考虑随机生产等待的串行生产系统机会维护建模

图1 串行生产线中的生产等待

Fig.1 Production waits in serial production line

在维护策略方面,对于串行生产系统中的每一台设备,当出现可接受的生产等待时,该设备实施机会维护;若在计划的预防维护周期内没有生产等待被接受,则进行预防维护;设备发生故障时,则进行故障小修.从整个系统的角度考虑,设备的同时维护也意味着系统停机成本的节约,故当某些设备停机进行机会维护或预防维护时,其余设备也存在着提前维护的内部机会.对于由设备强制预防维护(内部机会)引发的维护活动,采用时间窗^[1]判断其余设备是否同时维护;而对于由设备接受生产等待(外部机会)引发的维护活动,由于每个设备进行维护的时刻并不固定,传统时间窗无法有效组合这类维护活动,所以引入引力窗判断未接受生产等待机会的设备是否同时维护.

基于以上维护策略,维护建模及决策分为两部分.首先,建立一个随机状态下的设备层维护决策优化模型,分别构建机会维护和预防维护的期望维护成本模型,以最小化各维护周期内各设备期望维修总成本率为目标,获得最优设备时间窗和生产等待持续时间阈值并判断是否接受生产等待的机会;其次,构建综合考虑内部机会和外部机会的系统层维护决策优化模型,以最小化维护规划期内系统维护总成本率为目标,基于系统时间窗与引力窗相结合的维护模型获得系统的最优维护计划.其中,引力窗的定义综合考虑了机会到达时刻与持续时间、设备维护相关成本及机会与设备时间窗之间的关系对于系统层维护整合趋向的影响.

2 维护建模及决策

2.1 考虑随机生产等待的单设备维护建模及决策

考虑到模型的复杂性,首先提出以下假设:① 预防维护与机会维护均为修复非新,且效果相同;② 故障小修仅恢复设备功能不改变其衰退状况;③ 维护活动和生产等待的持续时间相比于维护周期很短,故忽略不记;④ 生产等待到达服从齐次泊松过程,持续时间为已知分布的随机变量^{[10,11,12,13]}.

基于以上假设,在考虑随机生产等待的单设备维护模型中,由于生产等待到达的随机性,判断其是否可接受需要确定一个时间区间,即设备时间窗.时间区间的下限 $t_{ij}^{OM}$ 为第i台设备第j个维护周期开始接受机会维护的时间点,时间区间的上限 $t_{ij}^{PM}$ 为第i台设备第j个维护周期的计划预防维护时间点,则第i台设备第j个维护周期的维护时间窗可表示为[ $t_{ij}^{OM}$ , $t_{ij}^{PM}$ ];由于生产等待持续时间的随机性,判断其是否可接受还需一个持续时间下限,用ω_ij表示持续时间下限阈值指数,假设第i台设备的维护持续时间是 ${τ^{M}}_{i}$ ,则该设备可接受的生产等待持续时间阈值为ω_ij ${τ^{M}}_{i}$ .

预防维护和机会维护往往不会使设备恢复到全新状态.Pham等^[15]概括总结了8种修复非新的建模方法,其中虚拟役龄法在工程实践中应用广泛,故基于该建模思想,采用虚拟役龄描述设备状态,并用虚拟役龄因子θ∈(0,1)表示维护设备健康衰退演化的影响,则第i台设备在第j+1次维护后的虚拟役龄A_i_,_j₊₁为

(1)A_i,j+1=A_i,j+θ_iT_i,j+1

式中:θ_i为第i台设备的虚拟役龄因子;T_i_,_j₊₁为第i台设备第j+1个维护周期的长度.

由维护策略可知,每个设备维护周期内,设备进行一次预防维护或机会维护,如图2所示.其中: ${τ^{O}}_{k_{ij}}$ 为第i台设备在第j个维护周期中的第k个生产等待,即第k_ij次生产等待机会的持续时间; ${t^{O}}_{k_{ij}}$ 为第k_ij次生产等待机会的到达时刻.为了得到最优维护规划,对于每个设备,以最小化维护成本率为目标,动态地决策各设备各维护周期的最优维护时间窗[t^OM*,t^PM*]及生产等待持续时间阈值指数ω^*.由于考虑到生产等待的随机性,无法得到设备维护总成本率的确定值,所以以最小化期望维护总成本率为目标进行优化.第i台设备在第j个维护周期的期望维护总成本率 $E ({\bar{c}}_{ij})$ 包括预防维护期望总成本率 $E ({\bar{c}}_{ij}^{PM})$ 和机会维护期望总成本率 $E ({\bar{c}}_{ij}^{OM})$ ,则有:

(2)

E ({\bar{c}}_{ij}) = E ({\bar{c}}_{ij}^{PM}) + E ({\bar{c}}_{ij}^{OM})

