并传递的最严重故障集合,在主问题求解时为常量; $x^{l} 和 z^{l}$ 为第l次迭代子问题新增决策变量; $k_{o}$ 为外层C&CG迭代次数.主问题用于求解当不确定故障集合给定时基于储能配置和线路加固的灾前防御规划策略.

图3

图3 NC&CG算法求解流程

Fig.3 Illustration of solving process of NC&CG algorithm

子问题(SP)可表示为

(52)

\begin{array}{l} SP : Q (y^{*}) = \max_{u} \min_{(x, z) \in F (y, u)} c_{2} x \\ \begin{array}{l} st. A_{4} u + A_{5} x + A_{6} z \leq b_{3} - A_{3} y^{*} \\ A_{7} x + A_{8} z \leq b_{4} \end{array}\} \end{array}

式中:y^*表示主问题求解并传递的第一阶段决策结果,在子问题求解时为常量.子问题求解一阶段决策确定时的二阶段决策结果.

子问题为双层混合整数线性规划模型,无法通过商用求解器直接求解.参照文献[25],借鉴C&CG算法将式(52)模型转化为新的主问题MP_sub和子问题SP_sub.

(53)

M P_{sub} : Q (y^{*}) = \max_{u} φ

(54)

\begin{array}{l} \begin{array}{l} st. A_{4} u + A_{5} x^{r} + A_{6} z^{r} + A_{3} y^{*} \leq b_{3} \\ A_{7} x^{r} + A_{8} z^{r} \leq b_{4} \\ φ \leq c_{2} x^{r} \\ c_{2}^{T} + A_{5}^{T} μ^{r} + A_{7}^{T} λ^{r} = 0 \\ μ^{r} (A_{4} u + A_{5} x^{r} + A_{6} z^{r} + A_{3} y^{*} - b_{3}) = 0 \\ λ^{r} (A_{7} x^{r} + A_{8} z^{r} - b_{4}) = 0 \\ μ^{r} \geq 0 λ^{r} \geq 0 \\ \forall 1 \leq r \leq k_{i} \end{array}\} \end{array}

式中:φ为新增辅助决策变量; $μ^{r} 和 λ^{r}$ 分别对应问题内层约束的拉格朗日乘子; $x^{r}$ 为第r次迭代中SP_sub问题新增决策变量; $k_{i}$ 为内层C&CG迭代次数.

当整数变量z取值确定时,原SP问题便转化为双层线性规划(LP)问题,通过将其下层目标转化为等效KKT (Karush-Kuhn-Tucker)条件便可以将双层问题降为单层.式(54)反映的是SP问题内层等效KKT条件,μ和λ分别对应SP问题内层约束的拉格朗日乘子.式(54)中后两项表示互补松弛条件,对其线性化可通过大M法则实现^[17].

(55)

P_{sub} : \min_{z, x \in F (y^{*}, u^{*})} c_{2} x

(56)

\begin{array}{l} S \\ st. A_{4} u^{*} + A_{5} x + A_{6} z + A_{3} y^{*} \leq b_{3} \end{array}

(57)

A_{7} x + A_{8} z \leq b_{4}

式中: $u^{*}$ 为MP_sub问题求解并传递的最严重故障集合,在SP_sub问题求解时为常量.

3.2 模型求解算法

求解3层混合整数线性规划问题的NC&CG算法流程包含以下几步:

步骤1 (模型初始化)设定下界 $\begin{array}{l} m_{o} = m_{i} = - \infty, 上界 n_{i} = n_{o} = + \infty, 迭代批次 k_{i} = k_{o} = 0 . \end{array}$

步骤2 (求解MP)求解式(51)所示MP问题,得到最优解 $y_{k_{o} + 1}^{*}, η_{k_{o} + 1}^{*}, x_{1}^{*}, \dots, x_{k_{o}}^{*}, z_{1}^{*}, \dots, z_{k_{o}}^{*},$ 更新外层CCG下界

(58)

\begin{matrix} m_{o} = c_{1} y_{k_{o} + 1}^{*} + ρ_{pre} τ η_{k_{o} + 1}^{*} \end{matrix}

如果此时外层收敛判据满足,则返回 $y_{k_{o} + 1}^{*}$ 并停止全部求解流程,收敛判据为

(59)

\begin{matrix} | n_{o} - m_{o} | < ε_{o} \end{matrix}

式中:ε_o为外层收敛参数.