图2

图2 设备维护的两种情况

Fig.2 Two situations of equipment maintenance

预防维护总成本包括维护成本、停机成本和故障小修成本,故第i台设备在第j个维护周期预防维护的期望维修成本率为

(3)

E ({\bar{c}}_{ij}^{PM}) = \frac{{C^{M}}_{i} + c^{d} {τ^{M}}_{i} + C_{i}^{CM} E (N_{f} (t_{ij}^{PM}))}{t_{ij}^{PM}} P_{ij}^{PM}

式中: ${C^{M}}_{i}$ 为第i台设备的维护成本;c^d为系统停机成本率,即系统中各设备自身的停机成本率之和; $C_{i}^{CM}$ 为小修维护成本;E(N_f( $t_{ij}^{PM}$ ))为第i台设备在第j个维护周期的计划预防维护时间点的期望累计故障次数; $P_{ij}^{PM}$ 为第i台设备在第j个维护周期的预防维护发生概率.若用h_i(t)表示设备故障率函数,则期望累计故障次数为

(4)

E (N_{f} (t_{ij}^{PM})) = \int_{A_{i, j}}^{A_{i, j}} h_{i} (t) d t

预防维护发生的概率 $P_{ij}^{PM}$ 可定义为

(5)

P_{ij}^{PM} = 1 - P_{ij}^{OM}

式中: $P_{ij}^{OM}$ 为机会维护发生的概率.机会维护在t∈[ $t_{ij}^{OM}$ , $t_{ij}^{PM}$ ]时刻发生的概率可以表示为

(6)$\begin{matrix} & P_{ij}^{\text{OM}}\left( t \right)=\overset{\infty }{\mathop{\underset{{{k}_{ij}}=2}{\mathop{\sum }}\,}}\,({{{\text{{F}}}}_{D}}\left( {{\omega }_{ij}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\tau }^{\text{M}}}_{i} \right){{f}^{\text{O}}}_{{{k}_{ij}}}\left( t \right) \\ & \overset{{{k}_{ij}}-1}{\mathop{\underset{l=1}{\mathop{\prod }}\,}}\,(1-{{{\text{{F}}}}_{D}}({{\omega }_{ij}}\tau _{i}^{M}){{F}^{\text{O}}}_{l,t_{ij}^{\text{OM}}}(t_{ij}^{\text{PM}})))+ \\ & {{{\text{{F}}}}_{D}}({{\omega }_{ij}}\tau _{i}^{M}){{f}^{\text{O}}}_{1}\left( t \right) \\ \end{matrix}$

式中:${{\text{{F}}}_{D}}({{\omega }_{ij}}\tau _{i}^{M})=1-{{\text{F}}_{D}}({{\omega }_{ij}}\tau _{i}^{M}) $为生产等待的持续时间大于等于${{\omega }_{ij}}\tau _{i}^{M}$的概率; ${f^{O}}_{k_{ij}} (t)$ 为第i台设备在第j个维护周期内第k_ij次生产等待在t时刻到达的概率; ${F^{O}}_{l, t_{ij}^{OM}} (t_{ij}^{PM})$ 为第l次生产等待到达时刻 ${t^{O}}_{l}$ 在 $t_{ij}^{OM}$ 和 $t_{ij}^{PM}$ 之间的概率.由于生产等待的到达为齐次泊松过程,强度为λ,则 ${f^{O}}_{k_{ij}} (t)$ 服从k阶Erlang分布^[16],定义为

(7)

{f^{O}}_{k_{ij}} (t) = \frac{λ^{k_{ij}} t^{k_{ij} - 1}}{(k_{ij} - 1)!} e^{- λt}

${F^{O}}_{l, t_{ij}^{OM}} (t_{ij}^{PM})$ 可以表示为

(8)

{F^{O}}_{l, t_{ij}^{OM}} (t_{ij}^{PM}) = P (t_{ij}^{OM} < {t^{O}}_{l} \leq t_{ij}^{PM}) = \int_{t_{ij}^{OM}}^{t_{ij}^{PM}} {f^{O}}_{l} (τ) d τ

则 $P_{ij}^{OM}$ 可以表示为

(9)

P_{ij}^{OM} = \int_{t_{ij}^{OM}}^{t_{ij}^{PM}} P_{ij}^{OM} (t) d t

机会维护总成本包括维护成本、故障小修成本、停机成本和惩罚成本,故第i台设备在第j个维护周期机会维护的期望维修总成本率 $E ({\bar{c}}_{ij}^{OM})$ 为

(10)

E ({\bar{c}}_{ij}^{OM}) = E ({\bar{c}}^{M}_{ij}) + E ({\bar{c}}_{ij}^{CM}) + E ({\bar{c}}^{d}_{ij}) + E ({\bar{c}}_{ij}^{pen})