步骤3 (求解MP_sub)求解式(53)、(54)所示MP_sub问题,得到最优解 $u_{k_{i} + 1}^{*}, φ_{k_{i} + 1}^{*}, x_{1}^{*}, \dots, x_{k_{i}}^{*},$ 更新内层CCG上界

(60)

\begin{matrix} n_{i} = φ_{k_{i} + 1}^{*} \end{matrix}

如果此时内层收敛判据满足,则返回 $u_{k_{i} + 1}^{*}$ 并进入步骤6,收敛判据为

(61)

\begin{matrix} | n_{i} - m_{i} | < ε_{i} \end{matrix}

步骤4 (求解SP_sub)求解式(55)~(57)所示SP_sub问题,得到最优解 $x_{k_{i} + 1}^{*}, z_{k_{i} + 1}^{*},$ 更新内层CCG下界

(62)

\begin{matrix} m_{i} = \max {m_{i}, c_{2} x_{k_{i} + 1}^{*}} \end{matrix}

如果此时内层收敛判据满足,则返回 $u_{k_{i} + 1}^{*}$ 并进入步骤6.

步骤5 (内层列与约束生成)新增变量 $x^{k_{i} + 1}, u^{k_{i} + 1}, λ^{k_{i} + 1},$ 并在MP_sub问题中新增式(54)所示对应 $k_{i} + 1 批次约束, 令 k_{i} = k_{i} + 1,$ 回到步骤3.

步骤6 (外层列与约束生成)更新外层CCG上界,

(63)

\begin{matrix} n_{o} = \min [n_{o} c_{1} y_{k_{o} + 1}^{*} + Q (y_{k_{o} + 1}^{*})] \end{matrix}

如果此时外层收敛判据满足,返回 $y_{k_{o} + 1}^{*}$ 并停止全部求解流程.如果不满足,新增变量 $x^{k_{o} + 1}, z^{k_{o} + 1},$ 并在MP问题中新增式(51)所示对应k_o+1批次约束,令k_o=k_o+1,回到步骤2.

4 算例分析

4.1 算例设置

本文采用9节点直流配网改进的IEEE-33节点交流配网和VSC组成的交直流混合配电网系统对所提韧性提升策略进行算例分析.交直流混合配电网(HDS)拓扑示意图如图4所示,图中DG为分布式电源.其中交流配网电压等级为 12.66 kV,在辐射状配网基础上新增了4条线路,增加其环状冗余度.交流配网接入的分布式电源均为可调度的燃气轮机,新能源机组仅接入直流配网.负荷出力曲线如图5所示.线路载荷容量上限和VSC联络线潮流视在功率允许通过上限均设为2 MV·A.VSC电阻和电抗分别取0.2 Ω和0.6 Ω.设置线路加固最大条数为3,单线加固费用为 1000 元/m,所有线路长度均为1 km.储能系统技术参数如表1所示,成本均已折算至一年期,假定极端事件发生前,配电网运营方已收到故障预警信息,提前采取应对措施,因此设置储能初始SOC为0.85.

图4

图4 交直流混合配电网算例拓扑

Fig.4 Topology of HDS in case studies

图5

图5 算例负荷曲线

Fig.5 Load curve in the case

表1 储能系统技术参数

Tab.1 Technical parameters of energy storage system

参数	取值
可配置的额定功率上限P^R,max/kW	400
可配置的容量上限E^R,max/(kW·h)	800
单位功率配置成本c^p/(元·kW^-1)	1050^[13]
单位容量配置成本c^e/[元·(kW·h)^-1]	3000^[13]
充电效率η^ch	0.9
放电效率η^dis	0.9
单位充电成本c^ch/[元·(kW·h)^-1]	0.2
单位放电成本c^ch/[元·(kW·h)^-1]	0.2
储能最大配置数量	5
初始SOC	0.85
SOC上限	0.9
SOC下限	0.1

故障发生后,交直流混合配电网解列,与上级电源联络线断开,故障持续5 h后线路修复,上级电源供电恢复.负荷减载成本如表2所示,考虑到大用户及重要负荷更多接入交流配网,因此设置交流配网负荷权重高于直流配网.