式中: ${\bar{c}}^{M}_{ij}$ 为在机会维护情况下的维护成本率; ${\bar{c}}_{ij}^{CM}$ 为在机会维护情况下的小修维护成本率; ${\bar{c}}^{d}_{ij}$ 为在机会维护情况下的停机成本率; ${\bar{c}}_{ij}^{pen}$ 为在机会维护情况下的惩罚成本率. ${\bar{c}}^{M}_{ij}$ 的期望可表示为

(11)

E ({\bar{c}}^{M}_{ij}) = \int_{t_{ij}^{OM}}^{t_{ij}^{PM}} {C^{M}}_{i} \frac{P_{ij}^{OM} (t)}{t} d t

${\bar{c}}_{ij}^{CM}$ 的期望可表示为

(12)

E ({\bar{c}}_{ij}^{CM}) = \int_{t_{ij}^{OM}}^{t_{ij}^{PM}} C_{i}^{CM} E (N_{f} (t)) \frac{P_{ij}^{OM} (t)}{t} d t

${\bar{c}}^{d}_{ij}$ 的期望可表示为

(13)$\begin{matrix} & E\left( {{{{c}}}^{\text{d}}}_{ij} \right)=\underset{{{\omega }_{ij}}{{\tau }^{\text{M}}}_{i}}{\overset{{{\tau }^{\text{M}}}_{i}}{\mathop \int }}\,\underset{t_{ij}^{\text{OM}}}{\overset{t_{ij}^{\text{PM}}}{\mathop \int }}\,{{c}^{\text{d}}}\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\tau }^{\text{M}}}_{i}-\tau \right) \\ & \frac{{{f}_{\text{D}}}\left( \text{ }\!\!\tau\!\!\text{ } \right)}{{{{\text{{F}}}}_{D}}\left( {{\omega }_{ij}}{{\tau }^{\text{M}}}_{i} \right)}\frac{P_{ij}^{\text{OM}}\left( t \right)}{t}dtd\tau \\ \end{matrix}$

式中:f_D(τ)为生产等待持续时间为$\tau \in [{{\omega }_{ij}}{{\tau }^{\text{M}}}_{i},{{\tau }^{\text{M}}}_{i}]$的概率.通常,实施预防维护活动需要人力、物料等方面的准备,而机会维护将维护活动执行时间提前,意味着维护准备的不完善,故产生惩罚成本 $C_{i}^{pen}$ ,表示维护活动从计划时间 $t_{ij}^{PM}$ 转移到机会维护发生时间t所付出的代价,通常包括加急导致的人工费用和备件采购费用,定义为

(14)

C_{i}^{pen} (t) = c_{i}^{pen} (t_{ij}^{PM} - t)

式中: $c_{i}^{pen}$ 为第i台设备的惩罚成本率.据此, ${\bar{c}}_{ij}^{pen}$ 的期望可表示为

(15)

E ({\bar{c}}_{ij}^{pen}) = \int_{t_{ij}^{OM}}^{t_{ij}^{PM}} C_{i}^{pen} (t) \frac{P_{ij}^{OM} (t)}{t} d t

综上,可以得到设备的期望维护成本率,以最小化期望维护成本率为目标求解,即可得 $[t_{ij}^{OM*}, t_{ij}^{PM*}]$ 和 $ω_{ij}^{*}$ .

2.2 时间窗与引力窗相结合的系统维护建模及决策

由单设备的维护建模可以获得第i台设备在第j个维护周期内的最优维护时间窗,假设t_i_,_j为第i台设备进行第j次维护的时刻,则第i台设备的第j个维护周期为[t_i_,_j_-1,t_i_,_j],故可得到第i台设备在第j个维护周期[t_i_,_j_-1,t_i_,_j]内的进行维护活动的时间区间[ $t_{i, j}^{st}$ , $t_{i, j}^{en}$ ],定义为

(16)

t_{i, j}^{st} = t_{i, j - 1} + t_{ij}^{OM*}

(17)

t_{i, j}^{en} = t_{i, j - 1} + t_{ij}^{PM*}

对于由n台设备组成的串行系统, $t_{r}^{sys}$ 为系统实施第r次维护活动的时刻,则第r次维护活动周期为 $[t_{r - 1}^{sys}, t_{r}^{sys}]$ .假设第i台设备第j个维护周期对应第r次维护活动,则 $[t_{i, j}^{st}, t_{i, j}^{en}]$ 也为第i台设备在第r次维护活动的时间区间.对于串行系统,为了节约停机成本,需将系统中的设备维护活动进行优化整合.对于内部机会(设备进行强制预防维护)引发的系统维护活动,可以采用系统时间窗T^win判断其余设备是否同时维护,即对计划预防维护时间点落在时间窗所在区间[ $t_{r}^{sys}$ , $t_{r}^{sys}$ +T^win]的设备均进行维护组合,如图3所示,其中,T^sys为系统维护规划期;T^win*为最优维护整合时间窗.由图3可知,第2台设备的计划预防维护时间点 $t_{2, j}^{en}$ 落在系统时间窗内,第n台设备的计划预防维护时间点 $t_{n, j}^{en}$ 未落在系统时间窗内,故对第2台设备进行提前维护,第n台设备在此次系统维护活动中不进行维护.