考虑一年期内极端事件发生5次,线路加固前故障率为0.9,加固后故障率为0.1.

表2 负荷减载成本

Tab.2 Cost of load shedding

负荷类型	切负荷成本/[元·(kW·h)^-1]
一级负荷	2500
交流配网其他负荷	100
直流配网负荷	20

4.2 结果分析

算例将设计4个不同场景对交直流混合配电网灾前韧性提升策略进行分析.

场景1 不采取灾前韧性提升策略.

场景2 仅采取线路加固策略.

场景3 仅采取储能配置策略.

场景4 采取线路加固与储能配置相结合的灾前防御策略.

4.2.1 最优韧性提升投资策略分析表3对比了4个场景韧性提升策略效果及目标函数值.表4对比了4个场景下负荷减载情况,表5、6分别为场景3、场景4的储能配制策略.由于直流配网负荷权重较低,故加固策略及故障更多针对交流配网,下文图表中线路或节点等如不加说明则均指代交流配网.

表3 不同场景下韧性提升策略效果对比

Tab.3 Comparison of resilience enhancement effects in different scenarios

场景	故障集合	线路加固策略	储能配置节点	目标函数值/万元
1	19-20, 4-5, 6-26, 29-30, 30-31, 2-19	-	-	1965.7
2	19-20, 3-4, 17-18, 16-17, 9-10, 10-11	4-5, 29-30, 28-29	-	1765.3
3	19-20, 3-4, 30-31, 15-16, 5-6, 12-13	-	4, 10, 17, 28, 29	1098.7
4	19-20, 3-4, 30-31, 15-16, 5-6, 27-28	4-5, 29-30, 28-29	10, 17	804.0

表4 不同场景下负荷减载情况

Tab.4 Load shedding in different scenarios

场景	一级负荷减载量/ (kW·h)	交流配网其他负荷减载量/ (kW·h)	直流配网负荷减载量/ (kW·h)
1	1137.6	10791.6	828.7
2	858.2	7323.3	3372.1
3	0	15719.8	919.7
4	0	13156.9	1705.3

表5 场景3储能配置策略

Tab.5 Energy storage system configuration strategy in the third scenario

储能配置节点	P^R/kW	E^R(kW·h)	配置成本/万元
4	88.5	588.7	185.9
10	90.7	613.2	193.5
17	83.5	561.9	177.3
28	83.1	545.9	172.5
29	98.2	660.1	208.3

表6 场景4储能配置策略

Tab.6 Energy storage system configuration strategy in the fourth scenario

储能配置节点	P^R/kW	E^R/(kW·h)	配置成本/万元
10	90.8	614.1	193.8
17	83.5	561.9	177.3

对以上数据进行分析可以看出,若不采取任何灾前防御策略,极端事件直接导致交直流混合配电网约57%的一级负荷减载,进而造成了巨大的经济损失.虽然这衡量的是最差情况,但却具有十分重要的现实意义.极端事件类型不仅包括自然灾害,人为攻击也占有很高比例.自然灾害具有偶然性,而恶意攻击则往往具备较强的指向性,因此分析最严重故障情况下的灾前防御策略,也是偶然中寻求必然的结果.

场景2采取线路加固策略,目标函数较场景1降低了10.7%,此时仍有43%的一级负荷减载,韧性提升效果有限.这是因为HDS在脱网运行时,本就处于功率缺额状态,仅通过线路加固无法弥补功率不足.另外若重要负荷节点同分布式电源拓扑相距较远,保障重要负荷供电便需要将沿线全部加固,显然不具备可行性.将线路加固最大条数设置为3是因为即使设置为4,最优加固策略依然不变.

场景3采取储能配置策略,目标函数较场景1降低了44.1%,此时储能接入点与一级负荷位置重合,一级负荷无减载.但该策略仍具备较大的提升空间,这是因为单纯依靠配置储能系统保障重要负荷供给需要点对点实现,改变了HDS原有的供电方式.如果能尽可能引导HDS已配置的分布式电源对重要负荷进行供电,则可以进一步降低投资成本.此外,一级负荷保障供电的代价是其他交流配网负荷出现大规模减载,这主要是HDS环状冗余度不足导致的,如果可以对馈线开关进行调度,在灾中应对时进行配网最优拓扑重构,则可以进一步避免大规模负荷减载.但对馈线开关的调度会引入大量二进制变量,而NC&CG算法效率受到二进制变量影响较大,因此该内容不在本文探讨范围内.