图3

图3 针对强制预防维护的时间窗模型

Fig.3 Time window model for mandatory preventive maintenances

而对于外部机会(接受生产等待)引发的系统维护活动,由于每个设备都分别通过设备时间窗判断是否接受生产等待的机会,而不是在一个计划的时间点进行维护,系统时间窗无法处理这类维护活动的优化整合,所以引入引力窗这一概念来进一步对维护活动进行优化整合.

引力窗这一概念来源于万有引力定律.若系统中第k个生产等待,即第k^sys个生产等待带来的机会,对于未接受此次机会的第i台设备的时间窗引力 $F_{i k^{sys}}$ 大于引力阈值F^*,则第i台设备在第k^sys个生产等待到达时也需要进行维护,如图4所示.其中: ${t^{O}}_{k^{sys}}$ 为第k^sys个生产等待带来的机会的到达时刻; $t_{i, j}^{cen}$ 为第i台设备在第j个设备维护周期的设备时间窗质心.由图4可知,第k^sys个生产等待对第2台设备的引力 $F_{2 k^{sys}}$ 大于等于引力阈值F^*,对第n台设备的引力 $F_{n k^{sys}}$ 小于引力阈值F^*,故对第2台设备进行提前维护,第n台设备在此次系统维护活动中不进行维护.

图4

图4 针对随机生产等待的引力窗模型

Fig.4 Gravity window model for stochastic production waits

类比于万有引力公式 $F_{i k^{sys}}$ 可以定义为

(18)

F_{i k^{sys}} = \frac{G m_{i k^{sys}} M_{i}}{R_{i k^{sys}}^{2}}

式中:G为引力常量; $m_{i k^{sys}}$ 为机会的“质量”;M_i为第i台设备时间窗的“质量”; $R_{i k^{sys}}$ 为机会与设备时间窗之间的“距离”.将万有引力公式与机会维护策略相结合的关键在于如何定义以上“质量”和“距离”.引力常量G是一个比例系数,为了计算方便,取为G=1 N·h²/元²;“质量”表示维护整合趋向的大小.机会的持续时间和设备的停机成本影响这一趋向的大小,故机会的“质量” $m_{i k^{sys}}$ 可定义为

(19)

m_{i k^{sys}} = ρ_{i k^{sys}} {τ^{M}}_{i} (c^{d} - {c^{d}}_{i})

式中: $ρ_{i k^{sys}}$ 为生产等待持续时间指数; ${c^{d}}_{i}$ 为第i台设备自身的停机成本率. $ρ_{i k^{sys}}$ 衡量第k^sys次生产等待带来的机会的持续时间 ${τ^{O}}_{k^{sy s}}$ 对于第i台设备维护整合决策的影响,定义为

(20)

ρ_{i k^{sys}} = \frac{\min {{τ^{O}}_{k^{sys}}, {τ^{M}}_{i}}}{{τ^{M}}_{i}}

在式(19)中,c^d- ${c^{d}}_{i}$ 表示由于第i台设备维护导致的系统多余的停机成本率.显然,自身停机成本很小的设备进行维护导致系统整体停机是最不希望发生的情况,故其维护整合的趋向最大.其次,小修成本和惩罚成本在一定程度上影响了维护组合的决策,故第i台设备时间窗的“质量”M_i定义为设备时间窗内第i台设备的期望小修成本和期望惩罚成本之差,可表示为

(21)

M_{i} = \int_{t_{ij}^{OM}}^{t_{ij}^{PM}} C_{i}^{C M} E (N_{f} (t)) P_{ij}^{OM} (t) d t - \int_{t_{ij}^{OM}}^{t_{ij}^{PM}} C_{i}^{pen} (t) P_{ij}^{OM} (t) d t

最后,生产等待到达的时机也影响着整合维护的趋向,故机会与设备时间窗之间的“距离” $R_{i k^{sys}}$ 定义为生产等待到达的时刻 ${t^{O}}_{k^{sys}}$ 与未接受生产等待带来的机会的第i台设备在第j个设备维护周期的时间窗“质心” $t_{i, j}^{cen}$ 间的“距离”,可表示为

(22)

R_{i k^{sys}} = |t_{i, j}^{cen} - {t^{O}}_{k^{sys}}|

类比于质心计算公式,第i台设备时间窗的质心 $t_{i, j}^{cen}$ 定义为设备时间窗内期望维护成本的中心,则有:

(23)

t_{i, j}^{cen} = \frac{E ({\bar{c}}_{ij}^{PM}) t_{ij}^{PM} + \int_{t_{ij}^{OM}}^{t_{ij}^{PM}} E ({\bar{c}}_{ij}^{OM} (t)) t d t}{E ({\bar{c}}_{ij})}

式中: ${\bar{c}}_{ij}^{OM}$ (t)为在t时刻进行机会维护的维修总成本率,其期望可表示为

(24)$\begin{matrix} & E({c}_{ij}^{\text{OM}}(t))=[{{C}^{\text{M}}}_{i}+C_{i}^{\text{CM}}E({{N}_{f}}(t)]+ \\ & \underset{{{\omega }_{ij}}{{\tau }^{\text{M}}}_{i}}{\overset{{{\tau }^{\text{M}}}_{i}}{\mathop \int }}\,{{c}^{d}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( {{\tau }^{\text{M}}}_{i}-\tau \right)\frac{{{f}_{\text{D}}}\left( \text{ }\!\!\tau\!\!\text{ } \right)}{{{{\text{{F}}}}_{D}}\left( {{\omega }_{ij}}{{\tau }^{\text{M}}}_{i} \right)}d\tau + \\ & C_{i}^{\text{pen}}\left( t \right))\frac{P_{ij}^{\text{OM}}\left( t \right)}{t} \\ \end{matrix}$

基于以上所述的系统维护整合模型,具体决策步骤如下.

步骤1 从系统初始活动次数,即r=1开始,各设备处于全新状态;

步骤2 输入各设备维护时间窗及质心,并赋值给3个时刻t^st、t^en和t^cen,即

$t_{i, 1}^{st} = t_{i 1}^{OM}, t_{i, 1}^{cen} = {t^{C}}_{i 1}, t_{i, 1}^{en} = t_{i 1}^{PM}, i = 1,2, \dots, n$

步骤3 判断累计系统维护活动次数是否达到维护规划期T^sys.若是,结束系统维护规划;否则,转入步骤4;

步骤4 若第r次维护活动由强制预防维护引发,则 $t_{r}^{sys}$ = $\min_{i}$ $t_{i, r}^{en}$ ,用T^win*进行维护整合判断,即

(25)

Θ (i, t_{r}^{sys}) = \{\begin{array}{l} 1, & t_{i, r}^{en} \leq t_{r}^{sys} + T^{win*} \\ 0, & 其他 \end{array}

式中: $Θ (i, t_{r}^{sys}) = 0$ 表示在系统第r次维护活动中不对第i台设备采取维护活动;而 $Θ (i, t_{r}^{sys}) = 1$ 表示在系统第r次维护活动中实施时刻 $t_{r}^{sys}$ 对第i台设备进行维护.若第r次维护活动由接受第k^sys个生产等待的机会引发,则 $t_{r}^{sys} = {t^{O}}_{k^{sys}} \in [\min_{i} t_{i, r}^{st}, \min_{i} t_{i, r}^{en}]$ ,用引力窗F^*进行维护整合判断,即

(26)

Θ (i, t_{r}^{sys}) = \{\begin{array}{l} 1, & 第 i 台设备接受机会 ‖ F_{i k^{sys}} \geq F^{*} \\ 0, & 其他 \end{array}

从而得到第r次系统维护活动中进行维护的设备集合为 $Ω_{r} = \{i |Θ (i, t_{r}^{sys}) = 1\}$ 并实施维护活动,其维护持续时间 $τ_{r}^{sys}$ 可以表示为

(27)

τ_{r}^{sys} = \{\begin{array}{l} \max_{i \in Ω_{r}} {{τ^{M}}_{i}}, \\ 第 r 次维护活动由强制预防维护触发 \\ \max_{i \in Ω_{r}} {{τ^{M}}_{i}, {τ^{O}}_{k^{sys}}}, \\ 第 r 次维护活动由接受第 k^{sys} 个 \\ 生产等待的机会触发 \end{array}

步骤5 进入下一次维护活动,赋值r=r+1,则

(28)$\begin{matrix} & t_{i,r}^{\text{st}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} t_{r-1}^{\text{sys}}+t_{ij}^{\text{OM}}, & \text{for}\Theta \left( i,t_{r}^{\text{sys}} \right)=1 \\ t_{i,r-1}^{\text{st}}, & \text{for}\Theta \left( i,t_{r}^{\text{sys}} \right)=0 \\ \end{array} \right. \\ & i=1,2,\ldots,n \\ \end{matrix}$

(29)$\begin{matrix} & t_{i,r}^{\text{cen}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} t_{r-1}^{\text{sys}}+{{t}^{\text{C}}}_{ij}, & \text{for}\Theta \left( i,t_{r}^{\text{sys}} \right)=1 \\ t_{i,r-1}^{\text{cen}}, & \text{for}\Theta \left( i,t_{r}^{\text{sys}} \right)=0 \\ \end{array} \right. \\ & i=1,2,\ldots,n \\ \end{matrix}$

(30)$\begin{matrix} & t_{i,r}^{\text{en}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} t_{r-1}^{\text{sys}}+t_{ij}^{\text{PM}}, & \text{for}\Theta \left( i,t_{r}^{\text{sys}} \right)=1 \\ t_{i,r-1}^{\text{en}}, & \text{for}\Theta \left( i,t_{r}^{\text{sys}} \right)=0 \\ \end{array} \right. \\ & i=1,2,\ldots,n \\ \end{matrix}$

然后转回步骤3进行下一次维护活动的维护规划.