场景4采取线路加固与储能配置相结合的灾前防御策略,目标函数较场景1降低了59.1%,储能分布如图6所示.对场景1~3投资结果进行分析可以得到,若分布式电源拓扑位置距一级负荷较近或一级负荷之间距离较近,则线路加固策略更加适合;反之则应该倾向于储能系统配置策略.从图4不难看出,节点4与DG1相邻,在节点4配置储能成本高于对线路4-5进行加固.同理直流配网功率可以通过VSC返送到节点30,进而保障节点28、29处一级负荷供应,因此该处线路加固策略同样优于储能配置.而节点10、17与DG距离较远,线路加固成本高,在该节点处进行储能系统配置则更为适宜.因此储能配置与线路加固相结合的防御策略可以在保证韧性提升效果的同时降低投资规划成本.

图6

图6 场景4储能分布

Fig.6 Energy storage distribution in the fourth scenario

4.2.2 故障状态下HDS运行状态分析从表4可以看出,交直流混合配电网在应对极端事件方面具备结构性优势.正常运行时,直流配网分布式电源不足以供应负荷,因此交流配网潮流通过VSC上送.故障发生后,由于直流配网负荷权重低于交流配网负荷,直流配网会主动切除区内负荷使得潮流返送.场景2和4中直流配网负荷减载量较场景1明显增长,这并非由于直流配网内故障增加,而是HDS主动行为,以保证交流配网28、29节点以及周边节点负荷供应.现实中交流配网与直流配网保持着一定的空间距离,当交流配网出现大规模故障时,直流配网可以对其进行功率支援.当故障演变至直流配网,交流配网可能已实现故障清除,这样交直流配网之间通过VSC潮流的双向流动保障双方重要负荷供给.若直流配网与多个交流配网通过VSC相接,交直流混合配电网在广域潮流调度及大规模故障应对方面的优势则会体现的更加明显.

以场景4为例,分析极端事件发生储能系统的充放电过程.从图6中可以看出,配置的两台储能在故障期间一直处于放电模式,且释放的电能量全部仅用于一级负荷供给.最终SOC达到下限0.1,调度结果与最优投资策略相对应.

结合灾前主动防御策略和灾后HDS脱网调度运行策略可以看出,HDS面对极端事件的运营方式包括3点:

(1) 通过线路加固使得灾后分布式电源尽可能处在满发状态;

(2) 通过储能资源配置实现重要负荷的就地供给;

(3) 通过灾后调度、切除非重要负荷以保证重要负荷的供给.

4.2.3 算法收敛性分析 NC&CG算法收敛性在文献[25]中已有说明,且内层C&CG收敛次数和计算效率受到约束中二进制变量个数影响程度较大.本文提出的两阶段鲁棒优化模型内层约束中,仅在对(26)式通过二进制扩展法进行线性化时引入了少许二进制变量,因此模型求解效率和收敛性较好.以场景4为例,外层C&CG通过5次迭代达到收敛状态,内层分别进行了11、4、5、7次迭代达到收敛状态.收敛曲线如图7所示.

图7

图7 NC&CG算法收敛曲线

Fig.7 Convergence curve of NC&CG algorithm

5 结论

本文提出了考虑线路加固和储能资源配置的交直流混合配电网韧性提升方法,构建两阶段鲁棒优化模型.通过潮流线性化方法和VSC运行特性方程线性化方法消除交直流混合配电网调度约束中高度非凸非线性项对求解的影响.基于NC&CG算法对3层混合整数线性规划模型进行求解.最后通过交直流混合配电网算例对本文提出的韧性提升策略进行了验证,主要结论有:

(1) 线路加固和储能配置策略均可提升交直流混合配电网韧性.采取线路加固与储能配置相结合的策略可以在保障系统韧性水平的同时尽可能降低投资成本.

(2) VSC双向潮流特性为交流配网与直流配网在大规模故障状态下的功率支援提供了必要条件,因此交直流混合配电网在应对极端事件和大规模故障方面具有独特的优势.

(3) NC&CG可有效应用于面向韧性提升的两阶段鲁棒优化模型的求解.文中提出的韧性提升策略可协助规划部门做出理性而有效的投资决策.

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