综上,系统层优化就是以最小化维护规划期内的系统维护总成本率为目标,得到最优维护整合的时间窗T^win*及引力窗F^*.系统的维护总成本为各设备维护总成本之和,设备的维护总成本包括维护成本、小修成本、停机成本和惩罚成本.若第r次系统维护活动是设备强制预防维护导致的,则第i台设备的维护总成本 C $'_{ir}^{P}$ 为

(31)

C'_{ir}^{P} = \{\begin{array}{l} {c^{d}}_{i} τ_{r}^{sys}, & for i \notin Ω_{r} \\ {C^{M}}_{i} + C_{i}^{pen} (t_{r}^{sys}) + \\ C_{i}^{CM} E (N_{f} (T_{r}^{sys})) + {c^{d}}_{i} τ_{r}^{sys}, & for i \in Ω_{r} \end{array}

式中: $T_{r}^{sys}$ 为系统第r次维护活动的长度.

若第r次系统维护活动是设备接受第k^sys个生产等待的机会导致的,则第i台设备的维护总成本 C $'_{ir}^{O}$ 为

(32)

C'_{ir}^{O} = \{\begin{array}{l} {c^{d}}_{i} (τ_{r}^{sys} - {τ^{O}}_{k^{sys}}), for i \notin Ω_{r} \\ {C^{M}}_{i} + C_{i}^{pen} (t_{r}^{sys}) + C_{i}^{CM} E (N_{f} (T_{r}^{sys})) + \\ {c^{d}}_{i} (τ_{r}^{sys} - {τ^{O}}_{k^{sys}}), for i \in Ω_{r} \end{array}

3 算例分析

3.1 算例概览及策略对比

考虑一个由6台串行设备组成的机械加工生产线,如车床、磨床、铣床等组成的串行生产系统,生产线维护规划期T^sys=1500 h.Weibull分布特别适用于机械加工设备的故障率建模,故假设该串行生产线中每台设备的故障率分布均服从Weibull分布,即为

(33)

h (t) = \frac{β}{α} {(\frac{t}{α})}^{β - 1}

式中:β为形状参数;α为尺度参数,可以通过设备历史故障数据的统计分析得到.生产等待带来的机会的到达服从强度为λ=0.05 次/h的齐次泊松过程,其持续时间τ^O~N(2,0.6),可通过生产线生产等待数据的统计,并拟合相应分布获得.具体设备参数如表1所示.其中:成本参数 ${C^{M}}_{i}$ 、 $C_{i}^{CM}$ 、 $c_{i}^{pen}$ 、 ${c^{d}}_{i}$ 及维护相关参数 ${τ^{M}}_{i}$ 、θ_i是基于设备的历史维护数据,通过统计分析得到的;各设备的故障率参数α_i和β_i是基于历史故障数据,采用最小二乘法或最大似然估计等得到的.

表1 设备参数

Tab.1 Equipment parameters

i	$C_{i}^{M}$ /元	$C_{i}^{CM}$ /元	$c_{i}^{pen}$ /(元·h^-1)	$c_{i}^{d}$ /(元·h^-1)	$τ_{i}^{M}$ /h	α_i	β_i	θ_i
1	513	628.0	52.3	1748	3.42	3.10	67.00	0.97
2	507	711.0	44.8	1802	3.31	2.90	84.24	0.95
3	535	998.0	37.2	2378	3.00	3.03	107.78	0.98
4	629	1131.2	53.4	2752	3.20	2.88	103.36	0.95
5	908	876.0	51.4	1822	2.89	3.12	78.59	0.98
6	545	884.0	37.2	1804	3.14	3.70	98.26	0.97

为获得时间窗和引力窗维护整合模型下系统的最优维护策略,基于MATLAB对系统进行仿真,系统维护模型的决策变量为T^win*和F^*.T^win*取值以设备预防维护周期为依据,通过设备层的数值模拟得到系统中设备的最长预防维护周期约为250 h,因此T^win*的搜索范围为[0,250] h,搜索步长为10 h,通过仿真得到F^*的最优取值落在[3,9] kN区间内,即为搜索范围,搜索步长为0.1 kN.生产等待的随机性给系统带来了不确定性,因此利用仿真获得系统平均总维护成本率,每次数值模拟均对系统做 2000 次随机场景中的仿真.

为了验证时间窗和引力窗维护整合策略的有效性,本文设置了两组对照策略进行比较,第1组既不考虑时间窗也不考虑引力窗,即不存在维护组合的情况;第2组仅考虑时间窗的情况,分别验证了引力窗和时间窗策略的有效性.MATLAB仿真结果显示,在既不考虑时间窗也不考虑引力窗的情况下,系统维护总成本率为 c $'_{0}^{sys}$ =727.8666 元;仅考虑时间窗的情况下,T^win=80 h,系统维护总成本率为 c $'_{1}^{sys}$ =668.7855 元;考虑时间窗和引力窗的情况下,T^win*=80 h,F^*=4.9 kN,得到系统最低维护总成本率为 c $'_{2}^{sys}$ =583.4952 元.故时间窗与引力窗相结合的策略优于两种对照策略.时间窗和引力窗维护整合最优模型下,系统在某次仿真中的维护计划表如表2所示,展示了系统在第1~18次维护活动中的停机维护时刻及维护整合情况.其中:“1”表示在对应周期中第i台设备参与维护整合;“0”表示在对应周期中第i台设备不参与维护整合.

表2 系统维护时刻表

Tab.2 System maintenance schedule

i	系统维护活动次数
i	r=1	r=2	r=3	r=4	r=5	r=6	r=7	r=8	r=9
1	1	0	1	0	1	1	0	1	1
2	0	1	0	1	0	1	0	1	1
3	0	1	0	1	0	1	0	1	0
4	0	1	0	1	0	1	0	1	1
5	1	0	1	0	1	1	0	1	1
6	1	0	1	0	1	0	1	1	1
t/h	145.62	160.80	271.41	335.27	426.45	525.55	565.02	718.55	862.85
i	系统维护活动次数
i	r=10	r=11	r=12	r=13	r=14	r=15	r=16	r=17	r=18
1	0	1	0	1	0	1	1	1	0
2	0	1	0	0	1	1	1	0	0
3	1	0	0	1	0	1	0	1	1
4	0	0	1	0	0	1	0	1	0
5	0	1	0	0	1	1	1	1	0
6	0	1	0	0	1	1	1	1	0
t/h	903.84	985.06	1033.36	1065.04	1112.00	1240.07	1346.28	1478.07	1553.55

3.2 不同停机成本下的策略对比

对于串行生产系统,对设备进行维护组合可有效减少系统的维护停机次数,进而降低停机成本.因此,停机成本的大小是影响维护决策的主要因素.为了验证所提策略的有效性,在上述串行系统中,令设备的其他参数保持不变,所有设备停机成本成倍变化,对以上3组策略分别进行仿真,结果如图5所示.其中:κ为停机成本变化倍数;c'^sys为系统维护总成本率.由图5可知,3组策略下的维护总成本率均随着停机成本的增大而增大.对其进行具体对比分析,可以发现 c $'_{2}^{sys}$ <c $'_{1}^{sys}$ <c $'_{0}^{sys}$ 始终成立,进一步证明了所提策略的有效性.

图5

图5 不同停机成本下的系统维护总成本率分析

Fig.5 Total cost rate analysis of system maintenances at different downtime costs

此外,停机成本越小,c $'_{2}^{sys}$ 与 c $'_{1}^{sys}$ 越为接近; 停机成本越大,c $'_{1}^{sys}$ 与 c $'_{0}^{sys}$ 越为接近.引力窗改进的总维护成本率占总改进的维护成本率的比例ϕ可以表示为

(34)

ϕ = \frac{c'_{1}^{sys} - c'_{2}^{sys}}{c'_{0}^{sys} - c'_{2}^{sys}}

随着停机成本的增加,ϕ的变化如图6所示.由图6可知,停机成本越大,ϕ越大,意味着引力窗改进的效果越明显.这是因为当停机成本增加时,设备更趋向于利用生产等待进行机会维护,从而避免设备强制性预防维护导致巨额停机成本的情况.由仿真结果可知,当κ=0.1时,最优维护策略下,在维护规划期内由外部机会引发的系统维护的平均次数为10.1525次,由内部机会引发的系统维护的平均次数为6.928次;而当κ=50时,最优维护策略下,由外部机会引发的系统维护的平均次数为7.826次,由内部机会引发的系统维护的平均次数仅为0.015次.故停机成本越大时,引力窗对于系统维护计划的改进越为重要;停机成本相对较小时,时间窗对于系统维护计划的改进越为重要.不同停机成本下的具体仿真及优化结果如表3所示.

图6

图6 不同停机成本下的引力窗改善占比分析

Fig.6 Analysis of the proportion of gravity window improvements at different downtime costs

表3 不同停机成本的仿真结果

Tab.3 Simulation results of different downtime costs

κ	$T^{wi n^{*}}$ /h	F^*/kN	c $'_{0}^{sys}$ /(元·h^-1)	c $'_{1}^{sys}$ /(元·h^-1)	c $'_{2}^{sys}$ /(元·h^-1)	ϕ/%
0.10	60	2.9	318.71527	281.8392	274.4371	16.72
0.20	80	4.0	411.60728	361.1766	346.2340	22.86
0.40	90	3.7	506.00181	437.2519	412.4909	26.48
0.50	100	3.9	562.58874	490.8783	462.2401	28.54
0.80	90	4.2	656.73353	586.2013	524.3467	46.72
1.00	80	4.9	727.86663	668.7855	583.4952	59.08
1.25	140	4.5	783.24224	723.1189	624.9857	62.01
2.00	180	4.0	985.13845	913.2768	741.1534	70.55
2.50	210	7.2	1057.89010	989.7344	813.1143	72.16
5.00	240	5.9	1572.10250	1509.0660	1159.1510	84.74
10.00	340	5.4	2433.61210	2400.6480	2192.5110	86.33
25.00	470	6.2	4006.10830	3993.2380	3897.1900	88.18
50.00	560	13.0	6785.66750	6780.4334	6667.2504	95.58

3.3 不同生产等待到达频率的策略对比

在此维护模型中,考虑了齐次泊松到达的生产等待,利用生产等待进行机会维护是降低维护成本的一个重要手段,故生产等待到达的频率对于维护决策也有很大的影响.为了验证所提策略的有效性,令模型的其他参数保持不变,改变生产等待到达的频率,对以上3组策略分别进行仿真,结果如图7所示.由图7可知,随着λ的增大,即生产等待的到达趋于频繁,c $'_{0}^{sys}$ 、c $'_{1}^{sys}$ 和 c $'_{2}^{sys}$ 均持续减小.对其进行具体对比分析,可以发现 c $'_{2}^{sys}$ <c $'_{1}^{sys}$ <c $'_{0}^{sys}$ 始终成立,证明了所提策略的有效性.

图7

图7 不同生产等待到达频率下的系统维护总成本率分析

Fig.7 Total cost rate analysis of system maintenances at different production wait frequencies

此外,随着λ的增大,ϕ的变化如图8所示.由图8可知,λ越大,ϕ越大,意味着生产等待的到达越频繁,引力窗改进的效果越明显.这是因为生产等待的到达越频繁,设备越大概率地利用生产等待进行机会维护.由仿真结果可知,当λ=0.025 次/h时,在维护规划期内由外部机会引发的系统维护的平均次数为7.462次,由内部机会引发的系统维护的平均次数为 1.7305 次;而当λ=0.2 次/h时,由外部机会引发的系统维护的平均次数为14.082次,由内部机会引发的系统维护的平均次数仅为 0.0455 次.故生产等待的到达越频繁,引力窗对于系统维护总成本率的改进越为重要;生产等待到达相对稀疏时,时间窗对于系统维护总成本率的改进越为重要.不同生产等待到达的频率下的具体仿真及优化结果如表4所示.

图8

图8 不同生产等待到达频率下的引力窗改善占比分析

Fig.8 Analysis of the proportion of gravity window improvements at different production wait frequencies

表4 不同生产等待到达频率的仿真结果

Tab.4 Simulation results of different production wait frequencies

λ/(次·h^-1)	T^win*/h	F^*/kN	c $'_{0}^{sys}$ /(元·h^-1)	c $'_{1}^{sys}$ /(元·h^-1)	c $'_{2}^{sys}$ /(元·h^-1)	ϕ/%
1/40	80	1.6	838.8713	726.1197	656.9259	38.03
1/30	70	1.4	779.4774	689.2100	607.4620	47.52
1/25	60	1.9	755.5036	681.5043	585.6525	56.43
1/20	80	4.9	727.8666	668.7855	583.4952	59.08
1/15	180	5.1	703.8952	642.5038	536.2920	63.37
1/10	220	5.3	646.6898	612.3003	520.2427	72.80
1/5	180	1.0	609.5262	600.1814	482.0396	92.67

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4 结语

本文同时考虑了串行生产系统面临的由预防维护引发的内部维护机会以及由生产等待带来的随机外部维护机会,提出时间窗与引力窗相结合的机会维护策略.对设备和系统分别进行维护建模,利用时间窗对内部机会引发的维护活动进行整合,利用引力窗对外部机会引发的维护活动进行整合.算例分析结果表明,在复杂的参数环境中,相对于无维护整合模型和时间窗模型,时间窗与引力窗相结合的决策模型均可以获得更低的系统维护总成本率,具有广泛的适应性与稳定性,且随着停机成本的增大或生产等待到达频率的提高,引力窗的改善占比呈递增趋势.因此,在停机成本较高或生产中断频繁发生的串行生产系统中,引力窗对于维护计划的改进更为重要.

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